Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính

Chứng minh. 1. Điều kiện đủ. Giả sử A bị chặn h.c.c. Ta cần chứng minh

A thác triển được.

Trước hết nếu g là biến ngẫu nhiên đơn giản X-giá trị có dạng

g(ω) = n X i=1 1Eixi, thì ta định nghĩa e Ag = n X i=1 1EiAxi. Ta cần một số bổ đề sau.

Bổ đề 2.4.3. Với mỗi biến ngẫu nhiên đơn giản X-giá trị g, với mỗi t > 0, r > 0 ta có

P(||Ag||e > t) ≤ P(k(ω) > t/r) +P(||g|| > r). (2.14)

Chứng minh. Theo định nghĩa

||Ag||e = n

X

i=1

1Ei||Axi||.

VìA bị chặn h.c.c. nên tồn tại tậpD với xác suất 1 sao cho với mọi ω ∈ D,

||Axi(ω)|| ≤ k(ω)||xi||. Khi đó

||Ag(ω)||e = n X i=1 1Ei||Axi|| ≤k(ω) n X i=1 1Ei||xi||= k(ω)||g(ω)||, nghĩa là ||Ag|| ≤e k(ω)||g|| h.c.c. Do đó P(||Ag||e > t) ≤P(||Ag||e > t,||g|| ≤ r) +P(||g|| > r) ≤P(||g||k(ω) > t,||g|| ≤ r) +P(||g||> r) ≤P(rk(ω) > t) +P(||g|| > r).

Bổ đề 2.4.4. 1. Nếu u ∈ LX0 (Ω), thì tồn tại một dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản X- giá trị (gn) hội tụ đến u theo xác suất.

2. Nếu p−lim

n gn = u thì tồn tại p−lim

n Age n và giới hạn này không phụ thuộc vào việc chọn dãy xấp xỉ (gn). Ta kí hiệu giới hạn này là Au.e

Chứng minh. 1) Gọi (xn) là tập đếm được trù mật trong X. Với mỗi >0,

đặt Bn = {ω : ||u(ω −xn|| < )} và An = Bn\{Sn−1i=1 Bn.} Dãy (An) lập thành một phân hoạch đếm được của X. Cho nđủ lớn để

∞ P k=n+1 P(Ak) < . Đặt g(ω) = n P k=1

1Akxk. Vì {||u− g|| > } ⊂ S∞k=n+1Ak nên P(||u− g|| > ) < .

Với mỗi n tồn tại một biến ngẫu nhiên đơn giản gn sao cho P(||u−gn||>

1/n) < 1/n. Cho trước t > 0, chọn N sao cho 1/N < t. Khi đó với

n > N ta có P(||u − gn|| > t) < P(||u − gn|| > 1/n) < 1/n. Do đó limP(||u−gn|| > t) = 0. 2) Theo bổ đề 2.4.3 ta có ∀t, r >0 P(||Age n−Age m|| > t) = P(||A(ge n−gm)|| > t) ≤ P(k(ω) > t r) +P(||gn−gm|| > r)

Do gn −→P u nên (gn) là dãy cơ bản xác suất

⇒ lim n,m→∞P(||gn −gm|| > r) = 0 ⇒lim sup n,m→∞ P(||Age n −Age m|| > t) ≤ P(k(ω) > t r).

Cho r → 0, do k(ω) hữu hạn nên

lim sup n,m→∞

P(||Age n−Age m|| > t) = 0.

⇒Age n hội tụ theo xác suất.

Giả sử (hn) là dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản khác hội tụ theo xác suất tới u. Đặt p−lim n Age n = ξ, p−lim n Ahe n = η. Theo bổ đề 2.4.3 ta có ∀t, r > 0 P(||Age n−Ahe n|| > t) ≤P(k(ω) > t r) +P(||gn−hn|| > r). Do p−lim n (gn−hn) = 0 và k(ω) hữu hạn nên lim n→∞P(||Age n −Ahe n|| > t) = 0∀t > 0. Vì P(||ξ−η|| > t) ≤ P(||ξ−Age n|| > t 3)+P(||Age n−Ahe n|| > t 3)+P(||Ahe n−η|| > t 3). Cho n → ∞ ta có P(||ξ −η|| > t) = 0∀t > 0, chứng tỏ rằng ξ = η h.c.c.

