3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân khơng có
4.3 Ứng dụng vào một số bài toán
Cho A, B, Y là các tập con của không gian véctơ tơpơ Hausdorff và F : A×
A×Y ⇒ Z, G: A×A×Y ⇒ Z, S1 : A⇒ A, S2 : A⇒ A, T :A×B ⇒ Y là các ánh xạ đa trị.
Bài tốn bao hàm thức biến phân (I).
Tìm a∗ ∈ A sao cho a∗ ∈ S1(a∗) và 0 ∈ F (a∗, b, y) với mọi b ∈ S2(a∗) và
y∈T (a∗, b).
Bài tốn bao hàm thức biến phân (II).
Tìm a∗ ∈ A sao cho a∗ ∈ S1(a∗) và F(a∗, b, y)⊂ G(a∗, b, y) với mọi b ∈ S2(a∗) và y∈T(a∗, b).
Bài tốn bao hàm thức biến phân (III).
Tìma∗ ∈Asao choa∗ ∈S1(a∗)vàF (a∗, b, y)∩G(a∗, b, y)6=∅với mọib∈S2(a∗) và y∈T(a∗, b).
Định lý 4.3.1. Cho A, B là hai tập con khác rỗng, compact của khơng gian véctơ tơpơ Hausdorff, A có tính chất điểm bất động. Giả sử các điều kiện (i) - (iii) của Định lý 4.2.2 đúng và:
(1) Với mỗi điểm b∈A, {(a, y)∈A×B : 0∈F (a, b, y)} đóng;
(2) Với mỗi tập con hữu hạn {a1, ..., a2} của A, tồn tại ánh xạ liên tục ϕn : ∆n → A sao cho với λ = (λ1, ..., λn) ∈ ∆n thì tồn tại i ∈ J(λ) sao cho 0 ∈
F (ϕn(λ), ai, y) với mọi y∈T (ϕn(λ), ai) ;
Nếu ai ∈S2(ϕn(λ)) với mỗi i∈J(λ) thì ϕn(λ)∈S2(ϕn(λ)).
Khi đó bài tốn bao hàm thức biến phân (I) có ít nhất một nghiệm tức là tồn tại a∗ ∈ X sao cho a∗ ∈ S1(a∗) và 0 ∈ F(a∗, b, y) với mọi b ∈ S2(a∗) và
y∈T (a∗, b).
Chứng minh. Áp dụng Định lý 4.2.2, quan hệ R(a, b, y) đúng nếu 0∈F (a, b, y).
Hệ quả 4.3.1. Giả sử điều kiện (1) của Định lý 4.3.1 được thay thế bởi điều kiện sau:
(a) (a, y)→F(a, b, y) là đóng.
Khi đó tồn tại a∗∈A sao cho a∗ ∈S1(a∗) và 0∈F (a∗, b, y) với mọi b∈S2(a∗)
và y∈T (a∗, b).
Chứng minh. Với mỗi điểm b∈A, nếu mỗi lưới {(aα, yα)} trong
{(a, y)∈A×Y : 0∈F(a, b, y)} hội tụ đến (a, y) thì 0∈F (aα, b, yα). Từ giả thuyết (a, y)→F (a, b, y) đóng nên 0∈F (a, b, y).
Vậy {(a, y)∈A×Y : 0∈F(a, b, y)} đóng.
Định lý 4.3.2. Cho A, B là hai tập con khác rỗng, compact của khơng gian véctơ tơpơ Hausdorff và A có tính chất điểm bất động. Giả sử các điều kiện (i) - (iii) của Định lý 4.2.2 đúng và:
(1) Với mỗi điểm b∈A, {(a, y)∈A×Y :F(a, b, y)⊂G(a, b, y)} đóng;
(2) Với mỗi tập con hữu hạn{a1, ..., a2}củaAtồn tại ánh xạ liên tụcϕn : ∆n →
X sao cho với mỗi λ = (λ1, ..., λn) ∈ ∆n tồn tại i ∈ J(λ) để F (ϕn(λ), ai, y) ⊂
G(ϕn(λ), ai, y) với mỗi y∈T (ϕn(λ), ai);
Khi đó bài tốn bao hàm thức biến phân (II) có ít nhất một nghiệm, tức là tồn tại a∗ ∈A sao cho a∗ ∈ S1(a∗) và F (a∗, b, y)⊂G(a∗, b, y) với mọi b∈ S2(a∗)
và y∈T (a∗, b).
