3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân khơng có
3.2 Ánh xạ tương giao đóng
Cho Λ là tập khác rỗng và X là không gian tôpô F : Λ ⇒X là ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng. F được gọi là ánh xạ tương giao đóng nếu thỏa mãn điều kiện sau đây:
T λ∈Λ cl(F(λ)) = cl T λ∈Λ F (λ)
Sử dụng khái niệm ánh xạ tương giao đóng ta có khái niệm quan hệ tương giao đóng và định lý tồn tại nghiệm sau đây.
Định nghĩa 3.2.1. Quan hệ biến phân R được gọi là tương giao đóng nếu ánh xạ đa trị P(·) là tương giao đóng trên B.
Mệnh đề 2.2.1 và Bổ đề 2.2.1 đã cho một tiêu chuẩn giải được của bài tốn (VR) thơng qua tính giải được hữu hạn. Định lý dưới đây cũng cho kết luận như vậy nhưng với điều kiện yếu hơn.
Định lý 3.2.1. Cho A là tập compact và R là tương giao đóng. Khi đó bài tốn (VR) có nghiệm nếu và chỉ nếu (VR) là giải được hữu hạn.
Chứng minh. Điều kiện cần: Bài tốn (VR) có nghiệm thì hiển nhiên (VR) là giải được hữu hạn. (Xem chứng minh định lý 2.2.1)
Điều kiện đủ: Giả sử (VR) giải được hữu hạn ta cần chứng minh bài tốn (VR) có nghiệm.
Bài tốn (VR) là giải được hữu hạn, tức là (theo Định lý 2.2.1) T b∈D
P (b)6=∅
với mọi tập hữu hạn D ⊂ B, hay họ {P (b), b∈B} có tính chất tương giao hữu hạn nên họ {cl(P (b)), b∈B} cũng có tính chất tương giao hữu hạn vì
T b∈D
P(b)⊂ T b∈D
cl(P (b)).
Theo Định lý KKM - Fan (Định lý 1.2.2), tập cl(P(b)), b ∈B có điểm chung. Thep giả thiết tương giao đóng của quan hệ R, tức làP (b)có tính chất tương giao đóng hay T λ∈Λ cl(F (λ)) =cl T λ∈Λ F (λ) .
Do đó tập P (b), b ∈B có điểm chung. Theo Định lý 2.2.1, bài tốn (VR) có nghiệm.
Định lý trên tuy đơn giản nhưng khá hữu ích trong việc xét sự tồn tại nghiệm của một số bài toán như bài toán điểm bất động, bài toán điểm yên ngựa, bài toán cân bằng Nash, bài toán cân bằng chiến lược trội. Dưới đây, ta xét bài toán quan hệ biến phân đơn giản, được ký hiêu (SVR), trong đó rằng buộc T khơng có và các ánh xạ S1 và S2 là các ánh xạ không đổi : S1(a) =A và S2(a) =B với mọi a∈A. Khi đó tập P (b) được viết đơn giản như sau:
P (b) = {a∈A:R(a, b) đúng}.
Khi đó (VR) là giải được hữu hạn nếu và chỉ nếu mỗi tập hữu hạn D⊂B thì tồn tại a0 ∈A sao cho R(a0, b) đúng với mọi b∈D.
3.2.1 Bài toán minimax
Cho A là không gian tôpô vàB là tập khác rỗng. Cho ϕlà hàm thực trên tập
A×B và α là số thực. Xét bài toán minimax được ký hiệu bởi P1: Tìm a ∈ A
sao cho sup b∈B
ϕ(a, b)≤α.
Trong trường hợp A = B và α = sup a∈A
ϕ(a, a) thì bài tốn trên trở thành bài toán (SVR) như sau:
(i) S1(a) =A, S2(a) =B với mọi a∈A;
(ii) R(a, b) đúng khi và chỉ khi ϕ(a, b)≤α;
Áp dụng Định lý 3.2.1 cho bài tốn trên ta có hệ quả sau đây.
Hệ quả 3.2.1. Cho A là tập khác rỗng, compact, B là tập khác rỗng và ánh xạ đa trị b ⇒{a ∈A, ϕ(a, b)≤α} là tương giao đóng trên A. Khi đó bài tốn (P1)
có nghiệm nếu và chỉ nếu với mọi tập hữu hạn D⊆B thì tồn tại a0 ∈A sao cho
sup b∈B
ϕ(a0, b)≤α.
