Định lý 2.3.1. ([3], Định lý 3.8, trang 54). Hai đường cong xạ ảnh C và D bất kỳ trong P2 giao nhau ít nhất tại một điểm.
Chứng minh. Giả sử C và D được định nghĩa bởi các đa thức thuần nhất f(x, y, z)
và Q(x, y, z)bậc n và m.
Theo mệnh đề (2.1.3) thì kết thức Res(f, g, x) là một đa thức thuần nhất bậc m·n
biếnyvàz. Do đó theo mệnh đề (1.1.1) hoặcRes(f, g, x)đồng nhất bằng khơng hoặc là tích củam·n thừa số tuyến tính(bz−cy)với b, clà các số phức, không đồng thời bằng không.
Với cả hai trường hợp thì đều tồn tại(y, z) = (b, c)∈C2\{(0,0)}đểRes(f, g, x)bằng khơng. Từ đó
Res(f(x, b, c), g(x, b, c), x) = 0.
Theo mệnh đề (2.1.1) thì hai đa thứcf(x, b, c)vàg(x, b, c)có một ngiệm chunga∈C. Do đó
f(a, b, c) = g(a, b, c) = 0.
Vậy [a, b, c]∈C∩D.Và ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.3.2. ([3], Định lý 3.9, trang 54).(Dạng yếu của định lý Bézout). Nếu hai đường cong xạ ảnh C và D trong P2 bậc tương ứng là n và m, khơng có thành phần
chung thì chúng giao nhau tại nhiều nhất mn điểm.
Chứng minh. Giả sửC và Dgiao nhau ít nhất tại mn+ 1 điểm. ChọnT là tập gồm
mn+ 1 điểm phân biệt trongC∩D. Khi đó ta có thể chọn được một điểm trong P2
không nằm trênC∪Dhay bất kỳ trong số hữu hạn các đường thẳng trongP2 đi qua hai điểm phân biệt củaT. Dùng một phép biến đổi xạ ảnh chúng ta có thể giả thiết điểm này là [1,0,0].
Do đó các đường cong C và D định nghĩa bởi các đa thức thuần nhất f(x, y, z) và
g(x, y, z)bậc n và m sao cho
f(1,0,0)6= 0 6=g(1,0,0).
Theo mệnh đề (2.1.3) thì Res(f, g, x) một đa thức thuần nhất bậcmn, biến y và z.
Theo mệnh đề (1.1.1)Res(f, g, x)khơng đồng nhất bằng khơng thì nó bằng tích của
mn nhân tử tuyến tính dạng bz−cy với (b, c)∈C2\{(0,0)}
Giả sử Res(f, g, x) bằng tích củamn nhân tử tuyến tính dạng bz−cy. (∗)
Nếu (b, c)∈C2\{(0,0)} thì bz−cy là một nhân tử của Res(f,g,x) khi và chỉ khi kết thức
Theo mệnh đề (2.1.1) thì điều này tương đương với việc tồn tại a∈C sao cho
f(a, b, c) = g(a, b, c) = 0.
Nhưng nếu [α1, β1, γ1]∈T thì f(α1, β1, γ1) =g(α1, β1, γ1) = 0, với β1, γ1 không đồng thời bằng khơng(do[1,0,0]∈/ T)do đóβ1z−γ1ylà một nhân tử củaRes(f, g, x). Hơn
nữa nếu [α2, β2, γ2]∈T khác[α1, β1, γ1] thì β1z−γ1y6=k(β2z−γ2y)với k là một vơ hướng nào đó, vì nếu ngược lạiβ1z−γ1y=k(β2z−γ2y)thì[α1, β1, γ1],[α2, β2, γ2],[1,0,0]
cùng nằm trên một đường thẳng trongP2 định nghĩa bởi bz=cy, mâu thuẫn với giả
thiết điểm [1,0,0].
Điều này chứng tỏ Res(f, g, x) có mn+ 1 nhân tử tuyến tính phân biệt và nó mâu thuẫn với (∗), do đó Res(f, g, x) phải đồng nhất bằng khơng. Theo mệnh đề (2.1.2) thìCvàDcó thành phần chung, điều này vơ lý do đó ta có điều phải chứng minh. Hệ quả 2.3.1. ([3], Hệ quả 3.10, trang 55).
(a) . Mỗi đường cong xạ ảnh trơn C trong P2 luôn bất khả qui.
(b) . Mỗi đường cong xạ ảnh C bất khả qui trong P2 đếu có hữu hạn điểm kì dị. Chứng minh. (a). Giả sử
C={(x, y, z)∈P2|f(x, y, z)g(x, y, z) = 0}
là một đường cong trơn, khả qui trong P2. Theo định lý (2.3.1) thì tồn tại ít nhất một điểm [a, b, c]∈P2 sao cho
f(a, b, c) = 0 =g(a, b, c). Mặt khác ∂(f g) ∂x (a, b, c) = ∂f ∂x(a, b, c)g(a, b, c) + ∂g ∂x(a, b, c)f(a, b, c) = 0. Tương tự ta cũng có ∂(f g) ∂y (a, b, c) = ∂(f g) ∂z (a, b, c) = 0.
