2 Hàm toàn phương lồi suy rộng
2.5 Tiêu chuẩn kiểm tra theo định thức biên
Arrow và Enthoven [1] đã sử dụng định thức con chính theo ma trận Hessian biên D(x) = " ∇2Q(x) ∇Q(x) ∇Q(x)T 0 #
để suy ra điều kiện cần và đủ kiểm tra hàm tựa lồi. Vẫn còn một số nhược điểm trong các điều kiện này thậm chí trong trường hợp tồn phương, được chỉ ra trong [12]. Trong [4], một số điều kiện được sửa đổi liên quan đến định thức con chính của D(x) được giới thiệu và chính là điều kiện cần và đủ cho hàm toàn phương giả lồi. Những tiêu chuẩn này thu được từ Định lý 2.23 và Định lý 2.24. Do đó, chúng dựa trên tính khả lồi của hàm tồn phương giả lồi chỉ ra trong Định lý 2.20.
Để cơng thức hóa những điều kiện này, chúng tơi đưa ra ký hiệu sau. Đặt Aγk là ma trận con chính bậc k của ∇2Q(x) = A, được tạo nên bởi các hàng thứ (i1, ...., ik) và cột của A,
γk = (i1,· · · , ik).
Với k = 1, ...., n, đặt
Γk = {γk | γk = (i1, ..., ik),1≤ i1 < ... < ik ≤ n}.
Ma trận chính bậc k của A được ký hiệu bởi Ak. Tương tự, đặt Dγk(x)
là ma trận con chính bậc k+ 1 của D(x) tương ứng với Aγk, tức là
Dγk(x) = ∂2Q(x)/∂x2 i1 . . . ∂2Q(x)/∂xi1xik ∂Q(x)/∂xi1 .. . . . . ... ... ∂2Q(x)/∂xikxi1 . . . ∂2Q(x)/∂2xik ∂Q(x)/∂xi1 ∂Q(x)/∂xi1 . . . ∂Q(x)/∂xik 0
Tương tự, đặt Dk(x) là ma trận con bậc k+ 1 của D(x). Từ Định lý
Định lý 2.25. Một hàm toàn phương Q(x) là giả lồi trên tập lồi mở C ⊂ Rn khi và chỉ khi với mọi x ∈ C, γk ∈ Γk, k = 1, ..., n,
(i) det [Dγk(x)] ≤ 0; (2.43)
(ii) nếu det [Dγk(x)] = 0 thì det (Aγk) > 0. (2.44) Thêm vào đó, ta thu được từ Định lý 2.24(như đã chỉ ra trong [4]) định lý sau.
Định lý 2.26. Q(x) là hàm giả lồi trên C khi và chỉ khi, với mọi x ∈ C, k = 1, ..., n,
(i) det [Dk(x)] ≤ 0; (2.45)
(ii) nếu det [Dk(x)] = 0 thì det (Ak) > 0. (2.46)
Đặc biệt hơn là đối với hàm tồn phương ở dạng (2.17), ta có định lý sau ([32]):
Định lý 2.27. Một hoàn toàn phương Q(x) = 12xTAx+bTx là giả lồi trên tập lồi mở khi và chỉ khi với mọi y ∈ D,
(i) det [Dk(y)] < 0, k = 1,· · · , r; (ii) det [Dk(y)] = 0, k = r + 1,· · · , n.
Theo Định lý 2.22, ta có định lý sau.
Định lý 2.28. Một hàm toàn phương được cho ở dạng chuẩn là hàm giả lồi chặt trên một tập lồi mở D ⊂ Rn khi và chỉ khi với mọi y ∈ D, det[Dk(y)] < 0, k = 1,· · · , n.