Chứng minh. Áp dụng Định lý 4.2.2, quan hệR(a, b, y)đúng nếuF (a, b, y)⊂G(a, b, y).
Hệ quả 4.3.2. Giả sử điều kiện (1) của Định lý 4.3.2 được thay thế bởi điều kiện sau:
(a) Ánh xạ (a, y)→F(a, b, y) là nửa liên tục dưới, (a, y)→G(a, b, y) là ánh xạ đóng.
Khi đó tồn tại a∗ ∈ A sao cho a∗ ∈ S1(a∗) và F (a∗, b, y) ⊂ G(a∗, b, y) với mọi
b∈S2(a∗) và y∈T (a∗, b).
Chứng minh. Với mỗi điểm b∈A, nếu mỗi lưới {(aα, yα)} trong
{(a, y)∈A×Y :F (a, b, y)∩G(a, b, y)}hội tụ đến(a, y)thìF (aα, b, yα)⊂G(aα, b, yα.)
Với mỗi u ∈ F (a, b, y), vì (a, b) → F(a, b, y) là nửa liên tục dưới nên tồn tại
uα∈F (aα, b, yα)⊂G(aα, b, yα) sao cho uα →u.
Vì (a, b)→G(a, b, y) là đóng nên u∈G(a, b, y). Do đó F (a, b, y)⊂G(a, b, y). Vậy {(a, y)∈A×Y :F (a, b, y)⊂G(a, b, y)} là tập đóng.
Định lý 4.3.3. Cho A, B là hai tập con khác rỗng, compact của không gian véctơ tôpô Hausdorff và A có tính chất điểm bất động. Giả sử các điều kiện (i) - (iii) của Định lý 4.2.2 đúng và:
(1) Với mỗi điểmb ∈A,{(a, y)∈A×Y :F (a, b, y)∩G(a, b, y)6=∅}là tập đóng; (2) Với mỗi tập con hữu hạn {a1, ..., a2} của A tồn tại ánh xạ liên tục ϕn : ∆n →A sao cho với mỗi λ= (λ1, ..., λn)∈∆n tồn tại i∈J(λ) để F (ϕn(λ), ai, y)∩ G(ϕn(λ), ai, y)6=∅ với mỗi y∈T (ϕn(λ), ai);
Nếu ai ∈S2(ϕn(λ)) với mỗi i∈J(λ) thì ϕn(λ)∈S2(ϕn(λ)).
Khi đó bài tốn bao hàm thức biến phân (III) có ít nhất một nghiệm, tức là tồn tại a∗ ∈ A sao cho a∗ ∈ S1(a∗) và F (ϕn(λ), ai, y)∩G(ϕn(λ), ai, y) 6= ∅ với mọi y∈S2(a∗) và z ∈T(a∗, b).
Chứng minh. Áp dụng Định lý 4.2.2, quan hệ R(a, b, y) đúng nếu F (a, b, y)∩
G(a, b, y)6=∅.
Hệ quả 4.3.3. Giả sử điều kiện (1) của Định lý 4.3.3 được thay thế bởi điều kiện sau:
Khi đó tồn tại a∗ ∈ A sao cho a∗ ∈ S1(a∗) và F (a∗, b, y)∩G(a∗, b, y) 6= ∅ với mọi b∈S2(a∗) và y∈T (a∗, b).