Chứng minh. Áp dụng Định lý 3.2.1 và sử dụng giả thiết đã được đơn giản - (VR) là giải được hữu hạn khi và chỉ khi mỗi tập con hữu hạn phần tử D của
B thì tồn tại a0∈A sao cho ϕ(a0, b)≤α với mọi b ∈D.
3.2.2 Bài toán điểm yên ngựa
Cho A và B là hai tập khác rỗng và f là hàm thực xác định trên A×B. Ta
gọi điểm a, b∈A×B là điểm yên ngựa của f nếu
Ta đi xét bài tốn (SVR) sau:
(i) S1(a, b) = A×B, S2(a, b) =A×B với mọi a∈A và b∈B; (ii) R((a, b),(a0, b0)) đúng nếu và chỉ nếu f(a, b0)≤f(a0, b) ;
Khi đó (SVR) là giải được hữu hạn nếu và chỉ nếu với mỗi tập con hữu hạn phần tử D⊂A×B thì tồn tại (a0, b0)∈A×B sao cho
f(a0, b)≤f(a, b0) với mọi (a, b)∈D.
Hệ quả 3.2.2. Cho A và B là hai tập khác rỗng, compact và ánh xa đa trị
(a0, b0)7→ {(a, b)∈A×B :f(a, b0)≤f(a0, b)}là tương giao đóng. Khi đóf có điểm yên ngựa nếu và chỉ nếu với mọi tập hữu hạn D⊆A×B tồn tại (a0, b0)∈A×B
sao cho f(a0, b)≤f(a, b0) với mọi (a, b)∈D.
Chứng minh. Trục tiếp suy ra từ Định lý 3.2.1
3.2.3 Bài toán điểm bất động
Cho A là tập khác rỗng trong không gian metric (E, d)và f là hàm thực trên
E, B(a, r) là hình cầu mở tâm a ∈A bán kính r >0. Khi đó điểm a là điểm bất động của f nếu và chỉ nếu a là nghiệm của bài toán (SVR) sau đây:
(i) S1(a) =A, S2(a) =A với mọi a∈A;
(ii) R(a, a0) đúng nếu và chỉ nếu a0∈/ B(a, d(f(a), a)).
Bài toán (SVR) là giải được hữu hạn nếu và chỉ nếu với mọi tập hữu hạn
D⊂A thì tồn tại a0 ∈A sao cho
D∩B(a0, d(f(a0), a0)) =∅.
Hệ quả 3.2.3. Cho A là tập compact và ánh xạ đa trị
b 7→P (b) = {a∈A:d(b, a)≥d(f(a), a)}là tương giao đóng. Khi đó f có điểm bất động nếu và chỉ nếu mọi tập con hữu hạn D ⊆ B tồn tại a0 ∈ A sao cho
D∩B(a0, d(f(a0), a0)) = ∅.
Chứng minh. Suy trực tiếp từ Định lý 3.2.1.
3.2.4 Bài toán cân bằng Nash
Xét trị chơi khơng hợp tác G= (Ai, fi)i∈I với:
I ={1,2, ..., n} là tập hữu hạn người chơi;
Ai là chiến lược của người chơi thứ i;
fi là hàm tiền chi phí của người chơi thứ i; Xác định trên tập tích A = Q
i∈I
Ký hiệu A(−j) cho tíchQ
i∈I\{j}Ai=A1×...×Aj−1×Aj+1×...×An.
Chiến lược a∈A được gọi là điểm cân bằng Nash nếu
fi a(−i), ai≤fi(a) với mọi ai∈Ai, i= 1, ..., n.
Rõ ràng a là cân bằng Nash nếu và chỉ nếu a là nghiệm của bài toán (SVR) sau đây:
(i) S1(a) =A, S2(a) =A với mọi a∈A;
(ii) R(a, b) đúng nếu và chỉ nếu fi a(−i), bi≤fi(a), i= 1, ..., n; Hơn nữa, R(a, b) đúng với mọi b ∈A nếu và chỉ nếu:
ϕ(a, b) := n P i=1
fi a(−i), bi−fi(a)≤0 với mọi b∈A.
Bài toán (SVR) là giải được hữu hạn nếu và chỉ nếu mọi tập con hữu hạnD⊂A
tồn tại a0 ∈A sao cho
ϕ(a0, b)≤0 với mọi b ∈D.
Hệ quả 3.2.4. Cho A là tập compact và ánh xạ đa trị b ⇒ {a :ϕ(a, b)≤0} là tương giao đóng. Khi đó điểm cân bằng Nash tồn tại nếu và chỉ nếu mọi tập con hữu hạn D⊆A tồn tại a0 ∈A sao cho ϕ(a0, b)≤0 với mọi b ∈D.
