Định nghĩa Ch oA là một đại số von Neumann với tiền đối ngẫu khả ly (điều này

3. 1.5 Mệnh đề (Kỳ vọng là phiếm hàm tuyến tính)

3.4.1. Định nghĩa Ch oA là một đại số von Neumann với tiền đối ngẫu khả ly (điều này

tương đương với giả thiết A tác động trên một không gian Hilbert khả ly) Cho , ,F  là một không gian đo hữu hạn.

Một hàm F:  A được gọi là - đo được - yếu nếu với mỗi x*A*, hàm số    F  ,x* x F*    là - đo được. Kí hiệu L, , ,F  A là không gian gồm tất cả các hàm bị chặn cốt yếu - đo được - yếu F:  A với chuẩn:

 ω Ω ω Ω sup ess A F F    

Tích ten-xơ đại số L, ,F  A có thể được đồng nhất với tập hợp các hàm

số: k k k  k

k

F x  F  x

  ,

trong đó FkL, ,F  và xkA, tức là với tập con của L, , ,F  A. Ta có thể chứng minh rằng ánh xạ F  x F   FL, ,F ,xA có thể được mở

rộng thành một * - đẳng cấu của tích ten-xơ của đại số von Neumann L, ,F A

lên L, , ,F  A

Trường hợp đặc biệt, L, , ,F  A là một đại số von Neumann (dưới phép nhân theo từng điểm)

Tiền đối ngẫu của nó là L1, , ,F  A*, không gian Banach của tất cả các hàm *

A- giá trị Bochner - khả tích trên , và đối ngẫu được cho bởi công thức:

     

, ,

x y x  y   d



 , xL, , ,F  A, yL1, , ,F  A*

Để chứng minh xem ví dụ Sakai.

Đại số giao hốn von Neumann

3.4.2. Định nghĩa. Cho A là một đại số von Neumann giao hoán. Một character  của A là một ánh xạ tuyến tính khác 0, :A của A vào trong tập số phức  sao cho: là một ánh xạ tuyến tính khác 0, :A của A vào trong tập số phức  sao cho:

 xy    x y

   , x y, A. Tập tất cả các character của A được ký hiệu là  A

và được gọi là phổ của A.