Chứng minh. Với mỗi điểm b∈A, nếu với mỗi lưới {(aα, yα)} trong
{(a, y)∈A×B :F (a, b, y)∩G(a, b, y)6=∅}hội tụ đến(a, y)nào đó, thì vì(a, y)→
F (a, b, y)∩G(a, b, y) là tập đóng nên tồn tại uα ∈ F (aα, b, yα)∩G(aα, b, yα) sao cho uα →u∈F(a, b, y)∩G(a, b, y).
Như vậy {(a, y)∈A×Y :F (a, b, y)∩G(a, b, y)6=∅} là tập đóng.
4.3.2 Bất đẳng thức Ky Fan minimax tổng quát với hàm C - tựa lõm
Định nghĩa 4.3.1. (Xem [5]) Cho X là không gian tôpô và A, Y ⊂ X. Hàm f :X×Y →Rđược gọi là C - tựa lõm trênAnếu mỗi tập con hữu hạn{a1, ..., an}
của A thì tồn tại ánh xạ liên tục ϕn : ∆n →Y sao cho
f(ϕn(λ), ϕn(λ))≥ min
i∈J(λ)f(ϕn(λ), xi) với mỗi λ = (λ1, ..., λn)∈∆n.
Dưới đây là định lý tồn tại nghiệm của bất đẳng thức Ky Fan tổng quát.
Định lý 4.3.4. Cho A là tập con khác rỗng, compact của không gian véctơ tôpô Hausdorff và A có tính chất điểm bất động. S1 : A⇒ A, S2 :A ⇒ A là các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng, hàm f :A×A →R là hàm nhận giá trị thực. Giả sử rằng các điều kiện (i) - (iii) của Hệ quả 4.2.1 đúng và
(1) Với mỗi điểm b∈A, a→f(a, b) là hàm nửa liên tục dưới; (2) Với mỗi a∈A, f(a, a)≤0;
(3) Với mỗi tập con hữu hạn {a1, ..., an} của A thì tồn tại ánh xạ liên tục
ϕn : ∆n →A sao cho với λ∈∆n ta có
f(ϕn(λ), ϕn(λ))≥ min
i∈J(λ)f(ϕn(λ), ai) ;
Nếu ai∈S2(ϕn(λ)) với mọi i∈J(λ) thì ϕn(λ)∈S2(ϕn(λ)).
Khi đó tồn tại a∗∈S1(a∗) sao cho f(a∗, b)≤0 với mọi b∈S2(a∗).
Chứng minh. Định nghĩa quan hệ biến phân R(a, b) bởi
R(a, b) đúng nếu và chỉ nếu f(a, b)≤0.
Theo giả thiết, với mỗi điểmb ∈A,a→f(a, b)là nửa liên tục dưới, nênR(·, b) đóng với mỗi điểm cố định b∈A.
Theo điều kiện (3), với mỗi tập con hữu hạn {a1, ..., an} của A,tồn tại ánh xạ liên tục ϕn : ∆n →Y sao cho với mỗi λ∈∆n thì tồn tại i∈J(λ) sao cho
f(ϕn(λ), ϕn(λ))≥ min
i∈J(λ)f(ϕn(λ), ai).
Với mỗi a ∈ A, f(a, a)≤ 0 nên tồn tại i∈ J(λ) sao cho f(ϕn(λ), ai) ≤ 0, tức là
R(ϕn(λ), ai) đúng.
Mọi điều kiện của Hệ quả 4.2.1 thỏa mãn. Do đó tồn tại a∗ ∈S1(a∗) sao cho
R(a∗, b) đúng với mọi b ∈ S2(a∗), hay tồn tại a∗ ∈ S1(a∗) sao cho f(a∗, b) ≤ 0 đúng với mọi y∈S2(x∗).