Chứng minh. Áp dụng Hệ quả 3.2.1 với α= 0. 3.2.5 Bài toán cân bằng chiến lược trội
Xét bài tốn tìm điểm cân bằng chiến lược trội của trị chơi G được mơ tả trong bài tốn cân bằng Nash.
Ta nói chiến lược đặc trưng a là cân bằng chiến lược trội của trò chơi G nếu
fi a(−i), bi≥fi(b) với mọi b ∈A, i= 1, ..., n. hay
fi(a1, ..., ai−1, bi, ai+1, ..., an)> fi(b1, ..., bn).
Rõ ràng a là điểm cân bằng chiến lược trội nếu và chỉ nếu a là nghiệm của bài toán cân bằng (SVR) sau đây:
(i) S1(a) =A, S2(a) =A với mọi a∈A;
(ii) R(a, b) đúng nếu và chỉ nếu fi a(−i), bi≥fi(b) ;i= 1, ..., n. Cho B =An. Phần tử của B được ký hiêu bởi ˆb = b1, ..., bn.
ϕ a,ˆb= n P i=1 fi bi−fi a(−i), bi i .
Dễ thấy a là cân bằng chiến lược trội nếu và chỉ nếu supˆb∈Bϕ a,ˆb ≤ 0. Do đó (SVR) là giải được hữu hạn nếu và chỉ nếu với mọi tập hữu hạn D ⊂ B thì tồn tại a0 ∈A sao cho
ϕ a0,ˆb60 với mọi ˆb∈D.
Áp dụng Hệ qủa 3.2.1 cho trường hợp riêng ta suy ra hệ quả sau đây.
Hệ quả 3.2.5. Giả sử A là tập compact và ánh xạ đa trị b7→ a:ϕ a,ˆb≤0
là tương giao đóng. Khi đó điểm cân bằng chiến lược trội tồn tại nếu và chỉ nếu với mọi tập hữu hạn D ⊆ Y thì tồn tại a0 ∈ A sao cho ϕ a0,ˆb 6 0 với mọi
ˆb∈D.
Chương 4
Bài toán quan hệ biến phân khơng có tính chất KKM
Chương 2 đã trình bày định lý tồn tại nghiêm của bài toán (VR) dựa trên tính chất KKM. Chương này trình bày điều kiện tồn tại nghiệm tổng quát theo [4] và [5] của bài tốn quan hệ biến phân dựa trên tính chất của ánh xạ KKM. 4.1 Quan hệ KKM tổng quát
Cho B là tập con của không gian tôpô X và F :B ⇒X là ánh xạ đa trị. Ánh xạ F là ánh xạ KKM nếu với mỗi tập con hữu hạn {b1, ..., bn} của B thì ta có
conv{b1, ..., bn} ⊂
n S i=1
F(bi).
Khái qt định nghĩa này trong trường hợp B không nhất thiết là tập con củaX,ta được khái niệm ánh xạ KKM tổng quát. Trong phần này ta sẽ sử dụng khái niệm ánh xạ KKM tổng quát.
Định nghĩa 4.1.1. Giả sử A là tập con của khơng gian tuyến tính. Ánh xạ đa trị F : B ⇒ A được gọi là ánh xạ KKM tổng quát nếu mỗi tập con hữu hạn
{b1, ..., bn} của B, tồn tại tương ứng tập con {a1, ..., an} của A sao cho mỗi tập con I ⊂ {1, ..., n} ta có conv{ai:i∈I} ⊂ S
i∈I
F (bi).
Khi A = B là tập lồi, mọi ánh xạ KKM trên A là ánh xạ KKM tổng quát nhưng ngược lại khơng đúng. Ta có kết quả dưới đây.
Bổ đề 4.1.1. Cho A và B là hai tập con khác rỗng của không gian vectơ tôpô
X. Giả sử mỗi điểm b∈B tương giao của F (b) với mỗi không gian con hữu hạn chiều của X là đóng. Khi đó F là ánh xạ KKM tổng qt nếu và chỉ nếu F có tính chất tương giao hữu hạn.
Định nghĩa 4.1.2. Quan hệR được gọi là quan hệ KKM tổng quát nếu với mỗi tập con hữu hạn{b1, ..., bn}củaB tồn tại tập con tương ứng{a1, ..., an}củaAsao cho conv{a1, ..., an} ⊆ A, mỗi tập con I ⊆ {1, ..., n} và mỗi a ∈ conv{aj :j ∈I}
thì tìm được chỉ số i∈I sao cho R(a, bi, y) đúng với mọi y∈T (a, b).