Bổ đề 2.4.5. (Mở rộng của bổ đề 2.4.3) Với mỗi t > 0, r > 0 và với mỗi biến ngẫu nhiên X-giá trị u ta có

P(||Au||e > t) ≤ P k(ω) > t r

+P(||u||> r).

Chứng minh. Giả sử (gn) là dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản sao cho

p−lim

n gn = u.

Theo định nghĩa

p−lim

Từ bổ đề 2.4.3 và bổ đề Fatou ta có

P(||Au||e > t) ≤lim infP(||Age n||> t)

≤lim supP(||Age n|| > t) ≤P(k(ω) > t r) + lim supP(||gn|| > r) ≤P(k(ω) > t r) +P(lim sup||gn|| > r) ≤P(k(ω) > t r) +P(||u|| > r)

Trở lại chứng minh điều kiện đủ của định lý: Ta chứng minh Ae là tốn tử hồn toàn ngẫu nhiên mở rộng của A.

- Chứng minh Ae liên tục: Giả sử p−lim

n un = u, theo bổ đề 2.4.4 ta có P(||Aue n−Au||e > t) ≤ P(k(ω) > t r) +P(||un−u|| > r) ⇒ lim sup n P(||Aune −Au||e > t) ≤ P(k(ω) > t r)∀t, r >0.

(vì un → u theo xác suất nên lim

n P(||un −u|| > r) = 0).

Cho r → 0, do k(ω) hữu hạn nên

lim sup n

P(||Aune −Aue || > t) = 0∀t > 0. ⇒ p−lim

n Aue n = Au.e

- Chứng minh Ae tuyến tính: u, v ∈ LX0 (Ω) ⇒ ∃ các dãy biến ngẫu nhiên

đơn giản X- giá trị un, vn sao cho

p−lim

n un = u, p−lim

n vn = v

⇒p−limun+vn = u+v ⇒A(ue +v) =p−lim

n A(ue n+vn). Từ định nghĩa

e

A suy ra với các biến ngẫu nhiên đơn giản thì

e

⇒ A(ue +v) = p−limAue n +p−limAve n = Aue +Av, tức làe Ae cộng tính. Ta cịn phải chứng minh

e

A(αu) =αAu.e

Nếu α, u là các biến ngẫu nhiên đơn giản thì điều này hiển nhiên (bằng cách hợp hai phân hoạch). Nếu α, u là các biến ngẫu nhiên bất kỳ thì tồn tại các dãy biến ngẫu nhiên đơn giản αn và un sao cho

p−limαn = α, p−limun = u.

Ta có

αnun −αu = (αnun−αnu) + (αnu−αu)

Mà

P(||αnun−αnu|| > t) ≤ P(|αn|.||un −u||> t,|αn| ≤ c) +P(|αn| > c)

≤ P(||un−u|| > t c) +P(|αn| > c) ≤ P(||un−u|| > t c) + supn P(|αn| > c). Do sup n

P(|αn| > c) → 0 khi c → ∞. Cho n → ∞ ta được

lim

n→∞P(||αnun −αnu|| > t) = 0.

Tương tự ta có

lim

n→∞P(||αnu−αu||> t) = 0.

Vậy αnun → αu, αnun là dãy biến ngẫu nhiên đơn giản nên

e

A(αnun) =αnAun.e

⇒p−limA(αnun) =e p−limαnAune ⇒ A(αu) =e αAu.e

2. Điều kiện cần:

Bổ đề 2.4.6. Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính A : X → LY0 (Ω) là bị chặn h.c.c. khi và chỉ khi với mỗi dãy (xn) ⊂B ta có

sup n

||Axn|| < ∞ h.c.c.

Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. Ta chứng minh điều kiện đủ.