Hệ quả 4.3.4. Cho A là tập con khác rỗng, compact của không gian véctơ tơpơ Hausdorff và A có tính chất điểm bất động. Hàm f : A×A → R thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(i) Với mỗi điểm b∈A, a→f(a, b) là hàm nửa liên tục dưới; (ii) Với mỗi điểm a∈A, b →f(a, b) là C - tựa lõm trên A; (iii) Với mỗi điểm a ∈A, f(a, a)≤0;
Khi đó tồn tại a∗∈A sao cho f(a∗, b)≤0 với mọi b∈A.
4.3.3 Bất đẳng thức véctơ minimax Ky Fan véctơ tổng quát với C - P -tựa lõm tựa lõm
Dưới đây là tổng quát bất đẳng thức minimax Ky Fan véctơ với C- tựa lõm, từ đó ta thu được bất đẳng thức minimax Ky Fan véctơ với C - P- tựa lõm.
Định nghĩa 4.3.2. Cho X là không gian tôpô, Z là không gian véctơ tôpô Hausdorff với nón P lồi, nhọn, đóng, khác rỗng, intP 6= ∅ và A, Y ⊂ X. Hàm f : X ×Y → Z được gọi là C−P - tựa lõm trên A nếu với mỗi tập con hữu hạn {x1, ..., xn} của A, tồn tại ánh xạ liên tục ϕn : ∆n → Y, sao cho với mỗi
λ= (λ1, ..., λn)∈∆n, tồn tại i∈J(λ) để
f(ϕn(λ), ϕn(λ))∈f(ϕn(λ), xi) +P.
Định nghĩa 4.3.3. Hàm giá trị véctơ f : X → Z được gọi là P - liên tục tại
x0∈X nếu với mỗi lân cận mở V của gốc trong Y thì tồn tại lân cận mởU của
x0 trong X sao cho với mỗi x∈U thì
f(a)∈f(x0) +V +P.
Hàmf được gọi là P - liên tục trên X nếuf làP - liên tục tại mọi điểm của X. Định lý 4.3.5. Cho A là tập con khác rỗng, compact của không gian véctơ tôpô Hausdorff và A có tính chất điểm bất động. Cho f :A×A⇒Y là ánh xạ đa trị. Giả sử các điều kiện (i) - (iii) của Hệ quả 4.2.1 đúng và
(1) Với mỗi điểm b∈A, ánh xạ a→f(a, b) là P - liên tục; (2) Với mỗi a∈A, f(a, a)∈/intP;
(3) Với mỗi tập con hữu hạn {a1, ..., an} của A, tồn tại ánh xạ liên tục ϕn : ∆n →A sao cho với mỗi λ ∈∆n thì tồn tại i∈J(λ) sao cho
f(ϕn(λ), ϕn(λ))∈f(ϕn(λ), ai) +P.
Nếu ai∈S2(ϕn(λ)) với mỗi i∈J(λ) thì ϕn(λ)∈S2(ϕn(λ)).
Khi đó tồn tại a∗∈S1(a∗) sao cho f(a∗, b)∈/ intP với mọi y∈S2(a∗).
Chứng minh. Định nghĩa quan hệ biến phân R(a, b) bởi:
R(a, b) đúng nếu và chỉ nếu f(a, b)∈/ intP.
Với mỗi điểm b∈A, mỗi lưới {aα} của A mà R(aα, b) đúng và aα→a. Giả sử R(a, b) khơng đúng, khi đó f(a, b) ∈ intP. Vậy tồn tại lân cận mở V của điểm gốc trong Y sao cho f(a, b) +V ∈intP.
Với mỗi điểm b∈A, ánh xạ a→f(a, b) làP - liên tục, nên tồn tại lân cận mở
U của a trong A sao cho với mỗi a0∈U ta có
f(a0, b)∈f(a, b) +V +P ⊂intP +P ⊂intP. Từ đây suy ra tồn tại α0 sao cho f(aα, b)∈intP với α > α0.
Điều này mẫu thuẫn với giả thuyết R(aα, b) đúng. Vậy R(·, b) đóng mọi b ∈A.
