2 Hàm toàn phương lồi suy rộng
2.6 Tiêu chuẩn xác định cho oc-tan không âm
Bây gờ chúng ta suy ra những đặc trưng của hàm toàn phương giả lồi trên oc-tan dương
tương tự sinh ra tiêu chuẩn kiểm tra hàm tựa lồi trên octant không âm
R n
+ = {x ∈ Rn | xj ≥0, j = 1,· · · , n},
theo Hệ quả 2.21. Sau đó, trong Mục 2.7, ta sẽ chỉ ra rằng hàm toàn phương giả lồi trên Rn+ cũng giả lồi trên Rn+ \ {0} hoặc Rn+.
Về lịch sử, tiêu chuẩn đầu tiên cho hàm toàn phương tựa lồi và giả lồi được suy ra từ oc-tan không âm. Trong [22],[23], Martos đưa ra tiêu chuẩn cho những hàm này sử dụng khái niệm ma trận dưới xác định dương. Dựa trên tiếp cận của Martos, Cottle và Ferland [6],[7] thu được một số tính chất bổ sung cho hàm toàn phương tựa lồi và giả lồi trên Rn+. Tất cả những tiêu chuẩn này liên quan đến nhiều bộ tiêu chuẩn khác với định nghĩa tựa lồi và giả lồi [xem (2.1), (2.3)].
Trong [28] đã chỉ ra rằng tiêu chuẩn đầu tiên của Martos cho dạng tồn phương [22] có thể được suy diễn từ việc cụ thể hóa kết quả tổng quát của Định lý 2.19 cho hàm toàn phương trên tập lồi đặc bất kỳ. Trong mục này và mục tiếp theo, luận văn sẽ đi theo hướng này. Ta sẽ chỉ ra rằng tất cả các tiêu chuẩn của Cottle, Ferland và Martos có thể thu được trực tiếp từ việc cụ thể hóa những đặc trưng của hàm tồn phương tựa lồi và giả lồi của chúng tôi từ Định lý 2.19 và một số hệ quả của nó ở trên. Điều này có được mà khơng cần sử dụng ma trận dưới xác định dương.
Schaible ([31]) đã thu được những tiêu chuẩn cho hàm toàn phương giả lồi chặt. Hàm toàn phương giả lồi chặt của Q(x) chưa từng được xem xét trước đó.
Ngồi Định lý 2.19 và 2.22, chúng tơi sẽ rút ra kết quả của Định lý 2.25 và 2.26 là những hệ quả của Định lý 2.20 (b). Do đó, sự khả lồi hóa của hàm tồn phương xác định dương giả lồi là một tính chất quan trọng giúp suy dẫn ra những tiêu chuẩn dưới đây.
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề 2.29. Nếu Q(x) = 12xTAx+ bTx là giả lồi trên Rn+ thì A ≤ 0 và b ≤0.
Chứng minh. Theo Hệ quả 2.21, Q(x) là tựa lồi trên Rn+. Do đó,
Q(αei +βej) là giả lồi với , α > 0, β > 0, (2.47)
trong đó ei được ký hiệu là véctơ đơn vị thứ i trong Rn, i 6= j. Như ta
thấy từ Định lý 2.20 (a), Q(x) bị chặn trên Rn+. Vì vậy,
g(α) =Q(αei) = 1 2aiiα 2+biα bị chặn với α ≥ 0. Do đó, aii ≤0. Bây giờ ta xét h(β) = Q(αei +βei) = 1 2aiiα 2 +biα+ (aiiα+bi)β+ 1 2aiiβ 2, trong đó α ≥0 cố định.
Nếu aii = 0 thì aiiα+bi ≤ 0 vì h(β) bị chặn như trên.
Mặt khác, nếu aii < 0, thì aiiα + bj ≤ 0phải thỏa mãn, vì ngược lại h(β) sẽ có một cực đại địa phương chặt với β > 0nào đó, trái với tính tựa lồi của h(β) với β ≥ 0.
Vì vậy,
aiiα+bj ≤ 0, α ≥0. (2.48)
Vì điều này thỏa mãn với α = 0, ta có bj ≤ 0. Hơn nữa, với (2.48) thỏa
mãn với tất cả α > 0, ta kết luận rằng aij ≤ 0.
Bổ đề 2.29 cùng với Định lý 2.19 sẽ giúp ta suy ra một tiêu chuẩn cho hàm toàn phương giả lồi trên Rn+ đầu tiên được chứng minh bởi Martos [23]. Trong đó, tác giả đã sử dụng khái niệm ma trận dưới xác định dương được phát triển trong [22]. Chứng minh dưới đây không sử dụng khái niệm này.