Gọi M là tập đếm được trù mật trong X và Z là tập các tổ hợp tuyến tính có dạng

n

P

i=1

rixi, trong đó xi ∈ M, ri ∈ Q. Z là không gian vectơ trên trường Q và trù mật trong X. Tồn tại tập D1 với P(D1) = 1 sao cho với mỗi ω ∈ D1 ta có

A(r1z1 + r2z2)(ω) =r1Az1(ω) +r2Az2(ω) (2.15)

∀z1, z2 ∈ Z, r1, r2 ∈ Q. Ký hiệu Z1 = Z ∩B. Từ giả thiết suy ra tồn tại tập

D2 với P(D2) = 1 sao cho với ω ∈ D2 ta có k(ω) = supz∈Z1||Az(ω)|| < ∞.

Đặt D = D1 ∩D2. Trước hết ta chứng minh với mỗi ω ∈ D và z ∈ Z thì

||Az(ω)|| ≤k(ω)||z||. (2.16)

Thật vậy, giả sử z ∈ Z. Chọn (rn) là dãy số hữu tỷ với limnrn = ||z|| và

||z|| < rn. Khi đó z/rn ∈ Z1 nên ||Az(ω)|| = ||rnA(z/rn)(ω)|| ≤ rnk(ω).

Cho rn → ||z|| ta được ||Az(ω)|| ≤k(ω)||z||.

Tiếp theo với mỗi ω ∈ D ta định nghĩa T(ω) : Z → Y bởi

T(ω)z = Az(ω).

Từ (2.15) dễ thấyT(ω) tuyến tính trên Z. Ngồi ra T(ω) liên tục đều trên

Z. Thật vậy, giả sử z1, z2 ∈ Z. Do (2.16) ta có

||T(ω)z1 −T(ω)z2||= ||A(z1 −z2)(ω)|| ≤k(ω)||z1 −z2||.

Do vậy T(ω) thác triển thành ánh xạ tuyến tính liên tục T(ω) : X → Y

ta đã thiết lập được ánh xạ T : Ω → L(X, Y). Ta sẽ chứng minh với mỗi

x ∈ X,

Ax(ω) =T(ω)x h.c.c.

Thật vậy giả sử (zn) ∈ Z sao cho limzn = x. Với mỗi ω ∈ D ta có

Azn(ω) = T(ω)zn∀n. Vậy limnAzn(ω) = limT(ω)zn = T(ω)x với mỗi

ω ∈ D. Vì P(D) = 1 nên điều đó chứng tỏ limnAzn(ω) = T(ω)x h.c.c. Mặt khác lại có p−limnAzn = Ax. Vậy

Ax(ω) =T(ω)x h.c.c. Theo định lý 2.2.1 A bị chặn h.c.c.

Trở lại chứng minh điều kiện cần của định lý. Giả sử A : X → LY0(Ω)

là tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính thác triển được. Ký hiệu Ae là tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính thác triển của A. Giả sử trái lại A không bị chặn h.c.c. Theo định lý 2.4.6 tồn tại dãy (xn) ⊂B sao cho

P(sup n ||Axn|| = ∞) > 0. Đặt D = {ω : sup n ||Axn(ω)|| = ∞}.

Ta định nghĩa dãy b.n.n. không âm (ξn) như sau

ξn(ω) = max

1≤k≤n||Axn(ω)||.

Khi đó (ξn) là dãy khơng giảm và limnxn(ω) = ∞ ∀ω ∈ D. Ta định nghĩa

dãy b.n.n. X -giá trị (un) bằng truy hồi như sau: Đặt u1(ω) = x1 và

un(ω) =     

un−1(ω) nếu ||Axn(ω)|| ≤ ξn−1(ω), xn nếu trái lại.

Ta chứng minh bằng quy nạp rằng

||Aue n|| = ξn. (2.17) Thật vậy với n = 1 khẳng định (2.17) đúng. Giả sử khẳng định đúng với n−1, tức là ||Aue n−1|| = ξn−1. Nếu ||Axn(ω)|| ≤ ξn−1(ω) thì ξn(ω) =

ξn−1(ω), un(ω) = un−1(ω) do đó

||Aue n(ω)|| = ||Aue n−1(ω)|| = ξn−1(ω) =ξn(ω).

Nếu ||Axn(ω)|| ≥ ξn−1(ω) thì ξn(ω) =||Axn(ω)||. Vậy ||Aue n(ω)|| = ||Axn(ω)|| = ξn(ω), tức là khẳng định (2.17) đúng với mọi n. Với mỗi k cố định, đặt Dn = {ω ∈ D : ξn(ω) > k}. Vì Dn ⊂ Dn+1 và D = S nDn nên ta có lim n P(Dn) = P([ n Dn) =P(D).

