1 Tập đóng ngẫu nhiên và hàm cơng suất
1.4 Phép tính với hàm công suất
1.4.1 Tích phân Choquet
a, Định nghĩa và tính chất cơ bản
1.4. Phép tính với hàm cơng suất 20
trên các tập con của E sao cho φ({x :f ≥ t}) là định nghĩa tốt với mọi
t > 0 thì tích phân Choquet của f theo φ được xác định như sau
∫ f dφ = ∞ ∫ 0 φ({x : f ≥ t})dt (1.5)
Tích phân này có thể được hạn chế trên tập con M ⊂ E như sau ∫ M f dφ = ∫ f1Mdφ = ∞ ∫ 0 φ({x ∈ M : f ≥ t})dt.
Trong trường hợp cụ thể, định nghĩa của tích phân Choquet được áp dụng nếu f là một hàm đo được và φ là một trong các hàm được xác định bởi một tập đóng ngẫu nhiên X, ví dụ như hàm cơng suất TX hoặc hàm bao gồm containment functional CX.
Định lý 1.4.1 (Tích phân Choquet đối với phân phối của các tập ngẫu nhiên). Cho X là một tập đóng ngẫu nhiên khơng rỗng h.c.c. Với mọi hàm f khơng âm ta có
∫
f dTX = Esupf(X) (1.6) ∫
f dCX = Einff(X) (1.7)
trong đó f(X) = {f(x) : x ∈ X}. Nếu X rỗng với xác suất dương thì (1.6) xảy ra với sup∅ = 0.
Chứng minh. Chứng minh dựa vào định lý Fubini vì ∫ f dTX = ∞ ∫ 0 TX({x : f(x) ≥ t})dt = ∞ ∫ 0 P{α ≥ t}dt = Eα.
1.4. Phép tính với hàm cơng suất 21
trong đó α = sup{f(x) : x ∈ X}. Phát biểu thứ hai được chứng minh tương tự.
Mệnh đề 1.4.2 ( Tính chất của tích phân Choquet). Xét các hàm khơng âm f và g mà tích phân Choquet (1.5) được xác định đối với một hàm cộng tính dưới φ. Khi đó
(i) Với mọi c ≥ 0 thì ∫
(cf)dφ = c∫
f dφ ;
(ii) Với mọi a ≥0 thì ∫
(f +a)dφ = a+∫
f dφ;
(iii) ∫
(f +g)dφ ≤ ∫ f dφ+∫
gdφ.
Chứng minh. Cho φ = TX chứng minh được áp dụng trực tiếp định lý 1.4.1. Trường hợp tổng quát dễ dàng thấy được bằng việc sử dụng tính cộng tính dưới của φ.
b, Tính đồng đơn điệu cộng tính comonotonic additivity
Nếu φ là đo được thì ∫
f dφ trùng với định nghĩa tích phân Lebesgue thơng thường.Trong trường hợp tổng qt, tích phân Choquet là khơng cộng tính . Hơn nữa, tính chất cộng tính có thể được kiểm tra lại nếu hàm tích phân là đồng đơn điệu.
Định nghĩa 1.4.3 (Hàm đồng đơn điệu). Hàm giá trị thực f và g được gọi là đồng đơn điệu nếu (f(x) −f(x′))(g(x)−g(x′)) ≥ 0 với mọi
x, x′ ∈ E. Hơn nữa, f và g là đồng đơn điệu mạnh nếu với mọi x, x′ ∈ E
thì f(x) < f(x′) nếu và chỉ nếu g(x) < g(x′).
Mệnh đề sau dễ dàng được chứng minh với φ= TX bằng việc sử dụng định lý 1.4.1 và
sup{af(x) +bg(x) : x ∈ X}= asupf(X) +bsupg(X) nếu f và g là đồng đơn điệu.
1.4. Phép tính với hàm cơng suất 22
đơn điệu f và g và với mọi a, b > 0 thì ∫ (af +bg)dφ = a ∫ f dφ+ b ∫ gdφ
xảy ra với mọi hàm φ.