Cho A, B 6=∅ là tập con của không gian véctơ tôpô X. Sau đây là định lý tồn tại nghiệm của bài toán (VR) khi R là quan hệ KKM tổng quát.
Định lý 4.1.1. Bài tốn (VR) có nghiệm nếu thỏa mãn các điều kiện sau đây: (i) A là tập khác rỗng, compact;
(ii) Ánh xạ đa trị P (·) là tương giao đóng trên B;
(iii) S1(a) = A với mọi a∈A;
(iv) Quan hệ R là KKM tổng quát.
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh P là ánh xạ KKM tổng quát. Xét tập con hữu hạn {b1, ..., bn} của B
Theo (iv) ta tìm được tập con tương ứng{a1, ..., an}của A sao cho mỗi tập con
I ⊆ {1, ..., m} và mỗi a ∈ conv{aj :j ∈I} ta tìm chỉ số j ∈ I sao cho R(a, bj, y)
đúng với mọi y∈T (a, b). Mà a∈P (bj) nên P là ánh xạ KKM tổng quát.
Do P là ánh xạ KKM tổng quát, với mỗi b ∈B thì có a∈A sao cho a∈P(b). Đặc biệt P(b) là khác rỗng với mỗi b ∈B.
Xét ánh xạ đa trị b7→cl(P (b)), cũng là ánh xạ KKM tổng quát. Theo Bổ đề 4.1.1, tập {cl(P (b)) :b∈B} có tính chất tương giao hữu hạn.
Theo định lý KKM-Fan về tương giao hữu hạn, tập {cl(P(b)) :b ∈B} 6=∅.
Suy ra {P (b) :b∈B} 6=∅.
Theo Định lý 2.2.1 bài tốn (VR) có nghiệm.
Định lý trên đây là tổng quát hóa Định lý 2.2.2 chương 2 ở ba khía cạnh. Thứ nhất là tậpA và B không nhất thiết trùng nhau, thứ hai ánh xạ P có thể khơng có giá trị đóng, thứ ba là quan hệ R là KKM tổng quát mà nó có thể khơng là KKM ngay cả khi A trùng với B.
Khái niệm quan hệ KKM tổng quát có thể tìm trong những ứng dụng về bất đẳng thức biến phân và lý thuyết trò chơi. Ta nhắc lại một vài kết quả sau đây.
(i) Hàm tựa - lõm γ suy rộng.
Cho φ(a, b) : A×B →(−∞,+∞],γ ∈(−∞,+∞]. Ta gọi ϕ là hàm tựa - lõm γ
suy rộng tạibnếu mỗi tập con hữu hạn{b1, ..., bn}củaB thì tồn tại tương ứng tập con{a1, ..., an}củaAsao cho mỗi tập conI ⊆ {1, ..., n}và mỗia∈conv{aj :j ∈I}
Ta định nghĩa quan hệ R như sau:
R(a, b) đúng nếu và chỉ nếu ϕ(a, b)≤γ.
Khi đó ϕ là hàm tựa - lõm γ suy rộng tại b nếu và chỉ nếu R là KKM tổng quát.
(ii) Hàm tựa - lõm chuyển đổi chéo (diagonal transfer).
Hàmϕ(a, b) :A×A→Rđược gọi là tựa lõm chuyển đổi chéo tại b trênA nếu với mọi tập con hữu hạn {b1, ..., bn} của A tồn tại tương ứng {a1, ..., an} của A
sao cho mỗi tập con I ⊆ {1, ..., n} và a ∈ conv{aj :j ∈I} ta có minj∈Iφ(a, bj) ≤
φ(a, a).
Ta định nghĩa quan hệ R như sau:
R(a, b) đúng khi và chỉ khi ϕ(a, b)6ϕ(a, a).
Khi đó ϕlà tựa lõm chuyển đổi chéo tại b khi và chỉ khiR là KKM tổng quát.
Hệ quả 4.1.1. Cho X là không gian véctơ tơpơ lồi địa phương. Khi đó bài tốn (VR) có nghiệm nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) A là tập khác rỗng, compact; (ii) S1(a) =A với mọi a∈A;
(iii) Ánh xạ đa trị S2 là hàm nửa liên tục dưới;
(iv) Quan hệ R là quan hệ KKM tổng quát với mỗi điểm b ∈ A, R(·, b,·) là đóng với biến thứ nhất và biến thứ ba;
(v) Với mọi điểm b∈A, T (·, b) là nửa liên tục dưới theo biến thứ nhất. Chứng minh. Giả sử U là một cơ sở lân cận lồi của điểm gốc trong không gian
X. Với mỗi U ∈ U xét bài toán quan hệ biến phân (V R)U với ánh xạ S2U (x) = (S2(x) +U)∩B. Theo Bổ đề 2.2.1 trong Chương 2 ta có PU(b) là đóng.
