CHƢƠNG 1 : MẪU ISING VÀ LÝ THUYẾT CHUYỂN PHA LANDAU
3.2. Mô phỏng Monte – Carlo áp dụng cho mẫu Ising 2D (màng mỏng một lớp)
3.2.1. Mô phỏng Monte – Carlo áp dụng cho mẫu Ising 2D
Xét một mảng vng hai chiều như hình 3.1.
L
Hình 3.1: Mơ hình mẫu Ising 2 chiều
Đặt L là kích thước mảng, do đó sẽ có N = L2
spin có trong mảng.
Thuật tốn Metropolis áp dụng cho mơ hình Ising được mơ tả theo những bước sau:
- Khởi tạo một cấu hình mạng spin ban đầu, chọn ngẫu nhiên một spin trong mạng để xem xét quá trình lật spin . Với mỗi spin ta tính độ thay đổi năng lượng
E của hệ.
+ Nếu E < 0 cho phép lật spin
+ Nếu E > 0 thì spin sẽ đảo ngược với xác suất p = e E, với β là hằng số Boltzmann. Do đó ta sẽ gieo một số ngẫu nhiên r trong khoảng [0,1]. Nếu r < p, cho
- Lặp lại quá trình trên nhiều lần cho đến khi đạt đến cân bằng nhiệt (tài liệu [9],[10]).
Sau đây, ta sẽ cùng kiểm tra tính đúng đắn của thuật tốn trên.
Ta xét spin của nguyên tử thứ i, giả sử khi spin này đảo ngược sẽ làm cho hệ chuyển từ trạng thái A (với mức năng lượng EA) sang trạng thái B (với mức năng lượng EB). Ta giả thiết rằng EA < EB.
Áp dụng thuật toán trên, xác suất để hệ chuyển từ trạng thái A sang trạng thái B là: pA→B = (EB EA)
e (3.4)
Trong khi đó, xác suất để hệ chuyển từ trạng thái B sang trạng thái A là:
pB→A = 1 (3.5)
Nguyên lý cân bằng (principle of detailed balance) đã chỉ ra rằng: trong cân bằng nhiệt, tốc độ hệ chuyển từ trạng thái A sang trạng thái B bằng với tốc độ mà hệ chuyển trạng thái theo chiều ngược lại. Tức là:
pA pA→B = pB pB→Atro
trong đó, pA là xác suất để hệ tồn tại ở trạng thái A, pB là xác suất để hệ tồn tại ở trạng thái B.
Biến đổi phương trình trên ta thu được:
B A p p = A B B A p p = (EB EA) e
Điều này thống nhất với phân bố Boltzmann. Do vậy tính đúng đắn của thuật tốn đã được kiểm chứng [5].
Ta cũng thấy rằng, ngoại trừ những nguyên tử ở biên, mỗi nguyên tử bên trong mảng đều có bốn nguyên tử lân cận gần nhất. Để loại bỏ ngoại lệ này ta sẽ đưa vào điều
kiện biên tuần hoàn. Điều kiện này đồng nhất các biên ở hai phía đối diện của mảng, mảng như được trải trên mặt một hình vịng xuyến.