2.2 Dãy số
2.2.5 Dãy số tiêu chuẩn
Trong các tình huống thực tế, dãy cấp số cộng và các dãy cấp số nhân đơi khi có ích, và đây là lý do tại sao những dãy số này xuất hiện trong hầu hết các mơn tốn học ở cấp trung học. Ta nhớ lại rằng một dãy
a1,a2, . . . được gọi là dãy cấp số cộng với công sai d nếu với mọi chỉ số i > 1 ta có ai −ai−1 = d, và do đó ai = a1+ (i−1)d. Dãyb1,b2, . . .được gọi là dãy cấp số nhân với công bội q nếu với mọi chỉ số i > 1 ta có bi = qbi−1, và do đó bi = b1qi−1.
Bài 2.2.14. Giả sử số hạng đầu tiên a1 và công sai d của dãy cấp số cộng vô hạn là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số hạng của dãy có kí tự 9 khi biểu diễn dưới dạng thập phân.
Giải.Số hạngai+1 = a1+idcủa dãy đã cho là số có (k+1)kí tự với kí tự đầu tiên là 9 nếu 9·10k ≤ a1+id < 10k+1, tương đương với i ∈ [α,β), trong đó các số dươngα,β xác định bởi
α = 9·10k−a1
d và β =
10k+1−a1
d
Tồn tại một chỉ sốitương ứng vớik đã chọn nếuα ≥ 1và β−α > 1. Dễ dàng để thấy rằng hai điều kiện này có thể viết thành
a1+d ≤ 9·10k vàd ≤ 10k
Rõ ràng ta có thể tìm một số k thích hợp, khơng quan trọng a1,d ∈ N
như thế nào (ví dụ, ta có thể lấy số các kí tự củaa2 như làk).
Bài 2.2.15. Với mỗi n ≥ 1 chọn các số nguyên dương a1 < a2 < . . . <
a2n+1 tạo thành một dãy cấp số cộng sao cho tích a1a2. . .a2n+1 là bình phương của một số nguyên.
Giải.Ta thử chọn A, 2A, 3A, . . . ,(2n+1)Avới A ∈N. Tích của những số
này bằng (2n+1)!A2n+1, và là một số chính phương khi A = (2n+1)!.
Bài 2.2.16. Chứng minh rằng từ một dãy cấp số cộng vơ hạna,a+d,a+
2d, . . . (trong đó a,d ∈ R,d 6= 0) ta có thể chọn một dãy cấp số nhân vô
hạn khi và chỉ khi ad hữu tỷ.
Giải. Nếu a +kd,a+md,a+ nd, trong đó 0 ≤ k < m < n, là bộ ba số hạng lân cận của dãy cấp số nhân, thì
từ đó khi chia chod2 và thế t = a
d ta được
(t+k)(t+n) = (t+m)2,
hay t(2m−k −n) = kn−m2. Do đó tlà hữu tỷ nếu không xảy ra 2m−
k−n = 0 = kn−m2. Nhưng điều này khơng thể, vì nó có nghĩa là m = k+n
2 =
√
kn
và ta biết rằng trung bình cộng và trung bình nhân của các số k,n bằng nhau nếu k = n.
Ngược lại, cho ad ∈ Q. Ta có thể giả sử rằng a có cùng một dấu như d 6= 0 (nếu khơng, ta chỉ đơn giản là xóa bỏ một vài số hạng a,a +
d,a +2d, . . ., nghĩa là, thay đổi số a thành a +kd, với k đủ lớn sao cho
d(a +kd) > 0; lưu ý rằng sự thay đổi này không ảnh hưởng đến điều
kiện da ∈ Q). Do đó ta có thể viết a
d = pq, trong đó p,q ∈ N. Theo định lý
nhị thức, mỗi số hạng của dãy cấp số nhân của các số bm = a(1+q)m, trong đóm = 1, 2, . . ., có dạng bm = a+aq m 1 +q m 2 +. . .+qm−1 m m = a+aqkm = a+pkmd trong đókm ∈ N, có nghĩa là,bm nằm trong dãy a,a+d,a+2d, . . .. Hơn nữa km > km−1 với mọi m > 1, ta đã tìm được một dãy cấp số nhân vô
hạn.