Hơn nữa, theo điều kiện (3), với mỗi tập con hữu hạn {a1, ..., an} của A thì tồn tại ánh xạ liên tục ϕn : ∆n → A sao cho với mỗi λ = {λ1, ..., λn} ∈ ∆n, tồn tại i0(λ)∈J(λ) sao cho
f(ϕn(λ), ϕn(λ))∈f ϕn(λ), ai0(λ)+P.
Nếu tồn tại λ0 ∈∆n sao cho R(ϕn(λ0), yi) không đúng với mọi i∈J(λ0) thì
f(ϕn(λ0), ai)∈intP. Với mọi i∈J(λ0) từ đây ta có:
f(ϕn(λ0), ϕn(λ0))∈f ϕn(λ0), ai0(λ0)+P ⊂intP +P ⊂intP. Điều này mâu thuẫn giả thiết f(a, a)∈/ intP với mọi a∈A.
Khi đó, với mọi λ ∈∆n, tồn tại i(λ)∈J(λ) sao cho R ϕn(λ), ai(λ) đúng. Từ đó theo Hệ quả 4.2.1, tồn tại a∗ ∈ S1(a∗) sao cho R(a∗, b) đúng với mọi
Hệ quả 4.3.5. Cho A là tập con khác rỗng, compact của không gian véctơ tơpơ Hausdorff và A có tính chất điểm bất động. Ánh xạ đa trị f :A ⇒ A →Y thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) Mỗi điểm a∈A, a→f(a, b) là P - liên tục; (2) Mỗi điểm a∈A, b→f(a, b) là C−P - tựa lõm; (3) Mỗi điểm a∈A, f(a, a)∈/intP.
Khi đó tồn tại a∗∈A sao cho f(a∗, b)∈/intP với mọi b∈A.
4.3.4 Trò chơi đa mục tiêu tổng quát và trò chơi n - người khơng hợp táctổng qt tổng qt
Xét trị chơi đa muc tiêu n người tổng quát ΓI, Ai, Fi, Gi . Giả sử rằng: (i) I ={1, ..., n} là tập hợp các người chơi;
(ii) Với mỗi i∈I, Xi 6=∅là tập chiến lược được thiết lập bởi người chơi thứ i;
(iii) Với mỗi i ∈ I, Fi = f1i, ..., fki : A = Qi∈IAi→Rk là véctơ hàm chi phí bởi người chơi thứ i;
(iv) Với mỗi i∈I, Gi:A−i =Q
J∈I\{i}Aj →2Ai là ánh xạ chấp nhận được của người chơi thứ i.
Ký hiệu A−i =Q
i∈I\{i}Aj →2Ai, a−i = (a1, ..., ai−1, ai+1, ..., an)∈A−i,
a= (ai, a−i)∈A.
Phần tử a∗= a∗i, a∗−1∈A được gọi là điểm cân bằng yếu Pareto - Nash của ΓI, Ai, Fi, Gi nếu với mỗi i∈I ta có:
a∗i ∈Gi a∗−i; Fi ui, a∗−i−Fi a∗i, a∗−i∈/ intRk+,∀ui ∈Gi a∗−i.
Nếu k = 1, ΓI, Ai, Fi, Gi thì trị chơi tổng qt có n người khơng hợp tác một mục tiêu. Định nghĩa ánh xạ U :A×A→Rk và G:A →2A bởi: U(a, b) = n P i=1 Fi(ai, y−i)−Fi(ai, a−i), G(a) = Q i∈I Gi(a−i).
Ta có thể chứng minh rằng a là điểm cân bằng yếu Pareto - Nash của ΓI, Ai, Fi, Gi nếu và chỉ nếu a∈G(a) và U(a, b)∈/ intRk+ với mỗi b ∈G(a).
Khi đó ta có các kết quả sau đây.