Thành thử tồn tại nk sao cho

P(ξnk > k) =P(Dnk) > P(D)

2 .

Xét b.n.n.

gk = unk

k ∈ LX0 (Ω).

Vì ||un|| < 1 nên limkgk = 0 h.c.c. Do đó p−limkAge k = 0. Mặt khác với mỗi k ta có

P(||Age k|| > 1) = P(||Aue nk|| > k) =P(ξnk > k) > P(D)

2 .

Ta có mâu thuẫn vì P(D) > 0. Vậy A bị chặn h.c.c.

Áp dụng định lý 2.4.2 ta thu được điều kiện đủ sau đây để giới hạn của một dãy tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn h.c.c. lại là một tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn h.c.c.

Định lý 2.4.7. Giả sử (An) là dãy các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn h.c.c. và {kn(ω)} là dãy các b.n.n. thực sao cho với mỗi x ∈ X ta có

||Anx(ω)|| ≤kn(ω)||x|| h.c.c.

Giả sử với mỗi x ∈ X, p −limAnx = Ax tồn tại và họ {kn} bị chặn theo

xác suất. Khi đó A là một tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn h.c.c.

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng với mỗi u ∈ LX0 (Ω) thì tồn tại

p−limAnue = Au. Thật vậy theo bổ đề 2.4.5 ta cóe

P(||Anu||e > t) ≤ P(kn(ω) > t r) +P(||u|| > r) ≤ sup n P(kn(ω) > t r) +P(||u|| > r). Mặt khác ta có P(||Aenu−Aemu|| > t) ≤ P(||Aen(u−g)||> t 3) +P(||Aem(u−g)|| > t 3) +P(||Aeng −Aemg|| > t 3) ≤ 2sup n P(kn > t 3r) + 2P(||u−g|| > r) +P(||Aeng −Aemg|| > t 3).

Do họ {kn} bị chặn theo xác suất nên tồn tại r > 0 sao cho supnP(kn > t/3r) < /3, do đó tồn tại b.n.n. đơn giản g sao cho P(||u−g||> r) < /3.

Do với mỗix ∈ X, p−limAnx = Axtồn tại nên p−limAeng tồn tại. Thành thử tồn tại n0 sao cho với n, m > n0 ta có

P(||Aeng −Aemg|| > t 3) < 3. Từ đó ta được P(||A u−A u|| > t) < ,∀n, m > n .

Vậy tồn tại p−limAenu = Au. Tiếp theo ta chứng minh ánh xạe u 7→Aue là tuyến tính và liên tục. Tính tuyến tính là hiển nhiên. Ta chứng minh tính liên tục. Ta có

P(||Au||e > t) ≤ lim infP(||Anu||e > t) ≤ lim supP(||Anu||e > t)

≤ sup n

P(kn(ω) > t

r) +P(||u|| > r).

Với t, cho trước, chọn r > 0 sao cho supnP(kn(ω) > t/r) < /2. Do đó, P(||Au||e > t) < nếu P(||u|| > r) < /2 suy ra tính liên tục của A. Dễe

dàng chứng minh Ae là một mở rộng của A. Theo định lý 2.4.2, A bị chặn h.c.c.

Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng

3.1 Các khái niệm và ví dụ

Định nghĩa 3.1.1. Cho (Ω,F, P) là không gian xác suất đầy đủ và X, Y

là các không gian Banach khả ly, H là khơng gian Hilbert khả ly với tích trong h., .i

1. Tập con M ⊂LX0 (Ω)được gọi là khơng gian con ngẫu nhiên tuyến tính

nếu với mỗi u1, u2 ∈ M, ξ1, ξ2 ∈ L0(Ω) thì ξ1u1 +ξ2u2 ∈ M.

2. Giả sử M ⊂ LX0 (Ω)là một khơng gian con ngẫu nhiên tuyến tính. Ánh xạ Φ : M →LY0(Ω) được gọi là ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng

nếu với mỗi u1, u2 ∈ M, ξ1, ξ2 ∈ L0(Ω) thì

Φ(ξ1u1 + ξ2u2) = ξ1Φ(u1) +ξ2Φ(u2).