Định lý 2.30. Cho
Q(x) = 1 2x
là hàm không lồi trong Rn. Khi đó, Q(x) là giả lồi trên Rn
+ khi và chỉ khi
(a) A ≤0; (2.49)
(b) b ≤0; (2.50)
(c) ν = 1; (2.51)
(d) Tồn tại x ∈ Rn, sao cho As+b = 0 và bTs ≥ 0. (2.52)
Chứng minh. (a) Điều kiện cần. (2.49) và (2.50) suy ra được từ Bổ đề 2.29.
Định lý 2.19 (i), (ii) suy ra (2.51) và sự tồn tại của điểm dừng s trong (2.52). Từ Định lý 2.20 (a), ta thấy rằng Q(x) = 1 2x TAx+bTx ≤ δ trong đó δ = 12bTs theo (2.39). Vì A ≤ 0 và b ≤ 0 và các thành phần của x > 0 có thể nhỏ tùy ý, ta kết luận rằng δ = 1 2b Ts ≥0. Do đó, (2.52) thỏa mãn.
(b) Điều kiện đủ. Theo (2.51), (2.52), điều kiện (i), (ii) của Định lý 2.19 được thỏa mãn. Ta chỉ ra rằng Rn+ ⊂ C10. Khi đó, khẳng định suy ra từ Định lý 2.19. Để thấy được Rn+ ⊂ C10, ta sử dụng biểu diễn sau của C10
(xem (2.31), (2.39)): C10 = {x ∈ Rn | Q(x) ≤ 1 2b Ts, tT1x > −tT 1b λ1 }. Vì Q(x) ≤ 0 và bTs ≥0, bởi vì (2.49), (2.50), (2.52), ta có Q(x) ≤ 1 2b Ts.
Hơn nữa, khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả sử t1 ≥ 0. Với một
ma trận không dương, luôn tồn tại một véctơ riêng đồng dấu tương ứng với trị riêng âm λ1 [15]. Vì vậy, tT1x > 0 trên R+n và −tT1b
λ1 ≤ 0. Do đó tT1x > −tT1b
Martos [23] đã chỉ ra những khẳng định sau.
Nhận xét 2.31. NếuA không kỳ dị (tức là Q(x) là giả lồi chặt theo Định lý 2.22), khi đó (2.7) có thể được thay thế bởi điều kiện bTA−1b ≤ 0.
Nhận xét 2.32. Nếu có hai điểm dừng s1, s2 của Q(x) thì bTs1 = bTs2, vì
bTs1 = (−As2)Ts1 = (−As1)Ts2 = bTs2.
Nhận xét 2.33. Nếu As+ b = 0 là có nghiệm, khi đó bi = 0 nếu hàng thứ i của A bằng 0.
Dựa trên khái niệm của Martos về ma trận dưới xác định dương trong [22], Cottle và Ferland [7] đã chứng minh kết quả sau, nó thu được bằng việc cụ thể hóa Định lý 2.30. Nó cũng suy ra trực tiếp từ Định lý 2.19 trong [28].
Hệ quả 2.34. Cho Q(x) = 12xTAx khơng lồi trên Rn. Khi đó, Q(x) là giả lồi trên Rn+ khi và chỉ khi
(a) A ≤0; (2.53)
(b) ν = 1. (2.54)
Từ Định lý 2.30 và Hệ quả 2.34, ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.35. Nếu Q(x) = 12xTAx+ bTx là chỉ giả lồi trên Rn+, khi đó Q0(x) = 12xTAx là giả lồi trên Rn+.
Điều ngược lại không đúng. Chi tiết của câu hỏi này được thảo luận sau trong mục này.
Bây giờ chúng ta trình bày các tiêu chuẩn cho hàm giả lồi theo định thức con chính hơn là giá trị riêng của A. Các định thức được sử dụng
trong Định lý 2.25 và 2.26 đặc trưng cho hàm giả lồi Q(x). Trong [34] chỉ
ra rằng Định lý 2.25 suy ra định lý sau.
Định lý 2.36. Cho Q(x) = 12xTAx khơng lồi trên Rn. Khi đó Q(x) là giả lồi trên Rn+ khi và chỉ khi
(a) A≤ 0; (2.55)
Cottle và Ferland [7] đã chứng minh điều này từ trước, sử dụng ma trận dưới xác định dương. Trong [34], khái niệm này khơng được áp dụng. Thay vào đó, Định lý 2.36 suy ra được trực tiếp từ Định lý 2.25 dựa trên Định lý 2.20 (b). Do đó, tính khả lồi hóa là một công cụ cơ sở để chứng minh Định lý 2.36.
