6 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng giữa các khơng
6.3 Liên hợp của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng
tính trìu tượng
Phần này giới thiệu một số khái niệm và kết quả liên quan đến các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng liên hợp, tự liên hợp, đối xứng và chuẩn tắc.
Định nghĩa 6.3.1. Cho không gian Hibert xác suất H; Φ : D(Φ) → H là tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng với miền xác định D(Φ) trù mật trong H. Gọi V là tập tất cả các phần tử v ∈ H sao cho tồn tại g ∈ H để
hΦu, vi = hu, gi
với mọi u ∈ D(Φ).
Do D(Φ) trù mật nên g được xác định duy nhất.
Đặt g = Φ∗v, ta thu được ánh xạ Φ∗ : V → H và miền xác định V của Φ∗
được ký hiệu là D(Φ∗). Dễ thấy D(Φ∗) là không gian tuyến tính xác suất và Φ∗ là tốn tử ngẫu nhiên trìu tượng. Φ∗ được gọi là liên hợp của Φ.
Định nghĩa 6.3.2. Liên hợp Φ∗ : D(Φ∗) → H được xác định bởi
hΦu, vi = hu,Φ∗vi
với mọi u ∈ D(Φ), v ∈ D(Φ∗).
Nhận xét 6.3.3. Miền xác định của Φ∗ không nhất thiết là trù mật trong
H.
Định lý dưới đây là mở rộng của phần (4), định lý 3.1.3 cho không gian Hibert xác suất.
Định lý 6.3.4. Nếu Φ : H → H là tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu
tượng bị chặn thì D(Φ∗) = H và Φ∗ : H → H cũng là tốn tử ngẫu nhiên
tuyến tính trìu tượng bị chặn.
Chứng minh. Cố định v ∈ H. Ta sẽ chứng minh tồn tại g ∈ H sao cho với
mọi u∈ H, ta đều có
hΦu, vi = hu, gi.
Thật vậy, định nghĩa ánh xạ Γ : H → L0(Ω) bởi Γu = hΦu, vi. Khi đó Γ là một tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng bị chặn. Thật vậy, do Φ bị chặn nên tồn tại một biến ngẫu nhiên khơng âm k sao cho ||Φu|| ≤k||u||.
Do đó
|Γu| = |hΦu, vi| ≤ ||Φu|| ||v|| ≤ k||v|| ||u|| ∀u ∈ H.
Theo định lý 6.2.6, tồn tại g ∈ H sao cho
Γu = hu, gi, nghĩa là hΦu, vi = hu, gi ∀u ∈ H.
Do đó D(Φ∗) = H và Φ∗v = g. Hơn nữa ta có
|hu, gi| = |hΦu, vi| ≤ k||v|| ||u|| ∀u, v ∈ H.
Định nghĩa 6.3.5. Cho Φ : D(Φ) → H là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng với miền xác định D trù mật trong H.
(1) Φ được gọi là đối xứng nếu hΦu, vi = hu,Φvi ∀u, v ∈ D(Φ).
(2) Φ được gọi là tự liên hợp nếu Φ = Φ∗.
(3) Φ được gọi là chuẩn tắc nếu D(Φ) =H, Φ bị chặn và ΦΦ∗ = Φ∗Φ.
Nhận xét 6.3.6. Nếu Φ đối xứng thì hΦu, ui = hu,Φui = hΦu, ui, do đó
hΦu, ui một biến ngẫu nhiên giá trị thực.
Định nghĩa 6.3.7. Cho Φ : D(Φ) → H một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng.
(1) Φ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một biến ngẫu thực m sao cho với mỗi u ∈ D(Φ), hΦu, ui ≥ m||u||2.
(2) Φ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một biến ngẫu nhiên thực M
sao cho với mỗi u ∈ D(Φ), hΦu, ui ≤ M||u||2.
(3)Φ được gọi là bị chặn một phía nếu Φ bị chặn trên hoặc Φ bị chặn dưới. Định lý 6.3.8. Cho Φ : D(Φ) → H là tốn tử ngẫu nhiên trìu tượng đối xứng, bị chặn một phía. Khi đó tồn tại một tốn tử ngẫu nhiên trìu tượng tự liên hợp Φe là mở rộng của Φ.
Chứng minh. Ta thấy Φ bị chặn trên nếu và chỉ nếu −Φ bị chặn dưới. Do
đó, ta có thể giả sử Φ bị chặn dưới. Không giảm tổng quát, ta có thể giả sử m = 1. Thật vậy, đặt Ψ = Φ−aI, với a = m−1, khi đó Ψ là toán tử ngẫu nhiên đối xứng thỏa mãn D(Φ) = D(Ψ),D(Φ∗) =D(Ψ∗) và
hΨu, ui = hΦu, ui −ahu, vi ≥ m||u||2 −m||u||2 +||u||2 = ||u||2.