Do đó[a, b, c]là điểm kì dị củaC mâu thuẫn với giả thiếtC trơn. Vậy ta có điều phải chứng minh.
(b). Giả sử C được định nghĩa bởi đa thức thuần nhất f(x, y, z) bậc n. Không mất tổng qt giả sử [1,0,0] khơng thuộc C vì thế hệ số của xn trong f(x, y, z) khác không. Điều này đảm bảo cho
g(x, y, z) = ∂f
là một đa thức thuần nhất bậc n−1và không đồng nhất bằng khơng, do đó nó xác định một đường cong D trong P2. Do C bất khả qui và bậc của D bé hơn bậc của
C nên C và D khơng có thành phần chung. Theo dạng yếu của định lý BézoutC và
D giao nhau nhiều nhất tại n(n−1) điểm. Vì mọi điểm kì dị của C đều nằm trong
C∩D nên ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 2.3.1. ([3], Mệnh đề 3.14, trang 56). Giả sử hai đường cong xạ ảnh C và
D bậc n trong P2 giao nhau tại đúng n2 điểm và có đúng nm điểm trong số các điểm này nằm trên một đường cong bất khả qui E có bậcm < n, khi đó n(n−m) điểm cịn lại nằm trên một đường cong bậc ít nhất bằng n−m.
Chứng minh. Giả sử C, D và E là các đường cong định nghĩa bởi các đa thức thuần nhất tương ứng làf(x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z). Chọn một điểm[a, b, c]trên E nhưng khơng thuộc C∩D.
Khi đó đường cong F định nghĩa bởi
g(a, b, c)f(x, y, z)−f(a, b, c)g(x, y, z)
cắtE tạinm+ 1điểm, đó là[a, b, c]vànmđiểm của C∩Dnằm trên E.Theo định lý (2.3.2)(dạng yếu của định lý Bézout)đường cong F và E phải có thành phần chung. Vì E là đường cong bất khả qui nên thành phần chung của E vàF phải là E. Do đó
g(a, b, c)f(x, y, z)−f(a, b, c)g(x, y, z) =h(x, y, z)t(x, y, z),
trong đó t(x, y, z)là đa thức thuần nhất khác hằng số, bậc n−m nào đó. Từ đó suy ra nếu [u, v, w]∈ C∩D thì hoặc h(u, v, w) = 0 hoặc t(u, v, w) = 0. Vì có đúng nm
điểm của C∩D nằm trên E nên n(n−m) điểm còn lại nằm trên đường cong định nghĩa bởi t(x, y, z), bậc n−m.
Hệ quả 2.3.2. ([3], Mệnh đề 3.15, trang 57). Các cặp cạnh đối của một hình lục giác nội tiếp trong một conic trong P2 cắt nhau tại ba điểm cộng tuyến.
Chứng minh. Hình lục giác được gọi là nội tiếp trong một conic nếu tất cả các đỉnh của nó đều nằm trên cơnic. Ba điểm trong P2 được gọi là cộng tuyến nếu chúng nằm trên một đường thẳng nào đó trong P2.
Giả sử các cạnh của hình lục giác là các đường thẳng lần lượt định nghĩa bởi các đa thức tuyến tínhl1, l2, . . . , l6 biến x, y, z.Hai đường cong xạ ảnh bậc ba định nghĩa bởi
l1l3l5 và l2l4l6
giao nhau tại sáu đỉnh của hình lục giác và ba điểm giao của các cặp cạnh đối
{l1, l4},{l2, l5} và {l3, l6}.
Theo mệnh đề (2.3.1) thì ba điểm giao này nằm trên một đường thẳng.
Hình 2.2: Lục giác Pascal
Định lý 2.3.3. ([3], Định lý 3.1, trang 52).(Định lý Bézout). Giả sử C và D là hai đường cong xạ ảnh trong P2 có bậc bằng n và m. Nếu C và D khơng có thành phần chung thì chúng có chính xác nm giao điểm tính cả bội. Tức là
X
p∈C∩D
Ip(C, D) =nm.
Chứng minh. Chọn hệ tọa độ thỏa mãn các điều kiện từ 1 đến 3 giống trong định nghĩa (2.2.1). Giả sử C và D định nghĩa bởi các đa thức thuần nhất f(x, y, z) và g(x, y, z)
trong hệ tọa độ này. Theo các mệnh đề (2.1.3) và (2.1.2) kết thứcRes(f, g, x) là một đa thức thuần nhất bậc nm với hai biến y và z, không đồng nhất bằng khơng, vì
vậy theo mệnh đề (1.1.1) nó có thể phân tích thành tích củanm thừa số tuyến tính, chẳng hạn như Res(f, g, x) = k Y i=1 (biz−ciy)si
trong đósi là một số nguyêns1+s2+· · ·+sk =nmvà vớii6=j thì (bi, ci)6= (bj, cj).
Ta có
Res(f(x, bi, ci), g(x, bi, ci), x) = 0
do đó tồn tại ai để f(ai, bi, ci) = g(ai, bi, ci) hay tồn tại duy nhất các số phức ai sao cho
C∩D={pi|1≤i≤k}
với pi = [ai, bi, ci].Theo định nghĩa về bội giao thì
Ipi(C, D) =si.