Từ Định lý 2.36, ta thấy rằng, với dạng tồn phương khơng lồi trên oc-tan dương C = Rn+, điều kiện (ii) trong Định lý 2.25 có thể thay thế bởi điều kiện mạnh hơn
det [Dγk(x)] = 0 dẫn đến det (Aγk). (2.57)
Ngoài Định lý 2.36, bây giờ ta suy ra một tiêu chuẩn cho dạng toàn phương giả lồi chặt sử dụng Định lý 2.26.
Định lý 2.37. Cho Q(x) = 12xTAx là khơng lồi trên Rn. Khi đó Q(x) là giả lồi chặt trên Rn+ khi và chỉ khi
(a) A ≤0; (2.58)
(b) det (Ak) ≤ 0, k = 1,· · · , n. (2.59)
Chứng minh. (a)Điều kiện cần.
Từ Bổ đề 2.29 và Định lý 2.36, ta thấy rằng A ≤ 0và det (Ak) ≤ 0, k = 2,· · · , n.
Ta còn phải chỉ ra rằng det (Ak 6= 0), k = 2,· · · , n.
Vì det (Ak ≤ 0), ta suy ra từ Định lý 2.26 rằng det [Dk(x)] < 0, trên Rn+.
Ta phân hoạch A và x như sau:
A = " Ak Bk BkT Ck # , x = " xk yk # , xk ∈ Rk +, yk ∈ Rn−k+ . (2.60) Đặt yk = yk cố định. Ta xét f(xk) = Q(xk, yk) = 1 2xk TAkxk +xkTBkyk + 1 2yk TCkyk.
Hàm f(xk) giả lồi chặt trên Rk+. Bây giờ ta chỉ ra rằng f(xk) không lồi. Giả sử phản chứng rằng f(xk) lồi trên Rk. Khi đó, Ak nửa xác định
dương, suy ra rằng
aii ≥0, i= 1,· · · , k.
Vì A ≤ 0, khi đó aii = 0, i = 1,· · · , k. Với một ma trận nửa xác định dương đối xứng, điều này suy ra Ak = 0, dẫn đến det [Dk(x)] = 0, k ≥ 2.
Tuy nhiên, ta đã thấy trong Định lý 2.26 rằng det [Dk(x)] < 0, trên Rk+. Vì vậy, f(xk) có thể khơng lồi trên Rk+. Theo Định lý 2.22, ta kết luận rằng det (Ak) 6= 0.
(b) Điều kiện cần.
Ta chỉ ra rằng
det [Dk(x)] < 0, trên Rk+ với k = 1,· · · , n.
Khi đó, tính giả lồi chặt của Q(x) được suy ra từ Định lý 2.26. Rõ ràng là
det [D1(x)] = −(A1x)2 < 0,
vì ma trận khơng kỳ dị A không chứa một hàng nào toàn 0 (véctơ của k
thành phần đầu của Ax được ký hiệu bởi (Ax)k).
Bây giờ, cho k ≥ 2. Ta phân tích A và x như (2.60). Khi đó
det [D1(x)] = det " Ak (Akxk +Bkyk) (Akxk +Bkyk)T 0 # = det " Ak (Akxk +Bkyk) (Akxk +Bkyk)T xT kAkxk + 2xT kBkyk +yT kCkyk # − xTkAkxk + 2xTkBkyk +yTkCkykdet(Ak) = det " Ak Bkyk (Bkyk)T ykTCkyk # −(xTAx)det (Ak). (2.61) Với một hàm không lồi Q(x) = 12xTAx, ta có A 6= 0. Vì A≤ 0 nên
xTAx < 0 trên Rn+. (2.62) Từ (2.59),(2.61),(2.62), det [Dk(x)] < 0, x ∈ Rn + nếu det (N) ≤ 0, N = " Ak (Akxk +Bkyk) (Bkyk)T yTkCkyk # (2.63)
Để chỉ ra (2.63) thỏa mãn, xét phần bù Schur của Ak trong A [28],
S = Ck −BkTA−1k Bk. (2.64)
Theo công thức Schur [28], det(S) = det(Adet(A)
k) > 0 theo (2.59).
Tương tự, ta chỉ ra rằng mọi định thức con chính của S đều dương, bằng việc xét phần bù Schur của Ak trong các dưới ma trận chính của A
chứa Ak. Do đó, S là ma trận xác định dương. Bây giờ, xét phần bù Schur của Ak trong N,
S = yTkCkyk −(Bkyk)T A−1k (Bkyk).
