5 Một số kết quả xa hơn liên quan tới tổng Minkowski
5.2 Định lý ba chuỗi
5.2 Định lý ba chuỗi
Định lý ba chuỗi cổ điển Kolmogorov có thể được tổng quát hóa cho các tập compact ngẫu nhiên. Ở đây chỉ xét trường hợp các tập compact ngẫu nhiên trong không gian Euclidean. Đối với một tập compact ngẫu nhiên X ta định nghĩa
V arAX = E(ρH(X,EX))2.
Chú ý rằng giá trị nhỏ nhất của E(ρH(X, K)2) trên K ∈ K được gọi là variance Frecher của X. Do đó, V arAX không nhỏ hơn variance Frecher của X. Sau đây chúng ta sẽ thảo luận sự hội tụ h.c.c của chuỗi
∞
∑
n=1
Xn = X1 +X2 + · · · (5.2)
đối với các tập compact ngẫu nhiên độc lập X1, X2,· · · mà có cùng phân phối với X. Nếu 0 ∈ X h.c.c thì ( 5.2) hội tụ nếu và chỉ nếu tổng của chuẩn ∑
||Xn|| hội tụ. Với mỗi c > 0 , định nghĩa variant truncated của X như sau X(c) = X, ||X|| ≤ c, {0}, ||X|| > c
Định lý 5.2.1 ( Định lý ba chuỗi). Cho {Xn, n ≥ 1} là một dãy các tập ngẫu nhiên compact độc lập. Khi đó, ∑
Xn hội tụ h.c.c khi và chỉ khi ba chuỗi sau
∑ P{||Xn|| > c}, (5.3) ∑ EXn(c), (5.4) ∑ V arAXn(c), (5.5) hội tụ với c > 0 nào đó.
5.2. Định lý ba chuỗi 62
Chứng minh. Trước hết, giả sử rằng 0∈ Xn h.c.c với mọi n≥ 1. Kí hiệu
ξn = ||Xn|| và ξn(c) = ||Xn(c)||. Để chứng minh điều kiện đủ cần chú ý rằng ∑
P{||ξn|| > c} hội tụ. Sự hội tụ của (5.4) kéo theo sự hội tụ của
∑
E||Xn(c)|| và của cả ∑
Eξn(c) và ∑
(Eξn(c))2. Vì
||Xn(c)||2 ≤ 2ρH(Xn(c),EXn(c))2 + 2ρH(EXn(c),{0})2
nên sự hội tụ của (5.5) kéo theo ∑
Eξn(c)2 hội tụ. Do đó, điều kiện của định lý ba chuỗi của Kolmogorov là thỏa mãn đối với dãy {ξn, n ≥ 1}, tức là ∑
ξn hội tụ mà kéo theo sự hội tụ của ∑
Xn. Điều kiện cần được chứng minh tương tự.
Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ cho trường hợp tổng quát. Cho
Xn = Yn + ηn, trong đó Yn chứa gốc tọa độ h.c.c và ηn là một vector ngẫu nhiên. Sự chọn lựa riêng của phân tích này là khơng quan trọng. Khi đó, (5.3) sẽ kéo theo cả ∑
P{||Yn|| > c} và ∑
P{||ηn|| > c} hội
tụ với c > 0 nào đó. Tập ηn(c) = ηn nếu ||ηn|| ≤ c và ηn(c) = 0 trong các trường hợp còn lại. Sự hội tụ của (5.4) kéo theo ∑
Eηn(c) hội tụ, tức là ∑ EYn(c) hội tụ, do đó cả ∑ ||EYn(c)|| và ∑ ||EYn(c)||2 cũng hội tụ. Từ (5.5) chúng ta suy ra rằng ∑ E(||Yn(c)||2) hội tụ, do đó cả ∑ V arA{ηn(c)} và ∑
V arAYn(c) hội tụ. Như vậy, sự hội tụ của (5.2) được suy ra từ phần đầu tiên của chứng minh ( đối với Yn) và định lý ba chuỗi của Kolmogorov đối với các vector ngẫu nhiên ηn, n ≥ 1.
Điều kiện cần trong trường hợp tổng quát có thể được chứng minh bằng việc thảo luận sự hội tụ của (5.2) kéo theo cả ∑
Yn và ∑
ηn hội tụ với ứng dụng về sau của định lý ba chuỗi và chú ý rằng
V arA(Xn) ≤ 2(V arA(Yn) +V arA({ηn})). Từ đó, ta có điều phải chứng minh.
Bằng việc sử dụng cách chứng minh tương tự, chúng ta đưa ra định lý " hai chuỗi" trong lý thuyết xác suất cổ điển như sau.