Do đó, P (·)là tương giao đóng. Theo Định lí 4.1.1, (V R)U có nghiệm với mỗi
U ∈ U. VìPR(b) là đóng với mọi b∈B, từ Bổ đề 2.2.2 trong Chương 2 ta suy ra
Q có giá trị nghịch ảnh mở, vì thế Q là nửa liên tục dưới.
Tương tự, ánh xạ S2U là mở trong A×B nên ánh xạ đa trị S2U (x)∩Q(x) = (S2(x) +U)∩Q(x) là nửa liên tục dưới trong tơpơ cảm sinh trên B.
Vì Q(a) ⊆ B với mọi a ∈ A, S2U (x)∩Q(x) là nửa liên tục dưới trong tôpô trên X.
Bây giờ ta xét tập AU ={x∈A:S2U(x)∩Q(x) =∅}. Vì (V R)U có nghiệm với mỗiU ∈ U nên AU 6=∅. Ngồi ra, tính nửa liên tục dưới của S2U (x)∩Q(x) cùng với tính compact của A suy ra AU đóng. Vì thế, AU là giảm dần theo U, do đó họ các tập AU là tập compact khác rỗng với U ∈ U có một điểm chung, ký hiệu là a. Vậy a là nghiệm của bài toán (VR).
4.2 Bài tốn quan hệ biến phân khơng có tính chất KKM Ở những phần trên ta đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài tốn quan hệ biến phân có tính chất KKM hoặc KKM suy rộng. Trong phần này ta sẽ đi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài tốn quan hệ biến phân khơng có tính chất KKM, theo [5].
Định nghĩa 4.2.1. Cho E là không gian véctơ tôpô Hausdorff , A là tập con khác rỗng của E. A được gọi là có tính chất điểm bất động nếu mỗi ánh xạ liên tục f :A→A có điểm bất động.
Định nghĩa 4.2.2. Cho A, B là các tập con khác rỗng của không gian véctơ tôpô. R(a, b) là quan hệ giữa các phần tử a ∈ A, b ∈ B. Với mỗi điểm b ∈ B, quan hệ R(., b) được gọi là biến phân đóng nếu mỗi lưới {aα} hội tụ tới điểm a
và R(aα, b) đúng với mỗi α thì quan hệ R(a, b) cũng đúng.
Tiếp theo chúng ta đi nghiên cứu bài tốn quan hệ biến phân khơng có tính chất KKM.
Định lý 4.2.1. Cho A là tập con khác rỗng và compact của không gian véctơ tôpô Hausdorff, A có tính chất điểm bất động. R(a, b) là quan hệ giữa các phần tử a∈A, b∈B. Gỉa sử rằng:
(i) Với mỗi điểm b∈A thì R(., b) đóng;
(ii) Với mỗi tập con hữu hạn {a1, ..., an} của A thì tồn tại ánh xạ liên tục
ϕn : ∆n →Asao cho với mỗiλ= (λ1, ..., λn)∈∆n tồn tạii∈J(λ)để R(ϕn(λ), ai)
đúng, Ở đây∆n = (λ1, ..., λn)∈Rn : n P i=1 λi= 1, λi>0 , J(λ) ={i∈ {1, ..., n}:λi>0}.
Khi đó tồn tại a∗∈A sao cho R(a∗, b) đúng với mọi b ∈A.
Chứng minh. Trước hết, với mỗi điểm b ∈A ta ký hiệu:
U(b) ={a ∈A:R(a, b) không đúng}.
Theo điều kiện (i) nên U(b) mở trong A.
Thật vậy, đặt W =A\U(b).
Gỉa sử lưới {aα} ∈W, {aα} hội tụ đến a.
Ta có R(aα, b) đúng nên suy ra R(a, b) cũng đúng (vì R(·, b) là biến phân đóng). Từ đây suy ra a /∈ U(b) nên a ∈ W. Vậy W là tập đóng hay U(b) là tập mở.
Bây giờ, giả sử ngược lại, với mỗi a ∈ A tồn tại b ∈ A sao cho R(a, b) khơng đúng.
Khi đó A = S b∈A
U(b), nghĩa là {U(b)}b∈A là phủ mở của A.
Vì A khác rỗng, compact và U(b) là tập mở, nên tồn tại (b1, ..., bn) ⊂ A sao