Vì S = ykTSyk, theo (2.64), và vì S xác định dương, S >0, với yk 6= 0.
Suy ra, S >0 với yk > 0.
Theo cơng thức Schur, khi đó
det(N) = det(S).det(Ak) < 0.
Do đó (2.63) thỏa mãn.
Định lý 2.37 chỉ ra rằng, đối với dạng tồn phương khơng lồi trên oc-tan dương, điều kiện (ii) trong Định lý 2.26 là trống. Vì vậy, Q(x) = 1
2x TAx
là giả lồi chặt trên Rn+ khi và chỉ khi
det [Dk(x)] < 0, với mọi x ∈ Rn+ và k = 1,2, ..., n.
Trong [7], người ta chứng minh rằng tính khơng dương của A và tính âm của tất cả các định thức con chính là điều kiện đủ cho tính giả lồi của
Q(x) = 1 2x
TAx trên Rn+ , chính xác hơn là trên Rn+ \ {0}. Chứng minh
dựa trên tiếp cận của Martos sử dụng ma trận dưới xác định dương. Xem lại chứng minh một lần nữa, ta có thể thấy khẳng định vẫn cịn đúng nếu det (A1) = a11 = 0.
Ở đây, một mở rộng của định lý Jacobi [28] có thể được áp dụng để cho phép loại trừ định thức con chính của A.
Chú ý rằng det (A1) =a11 = 0 xảy ra trong một số ví dụ đơn giản như
Ngoài cái đã chỉ ra theo một tiếp cận khác trong [7], ta thấy từ Định lý 2.36 rằng (2.58), (2.59) là điều kiện đủ để hàm giả lồi chặt. Hơn nữa, những điều kiện này cũng là điều kiện cần để hàm giả lồi (chặt).
Để kiểm tra tính giả lồi chặt của một dạng toàn phương, (2.54), (2.59) được kiểm tra. Tất cả kiểm tra có thể thực hiện bởi phép quay chính, sử dụng đơn hình hay khối 2×2 quay. Cottle [8] đề xuất một thuật tốn cho tính tốn sức ì đồng thời dấu hiện của các định thức con chính của ma trận đối xứng. Phương pháp này có thể được ứng dụng để kiểm tra (2.54) và (2.59).
Từ Định lý 2.36 và 2.37 ta thấy rằng có thể kiểm tra tính giả lồi và giả lồi chặt của một dạng toàn phương trên Rn+ khơng phức tạp hơn việc kiểm tra tính lồi và lồi chặt. Trong cả hai trường hợp, dấu của tất cả các định thức con chính là xác định.
Bây giờ ta mở rộng các tiêu chuẩn trong Định lý 2.36 và 2.37 cho dạng toàn phương. Đặt e Q(x, xn+1) = 1 2 " x xn+1 #T " A b bT 0 # " x xn+1 # , Ae= " A b bT 0 # . (2.65) Đầu tiên ta chỉ ra định lý sau [15].
Định lý 2.38. Cho e Q(x, xn+1) = 1 2 " x xn+1 #T " A b bT 0 # " x xn+1 #
khơng lồi trên Rn. Khi đó, Q(x) giả lồi trên Rn+ khi và chỉ khi
e Q(x, xn+1) = 1 2 " x xn+1 #T " A b bT 0 # " x xn+1 #
giả lồi trên Rn+1+ .
Chứng minh. (a) Điều kiện cần. Từ Bổ đề 2.29, ta thấy
e A = " A b bT 0 # ≤ 0.
Theo Định lý 2.36, ta còn phải chỉ ra rằng tất cả các định thức con chính của Ae không dương. Từ Định lý 2.25, ta thấy tất cả các định thức con chính của D(x) = " A Ax+b (Ax+ b)T 0 #
khơng dương trên Rn+. Điều này vẫn còn đúng cho x = 0 bởi vì tính liên tục của D(x), tức là tất cả các định thức con chính củaAe= D(0) là khơng âm.
(b) Điều kiện đủ. Vì Q(x) =Q(x,e 1), điều này là hiển nhiên.
Từ Định lý 2.36 và 2.38, ta kết luận rằng định lý sau thỏa mãn. Định lý 2.39. Cho
Q(x) = 1 2x
TAx+ bTx
là không lồi trên Rn. Q(x) là giả lồi trên Rn+ khi và chỉ khi
(a) Ae≤0; (2.66)
(b) tất cả các định thức con chính của Ae là khơng dương (2.67)
Bây giờ ta suy ra một tiêu chuẩn cho hàm toàn phương giả lồi chặt mở rộng từ Định lý 2.37.