Miền xác định M của ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng Φ được ký hiệu là D(Φ). Ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính với miền xác định D(Φ) trù

Giả sử Φ : D(Φ) ⊂ LH0 (Ω) là tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng và V là tập các v ∈ LH0 (Ω) có tính chất: tồn tại g ∈ LH0 (Ω) sao cho với mọi

u ∈ D(Φ) ta có

hΦu, vi = hu, gi.

Dễ dàng thấy g (nếu có) là duy nhất.

Đặt g = Φ∗v ta thu được ánh xạ Φ∗ : V → LH0 (Ω) với miền xác định V

của Φ∗ và ta ký hiệu V = D(Φ∗). Dễ thấy D(Φ∗) là khơng gian con ngẫu nhiên tuyến tính và Φ∗ là ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính. Ta gọi Φ∗ là liên hợp của Φ. Như vậy liên hợp Φ∗ của Φ được xác định bởi

hΦu, vi = hu,Φ∗vi (3.1)

với mọi u ∈ D(Φ), v ∈ D(Φ∗).

Nói chung, Φ∗ khơng nhất thiết trù mật trong LH0 (Ω), tức là Φ∗ khơng nhất thiết là tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng.

Định nghĩa 3.1.2. Cho Φ : D(Φ) ⊂ LX0 (Ω) → LY0 (Ω) là ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng.

1. Φ được gọi là bị chặn nếu tồn tại biến ngẫu nhiên k sao cho ||Φu|| ≤

k||u|| h.c.c. ∀u ∈ D(Φ).

2. Φ được gọi là đóng nếu với mỗi dãy (un) ⊂ D(Φ) sao cho p−limun =

u, p−lim Φ(un) =v thì u ∈ D(Φ) và Φ(u) = v.

Định lý 3.1.3. 1. Giả sử Φ : D(Φ) ⊂ LH0 (Ω) → LH0 (Ω) là tốn tử ngẫu

nhiên tuyến tính suy rộng bị chặn. Khi đó Φ có thể thác triển thành

một tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng Φ :e LH0 (Ω) → LH0 (Ω).

Thành thử không giảm tổng quát, ta có thể giả sử tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng bị chặn có miền xác định là tồn bộ LH0 (Ω).

2. Nếu Φ : LH0 (Ω) → LH0 (Ω) là tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng bị

chặn thì tồn tại duy nhất ánh xạ T : Ω →L(H, H) sao cho

3. Ngược lại cho trước T : Ω → L(H, H) là ánh xạ sao cho với mỗi

x ∈ H, ánh xạ ω 7→ T(ω)x là biến ngẫu nhiên H−giá trị. Khi đó ánh

xạ Φ : LH0 (Ω) → LH0 (Ω) là tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng bị chặn.

4. Nếu Φ : LH0 (Ω) → LH0 (Ω) là tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng bị chặn thì Φ∗ : LH0 (Ω) → LH0 (Ω) cũng là tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng bị chặn và ta có

Φ∗v(ω) = T∗(ω)(v(ω)) h.c.c.

Chứng minh. 1. Với mỗi t, r >0 và u ∈ D(Φ) ta có

P(||Φu|| > t) = P(||Φu||> t,||u|| ≤r) +P(||Φu|| > t,||u|| > r)

≤ P(k(ω) > t/r) +P(||u|| > r).

Giả sử u ∈ LH0 (Ω). Vì D(Φ) trù mật trong LH0 (Ω) nên tồn tại dãy

(un) ∈ D(Φ) sao cho limun = u. Do đó

P(||Φun −Φum|| > t) ≤ P(k(ω) > t/r) +P(||un −um|| > r).

Do đó lim sup n,m P(||Φun −Φum|| > t) ≤ P(k(ω) > t/r). Cho r → ta được lim sup n,m P(||Φun−Φum|| > t) = 0.