Tính đồng đơn điệu chứng minh mối quan hệ tương đương trên họ các hàm, tức là một tập hợp hữu hạn các hàm là đồng đơn điệu nếu và chỉ nếu tất cả các hàm là đồng đơn điệu từng đôi.
Nếu φ(E) = 1 thì tích phân Choquet là phù hợp với các hàm không nhất thiết là không âm như
∫ f dφ = ∞ ∫ 0 φ({x : f(x) ≥ t})dt− 0 ∫ −∞ [1−φ({x : f(x) ≥ t})]dt.
Tích phân này được gọi là tích phân trên, cịn tích phân dưới được định nghĩa như sau
(L) ∫ f dφ = ∞ ∫ 0 [1−φ({x : f(x) ≤ t})]dt− 0 ∫ −∞ φ({x : f(x) ≤t})dt
Dễ dàng thấy rằng tích phân trên đối với hàm cơng suất TX trùng với tích phân dưới đối với hàm bao gồm . Do đó, nếu X là khơng rỗng h.c.c thì
∫
f dTX = E|supf(X)|,
∫
f dCX = E|inff(X)|.
1.4.2 Định lý Radon- Nikodym đối với hàm công suất
Ta thấy rằng tích phân Choquet của f đối với hàm cơng suất φ đưa ra một hàm mới như sau
ψ(K) =
∫
K
1.4. Phép tính với hàm cơng suất 23
Khi đó ψ được gọi là tích phân bất định của φ và hàm f được gọi là đạo hàm Radon- Nikodym của ψ theo φ, tức là
f(x) = dψ
dφ(x), x ∈ E.
Mệnh đề 1. 4.5(Sự đan dấu và nửa liên tục). Bậc của sự đan dấu ( đồng đơn điệu) của ψ được xác định bởi (1.8) là không nhỏ hơn bậc tương ứng của φ. Trong trường hợp cụ thể, nếu φ là đan dấu đầy đủ ( đồng đơn điệu) thì ψ cũng vậy. Hàm cơng suất ψ là nửa liên tục trên nếu cả f và φ là nửa liên tục trên.
Chứng minh. Dễ dàng thấy rằng ∆Kn · · ·∆K1ψ(K) = ∞ ∫ 0 ∆Kn· · ·∆K1φ({x ∈ K : f(x) ≥ t})dt,
do đó ψ là đan dấu ( đồng đơn điệu) của một bậc xác định nếu φ cũng là đan dấu ( đồng đơn điệu). Tính nửa liên tục trên của ψ được suy ra từ định lý hội tụ đồng đơn điệu.
Nếu hàm công suất của X và Y xác định bởi
TY(K) =
∫
K
f dTX
thì TY(K) = 0 mà TX(K) = 0. Đây là trường hợp đặc biệt của tính liên tục tuyệt đối của hàm công suất được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.4.6 (Hàm công suất liên tục tuyệt đối). Hàm công suất ψ là liên tục tuyệt đối theo φ ( kí hiệu ψ ≪ φ) nếu với mọi K ∈
K, ψ(K) = 0 thì φ(K) = 0.
Bây giờ chúng ta đưa ra công thức của định lý Radon- Nikodym đối với hàm công suất φ và ψ mà là các hàm đơn điệu, cộng tính dưới và liên tục như sau. Cặp (φ, ψ) được gọi là có tính chất phân tích mạnh (
1.5. Sự hội tụ 24
strong decomposition) nếu với mọi t≥ 0 thì tồn tại một tập đo được At
sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn
t(ψ(A)−ψ(B)) ≤ φ(A)−φ(B) nếu B ⊂ A ⊂ At,
t(ψ(A)−ψ(A∩At)) ≥ φ(A)−φ(A∩At) với mọi A.
Định lý 1.4.7 ( Định lý Radon- Nikodym đối với hàm công suất). Với hai hàm công suất φ và ψ, ψ là tích phân bất định của φ nếu và chỉ nếu (φ, ψ) có tính chất phân tích mạnh và ψ ≪φ.
1.5 Sự hội tụ