Định lý 2.40. Cho Q(x) là không lồi trên Rn. Khi đó, Q(x) là giả lồi chặt trên Rn+ khi và chỉ khi
(a) A ≤0, b ≤0; (2.68) (b) det (Ak) < 0, k = 2,3, ..., n; (2.69) (c) det " A b bT 0 # ≤0. (2.70)
Chứng minh. (a) Điều kiện cần. Với Định lý 2.39, ta cịn phải chứng mình rằng (2.69) thỏa mãn. Điều này là rõ ràng do Định lý 2.37 với Q0(x) =
1 2x
(b) Điều kiện đủ. Từ Định lý 2.37, ta thấy rằng Q0(x) = 1 2x
TAx là giả lồi (chặt) trên Rn
+ bởi vì (2.68), (2.69). Theo Hệ quả 2.34 thì v = 1. Do
đó, Q(x) là giả lồi trên Rn+ nếu bTA−1b ≤ 0 cũng thỏa mãn theo Định lý 2.30. Khẳng định cuối cùng suy ra từ det " A b bT 0 # = (−bTA−1b)det A, (2.71)
kết hợp với (2.69), (2.70).Q(x)là giả lồi chặt vì det(A) 6= 0theo (2.69). Từ Định lý 2.39 và Định lý 2.40, ta thấy rằng việc kiểm tra tính giả lồi và giả lồi chặt của một hàm toàn phương thực sự (b 6= 0) chỉ đơn giản như kiểm tra tính lồi và lồi chặt.
Tính giả lồi chặt của một hàm tồn phương có thể được kiểm tra bằng việc áp dụng Định lý 2.30 hoặc Định lý 2.40. Việc kiểm tra những điều kiện này có thể thực hiện bằng phép quay chính. Thuật tốn của Cottle trong [8] đề cập trước đó đã gợi ý việc sử dụng cách này để kiểm tra (2.51), (2.52) hoặc (2.69), (2.70). Nó cũng khá tiện lợi để kiểm tra hai điều kiện sau.
Đối với hàm giả lồi chặt Q(x), một kết quả tương tự với Định lý 2.38
khơng thỏa mãn. Ta chỉ có định lý sau.
Định lý 2.41. Nếu Q(x, xe n+1) là hàm lồi chặt trên Rn+1+ , khi đó Q(x) là giả lồi chặt trên Rn+.
Điều này suy ra trực tiếp từ đẳng thức Q(x) = Q(x,e 1). Theo Định lý
2.37, kết quả cuối cùng suy ra từ hệ quả sau. Hệ quả 2.42. Cho Q(x) = 1
2x
TAx + bTx là khơng lồi trên Rn.Khi đó, Q(x) là giả lồi trên Rn+ nếu
(a) Ae≤ 0; (2.72)
Để chỉ ra điều ngược lại của Định lý 2.41 khơng đúng, xét ví dụ sau Q(x1, x2) = 1 2 " x1 x2 #T " 0 −1 −1 0 # " x1 x2 # + " −1 0 #T " x1 x2 # .
Q(x) là giả lồi chặt trên R2+ như đã biết trong Định lý 2.40. Tuy nhiên,
e Q(x1, x2, x3) = 1 2 x1 x2 x3 T 0 −1 −1 −1 0 0 −1 0 0 x1 x2 x3
khơng giả lồi chặt trên R3+ vì
det 0 −1 −1 −1 0 0 −1 0 0 = 0.
Ngoài Định lý 2.41, ta có điều kiện cần và đủ cho hàm giả lồi chặt liên quan đến Qe như sau.
Định lý 2.43. Cho Q(x) = 1 2x
TAx+ bTx là không lồi trên Rn. Khi đó, Q(x) là giả lồi chặt trên Rn+ khi và chỉ khi Q(x, xe n+1) giả lồi trên Rn+1+ và det (A) 6= 0.
Chứng minh. Điều này suy ra từ Định lý 2.38 và Định lý 2.22.
Thay vì tính giả lồi chặt của Q, ta chỉ cần tính giả lồi củae Qe và điều kiện bổ sung là det (A) 6= 0 như đã mơ tả ở ví dụ trước. Hơn nữa, ta chỉ ra định lý sau.
Định lý 2.44. Cho Q(x) = 1 2x
TAx+ bTx là khơng lồi trên Rn. Khi đó, ˜
Q(x, xn+1) giả lồi trên Rn+1+ khi và chỉ khi Q(x) là giả lồi chặt trên Rn+ và bTA−1b < 0.