lại
Mệnh đề 3.2.1. Cho một bộ k số nguyên dương [s1, s2, . . . , sk] bất kì, có tổng s1+
s2+· · ·+sk=m·n(n≤m) và
m·n < (m+ 1)(m+ 2)
2 .
Khi đó ln tồn tại hai đường cong bậc n và m sao cho chúng giao nhau tai k điểm với số bội giao tương ứng là s1, s2, . . . , sk.
Chứng minh. ChọnC là đường cong bậcn định nghĩa bởif(x, y) =y−xn. Bài toán đặt ra bây giờ là chỉ ra sự tồn tại của đường cong D bậc m sao cho D giao C tại k
điểm và tại mỗi điểm bội giao tương ứng làs1, s2, . . . , sk. D là đường cong bậc m định nghĩa bởi
g(x, y) = X
i+j≤m
aijxiyj, ∃aij(i+j =m).
Xét điểm M = (b, bn)∈C tùy ý. Chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo OM
x=X+b y=Y +bn . Khi đó f 7→f1 =Y +bn−(X+b)n g 7→g1 = X aij(X+b)i(Y +bn)j.
Trong hệ tọa độ mớif1 có phương trình tham số X =t =φ(t) Y = (t+b)n−bn =ψ(t) . Khi đó g1 φ(t), ψ(t)) = X i+j≤m aij(t+b)i(t+b)nj = X i+j≤m aij(t+b)i+nj = X i+j≤m Cij0aij + X i+j≤m Cij1aijt+· · ·+ X i+j≤m Cijnmaijtnm, trong đó X i+j≤m Cijkaij
là một tổ hợp tuyến tính nào đó của aij. Theo bổ đề (3.1.1) để C∩D tại M(b, bn)
với số bội giao là sb(s1 ≤sb ≤sk) thì
I(0,0)(C, D) =ldegtg1(φ(t), ψ(t)) =sb.
Khi đó
X
i+j≤m
Cijeaij = 0. với mọi e,0≤e≤sb−1.
Khi echạy từ 0đếnsb−1thì ta nhận được một hệsb phương trình tuyến tính thuần nhất với biếnaij. Do đó tạikđiểm củaC∩Dta nhận được một hệs1+s2+· · ·+sk=
m·n phương trình tuyến tính thuần nhất với biếnaij.
Tập hợp H ={aij|i+j ≤m}gồm (m+1)(m+2)2 phần tử. Vì
m·n < (m+ 1)(m+ 2)
2
nên hệ phương trình thu được là một hệ tuyến tính thuần nhất có số phương trình ít hơn số ẩn. Ta có thể chọn một nghiệm sao choaij 6= 0, vớii+j =m, như vậy tồn tại
đường congD bậc m sao cho D giao C tại k điểm và tại mỗi điểm có bội giao tương ứng là s1, s2, . . . , sk.Từ dó ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 3.2.2. Luôn tồn tại hai đường cong với bậc tương ứng là n và m sao cho:
• Chúng giao nhau tại m·n điểm với bội giao đều bằng một.
• Chúng giao nhau tại một điểm với bội giao là m·n.
Chứng minh. Thật vậy, giả sửn≤m, chọnC là đường cong định nghĩa bởif(x, y) =
xn+yn−1.
• D là đường cong định nghĩa bởi g(x, y) = (x+1 2)(x+ 1 3). . .(x+ 1 m+ 1) +x n+yn−1.
Khi đóC và D giao nhau tại nm điểm với bội giao đều bằng một.
• E là đường cong định nghĩa bởi
h(x, y) = (x−1)m+xn+yn−1
. Khi đó C và E giao nhau tại một điểm (1,0) với
I(1,0)(C, E) =I(1,0) xn+yn−1,(x−1)m+xn+yn−1 =I(1,0) xn+yn−1,(x−1)m =m.I(1,0)(xn+yn−1, x−1) =m.I(1,0)(yn, x−1) =m.n.I(1,0)(y, x−1) =m·n.
Mệnh đề 3.2.3. Luôn tồn tại hai đường cong bậc n và m (n ≤ m) sao cho chúng giao nhau tại hai điểm với bội giao là [1, mn−1],[2, mn−2], . . . ,[n−1, mn−n+ 1].
Chứng minh. Cho a∈N sao cho 1≤a≤n−1
LấyC1 định nghĩa bởig(x, y) = ya(y−xn−a)
LấyC2 định nghĩa bởih(x, y) = ym+y.xm−n+a−y.xm−n+a−1−xm+xm−1
=ym+xm−n+a(y−xn−a) +xm−n+a−1(y−xn−a)
Khi đó C1 và C2 giao nhau tại (1,0) và (0,0) với
I(1,0)(C1, C2) =I(1,0) ya(y−xn−a), ym+y.xm−n+a−y.xm−n+a−1−xm+xm−1
=I(1,0) ya, ym+y.xm−n+a−y.xm−n+a−1−xm+xm−1
=a.I(1,0)(y,−xm+xm−1) =a.I(1,0)(y, xm−1(1−x))
=a.I(1,0)(y,1−x)
=a
và
I(0,0)(C1, C2) =I(0,0) ya(y−xn−a), ym+xm−n+a(y−xn−a) +xm−n+a−1(y−xn−a) =I(0,0) ya, ym+y.xm−n+a−y.xm−n+a−1−xm+xm−1+I(0,0) y−xn−a, ym+
+xm−n+a(y−xn−a) +xm−n+a−1(y−xn−a) =a.I(0,0)(y, xm−1(1−x)) +I(0,0)(y−xn−a, ym)
=a.(m−1).I(0,0)(y, x) +m.I(0,0)(−xn−a, y)
=a(m−1) +m.(n−a) =mn−a.
Mệnh đề 3.2.4. Luôn tồn tại hai đường cong bậc n và m(n ≤m)sao cho chúng giao nhau tại k điểm với bội giao tương ứng làm.i1, m.i2, . . . , m.ik với i1+i2+· · ·+ik =n.
Chứng minh. LấyC1 định nghĩa bởig(x, y) = y−(x−x1)i1(x−x2)i2. . .(x−xk)ik LấyC2 định nghĩa bởih(x, y) = ym−g(x, y)
Khi đó C1, C2 giao nhau tại k điểm (x1,0),(x2,0). . . ,(xk,0) với bội giao tương ứng là i1, i2, . . . , ik với
I(xt,0)(C1, C2) = I(xt,0)(g(x, y), h(x, y)) =I(xt,0)(g(x, y), ym) =m.I(xt,0)(g(x, y), y) =m.I(xt,0)((x−x1)i1(x−x2)i2. . .(x−xk)ik, y)
=m.I(xt,0)((x−xt)it, y) = m.it.I(xt,0)(x−xt, y) =m.it.