Vậy dãy (Φun) là dãy Cauchy do đó tồn tại giới hạn limnΦun. Dễ dàng chứng minh giới hạn này không phụ thuộc vào việc chọn dãy (un). Ký

hiệu giới hạn này là Φu.e

2. Thu hẹp của Φ lên H rõ ràng là một tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn. Theo định lý 2.2.1 tồn tại ánh xạ T : Ω →L(H, H) sao cho

Nếu u ∈ LH0 (Ω) là b.n.n. đơn giản có dạng u(ω) = n X i=1 1Ei(ω)xi thì với hầu hết ω Φu(ω) = n X i=1 1Ei(ω)Φxi(ω) = n X i=1 1Ei(ω)T(ω)xi = T(ω) n X i=1 1Ei(ω)xi ! = T(ω)(u(ω)).

Giả sử u ∈ LH0 (Ω). Khi đó tồn tại dãy b.n.n. đơn giản (un) ⊂ LH0 (Ω)

sao cho limnun = u. Do khẳng định (1) vừa chứng minh Φ liên tục nên

p−limnΦun = Φu. Tồn tại dãy con (unk) sao cho limkunk(ω) = u(ω)

h.c.c. Do đó tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D ta có

Φunk(ω) =T(ω)(unk(ω)) và lim

k unk(ω) =u(ω).

Vì T(ω) ∈ L(H, H) nên

lim

k Φunk(ω) = T(ω)(u(ω))∀ω ∈ D,

tức là limkΦunk(ω) =T(ω)(u(ω)) h.c.c. Suy ra

p−lim

n Φunk(ω) = T(ω)(u(ω)).

Vậy

Φu(ω) =T(ω)(u(ω)) h.c.c.

Tiếp theo ta chứng minh T là duy nhất (h.c.c.). Thật vậy giả sử tồn tại T1, T2 thỏa mãn (3.2). Ký hiệu (xn) là tập đếm được trù mật trong

H. Khi đó tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D ta có

T1(ω)xn = T2(ω)xn = Φxn với mọi xn.

Do đó T1(ω) = T2(ω) với mỗi ω ∈ D, tức là T1(ω) = T2(ω) h.c.c.

3. Bằng lý luận tương tự như khẳng định (2), ánh xạ Φu xác định bởi (3.2) là b.n.n. H-giá trị và Φ : LH0 (Ω) → LH0 (Ω) là một tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng. Ta chứng minh Φ bị chặn h.c.c. Giả sử (xn)

là dãy đếm được trù mật trong B = {x ∈ H : ||x|| ≤1} và

k(ω) = sup

n

||Φxn||(ω).

Khi đó k(ω) là biến ngẫu nhiên không âm. Từ (3.3) suy ra tồn tại tập

D có xác suất bằng 1 sao cho Φxn(ω) = T(ω)xn với mọi ω ∈ D, n = 1,2, . . . Với mỗi ω ∈ D ||T(ω)|| = sup n ||T(ω)xn|| = sup n ||Φxn(ω)|| = k(ω). Do đó

||Φu(ω)|| ≤ ||T(ω)|| ||u(ω)|| = k(ω)||u(ω)|| h.c.c. 4. Giả sử u, v ∈ L0(Ω, H). Tồn tại tập D với P(D) = 1 sao cho

hΦu(ω), v(ω)i = hT(ω)(u(ω)), v(ω)i = hu(ω), T∗(ω)(v(ω))i.

Suy raΦ∗v(ω) = T∗(ω)(v(ω))h.c.c. Theo khẳng định (3),Φ∗ :LH0 (Ω) →

LH0 (Ω) là một tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng bị chặn.

3.2 Biểu diễn phổ của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng chuẩn tắc

nhiên tuyến tính suy rộng chuẩn tắc nếu

Φ∗Φ = ΦΦ∗.

Theo định lý 3.1.3, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng Φ có dạng

Φu(ω) = T(ω)(u(ω)) h.c.c. (3.4) ở đó T : Ω → L(H, H) có tính chất: Với mỗi x∈ H, ánh xạ ω →T(ω)x là một b.n.n. H−giá trị. Ta chứng minh được định lý sau.

Định lý 3.2.2. Φ là tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng chuẩn tắc nếu và chỉ nếu với hầu hết ω, T(ω) là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính chuẩn tắc.