2.4 Cấu hình không thứ tự
2.4.4 Phân hoạch đều
Ta nói rằng một phân hoạch của tậpXgồm các số thànhnlớpT1,T2, . . . ,Tn là lực lượng cân bằng (tương ứng tổng cân bằng) nếu tất cả các lớp Ti có cùng số phần tử (tương ứng tổng các phần tử).
Trong phần tiếp theo, ta giải quyết câu hỏi với giá trị nào củan,k lớn hơn 1 thì giả thiết H(n,k) sau đúng: Tồn tại một phân hoạch của tập
{1, 2, . . . ,nk} thành k lớp mà cả vừa có lực lượng cân bằng vừa có tổng
cân bằng. Ta chia nghiệm của bài tốn này thành ba bước, từ đó giả thiết H(n,k) đúng khi và chỉ khi sốnchẵn hoặc cảnvàk đều lẻ.
Bài 2.4.10. Chứng minh giả thiết H(n,k) trong trường hợp n chẵn, bác bỏ giả thiết trong trường hợpnlẻ và kchẵn.
Giải. Chứng minh của giả thiết H(2,k) là dễ dàng: Từ các số 1, 2, . . . , 2k ta lập thành cặp các tổng
1+2k = 2+ (2k−1) = 3+ (2k−2) = · · · = k+ (k+1),
nên các lớp phân hoạch là {1, 2k},{2, 2k − 1}, . . . ,{k,k + 1}. Phương
pháp cũng được dùng để chứng minh choH(n,k)vói bất kỳ số chẵnn =
2m: Từ các số 1, 2, . . . , 2mk đầu tiên ta lập các cặp d1 = {1, 2km},d2 =
{2, 2km −1}, . . . ,dmk = {mk,mk +1}; khi đó ta chia tùy ý km cặp di
thànhknhóm với msố trong mỗi nhóm và lấy hợp. Ví dụ,T1 = di∪d2∪ · · · ∪dm,T2 = dm+1∪dm+2∪ · · · ∪d2m,. . . ,Tk = dm(k−1)+1∪dm(k−1)+2∪ · · · ∪dmk. Khi đó mỗi lớp Ti có2mphần tử, và tổng của chúng là m(2k+ 1); tức là phân hoạch này vừa có lực lượng cân bằng vừa có tổng cân bằng.
Bây giờ ta giả sử giả thiết đúng với nlẻ và k chẵn. Khi đó tổng củan số trong mỗi một trong knhóm của phân hoạch tổng cân bằng là
(1+2+· · ·+nk)1 k =
n(nk+1)
2 ,
khơng là một số ngun, vì cả nvà nk+1 đều là số lẻ. Mâu thuẫn, vậy
ta đã chứng minh phần thứ hai của khẳng định.
Bài 2.4.11. Chứng minh rằng giả thiết H(3,k) kéo theo H(n,k) với mọi n > 3 lẻ.
Giải. Đặt T1,T2, . . . ,Tk là các lớp của phân hoạch lực lượng cân bằng và tổng cân bằng của tập {1, 2, . . . , 3k}. Nếu n > 3 lẻ, thì n−3 là số chẵn, và theo Bài 2.4.10 tồn tại một phân hoạch lượng cân bằng và tổng cân bằng của tập {1, 2, . . . ,(n−3)k} thành k lớp X1,X2, . . . ,Xk. Bây giờ ta tăng các lớp Xi thích hợp với các số còn lại từ tập {1, 2, . . . ,nk}, tức là
3k số (n−3)k +1,(n− 3)k +2, . . . ,nk. Các số này tạo thành một tập
mà có thể thu được từ {1, 2, . . . , 3k} bằng cách cộng thêm cùng giá trị (n−3)kcho tất cả các phần tử, và do đóktập conYi = {x+ (n−3)k,x ∈
Ti}, 1 ≤ i ≤ k, tạo thành một phân hoạch lực lượng cân bằng và tổng cân bằng của tập này. Cuối cùng, điều cũng đúng với phân hoạch của tập{1, 2, . . . , 3n}thành k lớp X1∪Y1,X2∪Y2, . . . ,Xk∪Yk.
Bài 2.4.12. Chứng minh giả thiết H(3,k) đúng với mọi k ≥ 3lẻ.
Giải. Ta bắt đầu bằng các phân hoạch thích hợp của các giá trị nhỏ k =
3, 5, . . . và cố gắng xác định quy tắc tổng quát. Bảng sau ứng với k =
3, 5, 7(mỗi lớp được tạo thành bởi các số trong cùng một cột).
1 2 3 5 6 4 9 7 8 1 2 3 4 5 8 9 10 6 7 15 13 11 14 12 1 2 3 4 5 6 7 11 12 13 14 8 9 10 21 19 17 15 20 18 16 Cấu trúc tổng quát vớik = 2m+1 là
Ti = {i, 3m+i, 6m−2i+5} (1 ≤ i ≤ m+1), Ti = {i,m+i, 8m−2i+6}(m+2 ≤ i ≤ 2m+1).
Như vậy trong mục này các bài toán về lựa chọn tập con sao cho tổng hoặc hiệu của chúng thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức nào đó. Các bài tốn dạng DS, bài tốn phân hoạch, phân hoạch đều được giải quyết một cách tường minh.