Ký hiệu M = D(Φ). Ta định nghĩa tích trong ngẫu nhiên hu, viM bởi
Hibert xác suất M. Dof ||u||M ≥ ||u||, mọi dãy Cauchy (un) trong M đều hội tụ trong H nên ta có thể coi Mf là một tập con của H chứa các dãy hội tụ trong H.
Đặt N = D(Φ∗) ∩M. Dof Φ đối xứng nên M ⊂ D(Φ∗), do đó M ⊂ N ⊂ D(Φ∗). Gọi Φ :e N → H là hạn chế của Φ∗ xuống N. Ta chứng minh rằng
e
Φ là tự liên hợp. Thật vậy,
• Φe là đối xứng: Lấy u, v ∈ N. Do N ⊂ Mf nên tồn tại dãy (un),(vn)
của M sao cho lim n→∞un = u, lim n→∞vn = v trong M.f Ta có lim m→∞ lim n→∞hΦun, vmi = lim m→∞ lim n→∞hun, vmiM = lim m→∞hu, vmiM = hu, viM.
Tương tự, ta cũng thu được lim n→∞ lim m→∞hΦun, vmi = hu, viM. Do đó lim m→∞ lim n→∞hΦun, vmi = lim n→∞ lim m→∞hΦun, vmi. Mặt khác, do lim n→∞un = u, lim n→∞vn = v trong H, nên ta có lim m→∞ lim n→∞hΦun, vmi = lim m→∞ lim n→∞hun,Φvmi = lim m→∞hu,Φvmi = lim m→∞hΦ∗u, vmi = hΦ, vi.e Tương tự, lim n→∞ lim m→∞hΦun, vmi = lim n→∞hun,Φ∗vi = lim
n→∞hu,Φ∗vi = hu,Φvi.e
• Miền giá trịR(Φ)e củaΦe là toàn bộ H: Lấy v ∈ Hbất kỳ. Ta định nghĩa
Γ : M →f L0(Ω) bởi Γu = hu, vi. Ta có |Γu| ≤ ||v|| ||u|| ≤ ||v|| ||u||M
với mọi u ∈ M. Theo định lý 6.3, tồn tạif v∗ ∈ Mf sao cho Γu = hu, v∗iM∀u∈ M.f Do đó, với mỗi u ∈ M,hΦu, v∗i = hu, v∗iM = hu, vi.
Do đó v∗ ∈ M ∩ D(Φf ∗) =N và v = Φ∗v∗ = Φve ∗.
• Φe là đơn ánh: Thật vậy, giả sử Φue = θ. Do R(Φ) =e H nên tồn tại
v ∈ D(Φ)e sao cho u = Φv.e Do đó hu, vi = hu,Φvie = hΦu, vie = 0, suy ra u = θ.
• Φe là tự liên hợp: Do Φe là đơn ánh và R(Φ) =e H nên tồn tại Ψ =
e
Φ−1 : H → H. Do Φe đối xứng nên Ψ cũng đối xứng. Do D(Φ) = H
nên Ψ = Ψ∗. Lập luận tương tự như kết quả đối với tốn tử tuyến tính tất định, ta thu được Ψ∗ = (Φe∗)−1. Suy ra (eΦ)−1 = (eΦ∗)−1, và do đó
e
Như vậy, luận văn đã trình bày một số kết quả về tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính; tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng; tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng; tốn tử ngẫu nhiên phi tuyến và tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do năng lực còn nhiều hạn chế nên còn rất nhiều vấn đề mở khác của lý thuyết toán tử ngẫu nhiên chưa được đề cập và nghiên cứu trong luận văn này. Vì vậy, em kính mong nhận được những sự đánh giá, nhận xét của các Thầy để có cơ hội nâng cao hiểu biết của mình.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn và giúp đỡ của GS. TSKH. Đặng Hùng Thắng, TS. Nguyễn Thịnh và các Thầy, Cô trong Bộ môn Xác suất-Thống kê đã cung cấp nhiều tài liệu bổ ích để em có thể hồn thành luận văn này.
Tiếng Việt
[1] Đặng Hùng Thắng (2006), Q trình ngẫu nhiên và tính tốn ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, Nhà xuất bản Đại học
Quốc gia Hà Nội.
[3] Đặng Hùng Thắng (2015), Xác suất trên không gian metric, Nhà xuất
bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[4] Nguyễn Duy Tiến, Đặng Hùng Thắng (2001) Các mơ hình xác suất và ứng dụng phần II: Quá trình dừng và ứng dụng, Nhà xuất bản Đại
học Quốc gia Hà Nội.
[5] Nguyễn Duy Tiến (2001) Các mơ hình xác suất và ứng dụng phần III: Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[6] Trần Mạnh Cường (2003), Một số vấn đề về lý thuyết toán tử ngẫu nhiên, Luận văn thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội.