Định lý 4.3.6. Giả sử rằng:
(i) Với mỗi i ∈ I, Ai là tập khác rỗng, compact và A có tính chất điểm bất động;
(ii) Với mỗi i∈I, {a ∈A:ai∈Gi(a−i)} là tập đóng, và G−1i (bi) là tập mở với mỗi bi ∈Ai;
(iii) Với mỗi điểm b ∈A, a→U(a, b) là Rk+ liên tục;
(iv) Với mỗi tập con hữu hạn {a1, ..., an} của A, thì tồn tại ánh xạ liên tục ϕn : ∆n →A sao cho, với mọi λ∈∆n tồn tại i∈J(λ) sao cho
U(ϕn(λ), ϕn(λ))∈U ϕn(λ), ai+Rk+.
Nếu ai ∈G(ϕn(λ)) với mọi i∈J(λ) thì ϕn(λ)∈G(ϕn(λ)).
Khi đó tồn tại ít nhất một điểm cân bằng yếu Pareto - Nash a∗ ∈ A của
ΓI, Ai, Fi, Gi .
Chứng minh. Áp dụng Hệ quả 4.3.4. Nếu k= 1, ta có
Định lý 4.3.7. Giả sử rằng:
(i) Với mỗi i ∈ I, Ai là tập khác rỗng, compact và A có tính chất điểm bất động;
(ii) Với mỗi i∈I, {a∈A:ai∈Gi(a−i)} đóng, và G−1i (bi) mở với mỗi bi∈Ai;
(iii) Với mỗi điểm b ∈A, a→U(a, b) là nửa liên tục dưới;
(iv) Với mỗi tập hữu hạn {a1, ..., a2} của A, tồn tại ánh xạ đa trị ϕn : ∆n →A
sao cho, với mỗi λ∈∆n tồn tại i∈J(λ) sao cho
U(ϕn(λ), ϕn(λ))≥ min
i∈J(λ)U ϕn(λ), ai.
Nếu ai∈G(ϕn(λ)) với mỗi i∈J(λ) thì ϕn(λ)∈G(ϕn(λ)).
Khi đó tồn tại ít nhất một điểm cân bằng Nash a∗ ∈A của ΓI, Ai, Fi, Gi .
Chứng minh. Áp dụng Hệ quả 4.3.4. 4.4 Kết luận
Chương này đã trình bày phương pháp mới để nghiên cứu bài toán quan hệ biến phân khơng có tính chất KKM. Từ đó ta có các định lý tồn tại nghiệm của bài tốn bao hàm thức biến phân, bất đẳng thức minimax Ky Fan véctơ tổng quát , trò chơi n người khơng hợp tác tổng qt và trị chơi đa mục tiêu tổng quát.
KẾT LUẬN
Dựa trên các bài báo [3]-[5] và những kiến thức về giải tích hàm và ánh xạ đa trị, luận văn đã trình bày sự tồn tại nghiệm của bài tốn quan hệ biến phân trong trường hợp bài tốn có hoặc khơng có tính chất KKM và tính lồi.
Chúng tơi đã cố gắng chứng minh chi tiết các định lý và các kết quả trong các bài báo nêu trên. Bài tốn quan hệ biến phân cịn nhiều kết quả phong phú và nhiều câu hỏi mở chưa được trình bày trong luận văn này. Vì vậy, theo chúng tơi, bài tốn quan hệ biến phân là một đề tài còn nhiều điều thú vị có thể khai thác.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu Tiếng Việt
[1] Hồng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà
Nội.
[2] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự
nhiên và Công nghệ. [B] Tài liệu Tiếng Anh
[3] D. T. Luc (2008), An Abstract Problem in Variational Analysis, J. Optim.
Theory Appl. 138, 65 - 76.
[4] D. T. Luc, Ebrahim Sarabi, Antoine Soubeyran (2010), Existence of so- lutions in variational relation problems without convexity, J. Math. Anal.
Appl. 138, 544 - 555.
[5] Y.J. Pu, Z. Yang (2012), Variational relation problem without the KKM property with applications, J. Math. Anal. Appl. 393, 256 - 264.