CHƢƠNG 1 : MẪU ISING VÀ LÝ THUYẾT CHUYỂN PHA LANDAU
3.2. Mô phỏng Monte – Carlo áp dụng cho mẫu Ising 2D (màng mỏng một lớp)
3.2.2. Kết quả mô phỏng Monte – Carlo cho mẫu Ising 2D
Hình 3.2: Đường biểu diễn độ phân cực spin trên một nút mạng của mẫu Ising theo nhiệt độ khơng thứ ngun với các kích thước mảng khác nhau trong trường hợp khơng có
Hình 3.3: Đường biểu diễn nhiệt dung tính trên một nút mạng của mẫu Ising theo nhiệt độ khơng thứ ngun với các kích thước mảng khác nhau trong trường hợp khơng có
trường ngồi.
Các hình 3.2 và 3.3 biểu diễn độ từ hóa m và nhiệt dung đẳng tích CV theo nhiệt độ với kích thước mảng khác nhau từ L = 64, 128 đến 256 trong trường hợp khơng có từ trường ngồi. Trong mọi trường hợp mô phỏng Monte – Carlo được lặp lại 12000 lần và 4500 lần đầu tiên bị bỏ đi khi ước tính VE để cho hệ đạt được trạng thái cân bằng nhiệt.
Ta nhận thấy rằng các đường cong biểu diễn độ phân cực m phụ thuộc vào nhiệt độ theo mô phỏng Monte – Carlo là phù hợp với kết quả ước tính bằng phương pháp trường trung bình. Nhiệt độ tới hạn cỡ 1.1363 với mẫu 64x64 nguyên tử, 1.1363 với mẫu 128x128 nguyên tử và 1.1350 với mẫu 256x256 nguyên tử. Điều này khá thống nhất với lời giải chính xác của Onsager cho mơ hình hai chiều [13]. Ơng tìm ra giá trị nhiệt độ tới
hạn
1 1.1346
ln 1 2
C
ح
. Khi kích thước mảng càng tăng lên thì kết quả thu được
càng gần với lý thuyết.
Ta cũng thấy rằng chiều cao đỉnh của đường cong nhiệt dung tại T TC tăng dần theo kích thước mảng. Tại điểm chuyển pha, độ phân cực m giảm về 0, đồng thời nhiệt dung đạt giá trị cực đại. Đây là chuyển pha loại hai.
So sánh đồ thị sự phụ thuộc của độ từ hóa tỷ đối (hay độ phân cực tỷ đối) tính theo lý thuyết trường trung bình (Hình 2.4) và phương pháp Monte – Carlo (Hình 3.2) cũng như nhiệt dung (Hình 2.5) và hình 3.3 ta thấy: phương pháp Monte – Carlo mô tả các tham số trật tự m, Cv tốt hơn so với lý thuyết trường trung bình vì tính tới cả trật tự gần ở trên và dưới điểm Curie. Trường trung bình khơng tính tới trật tự gần ở trên điểm Curie do đó m và Cv đều bằng khơng khi T TC, điều đó chưa phù hợp với thực nghiệm.
Tuy nhiên các biểu thức nhận được trong lý thuyết trường trung bình là khá thuận tiện cho trường hợp spin tùy ý 1
2
S
. Điều này là khó trong phương pháp Monte –
Carlo do khối lượng tính tốn tăng lên nhiều.
KẾT LUẬN
Luận văn đã khảo sát mẫu Ising để tính tốn một số đại lượng nhiệt động học của màng mỏng có trật tự xa và thu được một số kết quả sau:
1. Nhận được biểu thức năng lượng tự do cho màng mỏng có trật tự với độ dày tùy ý trong gần đúng trường trung bình, trong lý thuyết Landau với các hệ số của khai triển Landau rút ra từ mơ hình Ising.
2. Sử dụng mơ hình Ising đã nhận được biểu thức cho phương trình xác định độ phân cực, nhiệt dung tính trên một nút mạng, phương trình xác định điểm chuyển pha loại hai (điểm Curie) cho màng mỏng có trật tự xa trong lý thuyết trường trung bình.
3. Đã tính tốn số minh họa cho sự phụ thuộc vào nhiệt độ của tham số trật tự, nhiệt dung cho màng mỏng đơn lớp theo lý thuyết trường trung bình và so sánh với kết quả tính bằng phương pháp Monte – Carlo cho mơ hình Ising. Kết quả cho thấy hai phương pháp mơ tả tốt tính chất nhiệt động dưới điểm Curie nhưng phương pháp Monte – Carlo ưu việt hơn ở trên điểm Curie do tính được cả trật tự gần.
4. Tính tốn so sánh kết quả của lý thuyết trường trung bình và thực nghiệm về sự phụ thuộc của nhiệt độ Curie sắt điện của perovskite PbTiO3 vào độ dày màng mỏng cho sự phù hợp tương đối tốt.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
A- Tài liệu tiếng Việt
[1] Nguyễn Thị Kim Oanh, luận văn Thạc sĩ khoa học “Mơ hình Ising và ứng dụng cho
các chất sắt từ”, ĐH Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, 2014.
B- Tài liệu tiếng Anh
[2] Clarendon Press, Statistical Mechanics of Phase Transitions, Oxford,1992.
[3] C. Kittel, Introduction to Solid State physics, chapter 16, eighth edition, John Wiley & Sons, Inc. 2005.
[4] Dillon D. Fong, G. Brien Stephenson, Stephen K. Streiffer, Jeffrey A. Eastman, Orlando Auciello, Paul H. Fuoss, Carol Thompson , Science 304 (2004) 1650.
[5] D. K. Khudier, Nabeil A. Fawaz, Two dimensional Ising model application with Monte Carlo method 7 (2013) 2.
[6] J. A. Krumhansl, Solid State communication 84 (1992) 251.
[7] J. Borowska, L. Lacinska, Jour. of Appl. Math. Comput. Mech. 14 (2015) 11. [8] J. Strecka, M. Jascur, Acta physica slovaca 65 (2015) 235.
[9] K. Binder and D. W. Heermann, Monte Carlo Simulation in Statistical Physics,
Springer, Berlin, 1997.
[10] M. Hjorth Jensen, Computational physics, University of Oslo, 2003.
[11] N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller and E. Teller,
Journal of Chemical Physics, 1953.
[13] Onsager Lars, Physical Review, Series II, 65 (3–4): 117–149, (1944).
[14] Sergio A. Cannas, Pablo M. Gleiser, Francisco A. Tamarit, Two dimentional Ising model with long-range competing interactions, Transworld Research Network
2004.
[15] S. V. Tyablikov, Method in the quantum theory of magnerism, Plenumpress.
NewYork 1967.