[7] Trần Mạnh Cường (2011), Thác triển toán tử ngẫu nhiên trong không gian Banach khả ly, Luận văn tiến sĩ toán học, Đại học Quốc gia Hà
Nội.
[8] Tạ Ngọc Ánh (2012),Một số vấn đề về phương trình ngẫu nhiên, Luận
án tiến sĩ toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội.
[9] Phạm Thế Anh (2015), Điểm bất động và điểm trùng nhau của tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên và ứng dụng, Luận án tiến sĩ toán học, Đại
[10] Trần Xuân Quý (2015), Về độ đo phổ ngẫu nhiên và tốn tử ngẫu nhiên trìu tượng tuyến tính, Luận án tiến sĩ toán học, Đại học Quốc
Tiếng Anh
[11] Anh T. N. (2010)Random fixed points of probabilistic contractions and
application to random equations, Vietnam J. Math. 38, 227-235.
[12] Anh T. N. (2011) Random equations and applications to general ran-
dom fixed point theorems, New Zealand J. Math. 41, 17-24.
[13] Abbas M. (2005), Solution of random operator equations and inclu- sions, Ph.D. Thesis, National College of Business Administration and
Economics, Parkistan.
[14] Bharucha Reid A. T. (1976)Fixed point theorems in probabilistic anal-
ysis, Bull. Amer. Math. Soc. 82, 641-657.
[15] Thang D. H. (1987),Random operator in Banach space, Probab. Math.
Statist. 8, 155-157.
[16] Thang D. H. , Thinh N. (2004) Random bounded operators and their
extention, Kyushu J. Math. 58, 257-276.
[17] Thang D. H. , Thinh N. (2013)Generalized random linear operators on a Hilbert space, Stochas. Int. J. Prob. Stochas. Process. 85, 1040-1059. [18] Thang D. H. , Anh P. T. (2013) Random fixed points of completely
random operators, Random Oper. Stochas. Equ. 21, 1-20.
[19] Thang D. H. , Anh T. N. (2010)On random equations and application
to random fixed point theorems, Random Oper. Stochas. Equ. 18, 199-
212.
[20] Thang D. H. , Anh T. N. (2010) Some results on random equations,
Vietnam J. Math. 38(1), 35-44.
[21] Thang D. H. , Anh P. T. (2013) Some results on random coincidence points of completely random operators, Acta Mathematica Vietnamica
39, 162-184.
[22] Thang D. H. , Thinh N. , Quy T. X. (2015), Abtracts random linear operators on probabilistic Unitary spaces, J. Korean Math. Soc.
[24] Skorokhod A. V. (1984), Random linear operators, Reidel publishing
Độ đo phổ ngẫu nhiên, 53
Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị, 82
Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đa trị, 85
Điểm bất động ngẫu nhiên
của tốn tử hồn toàn ngẫu nhiên, 94
Điểm trùng nhau
của các tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, 112
Điều kiện (A), 99 Hàm so sánh, 108
Không gian Hibert xác suất, 135 Khơng gian tuyến tính xác suất, 131 Khơng gian unitary xác suất, 133 Liên hợp của toán tử ngẫu nhiên tuyến
tính trìu tượng, 146
Nghiệm của phương trình tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, 122 Nghiệm ngẫu nhiên của phương trình
tốn tử ngẫu nhiên đa trị, 79 Nghiệm ngẫu nhiên của toán tử ngẫu
nhiên đơn trị, 72
Nghiệm tất định của phương trình tốn tử ngẫu nhiên đa trị, 79
Phương trình tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, 122
Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đơn trị, 71
Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đa trị, 79
Quỹ đạo của toán tử ngẫu nhiên đa trị, 70
Quỹ đạo mẫu của ánh xạ ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng, 65
Thác triển của tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính, 37
Tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, 91
(f, q)-co theo xác suất, 103
(f, q)-Lipschitz theo xác suất, 103
f(ω, t)-co yếu, 94
f(t)-co yếu theo xác suất, 94
k(ω)-co, 93
k(ω)-co theo xác suất, 93 k(ω)-Lipschitz, 92
k(ω)-Lipschitz theo xác suất, 93
không giãn, 93
không giãn theo xác suất, 93 liên tục, 91
liên tục theo xác suất, 91 Toán tử ngẫu nhiên đa trị, 69
đo được, 70 liên tục, 70
bị chặn ngẫu nhiên, 20
Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính suy rộng, 48 đối xứng, 67 đóng, 49 bị chặn, 49 chuẩn tắc, 53 phép chiếu, 67 tự liên hợp, 58
Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính trìu tượng, 140 đối xứng, 148 đóng, 141 bị chặn, 141 bị chặn dưới, 148 bị chặn một phía, 148 bị chặn trên, 148 chuẩn tắc, 148 liên tục, 141 tự liên hợp, 148