Chương 1 Các khái niệm cơ bản
1.8. Một số khái niệm khác
Định nghĩa 1.12. Với d ∈ N và miền mở, bị chặn Ω ∈ Rd. Ký hiệu ∂Ω
là biên của Ω. Khi đó Ω được gọi là có biên Lipschitz nếu với mỗi điểm
p ∈ ∂Ω tồn tại số thực r >0 và ánh xạ hp :Br(p) → Q thỏa mãn các điều kiện sau: • hp là song ánh; • hp và h−1p là các hàm liên tục Lipschitz; • hp(∂Ω∩Br(p)) =Q0; • hp(Ω∩Br(p)) =Q+; trong đó, Br(p) := {x ∈ Rd| kx−pk < r}, Q0 := {(x1, x2, . . . , xd) ∈ Qd| xd = 0}, Q+ :={(x1, x2, . . . , xd)∈ Qd| xd >0}.
Định nghĩa 1.13. Với hai véc tơ khác không x, v ∈ Rd ta ký hiệu ∠(v, x)
là góc giữa hai véc tơ x và v. Giả sử 0 < ρ,0 < θ < π, tập hợp
C = {y ∈Rd, y = 0hoặckyk ≤ρ,∠(y, v) ≤ θ/2}
gọi là nón có chiều cao ρ, hướng v và khẩu độ θ với đỉnh tại gốc. Khi đó tập hợp x+C = {x+y, y ∈ C} là nón đỉnh x đồng dạng với nón C.
Định nghĩa 1.14. [Điều kiện nón trong đều]
Ω ∈ Rd thỏa mãn điều kiện nón trong đều nếu tồn tại phủ mở hữu hạn địa phương {Uj} của biên Ω và dãy tương ứng các nón {Cj} đồng dạng với nón C nào đó thỏa mãn các điều kiện sau:
• Tồn tại M < ∞ sao cho sup
u,v∈Uj
{d(u, v)} < M với mọi j.
• Ωδ ∈ S∞j=1Uj với δ > 0 nào đó.
• Qj ≡ S
x∈Ω∩Uj(x+Cj) ⊂ Ω với mọi j.
• Giao của một số hữu hạn các tập Qj là rỗng.
Chương 2
Sai số xấp xỉ bằng phương pháp nội suy sử dụng hàm bán kính cơ sở
Chương này được viết dựa vào nội dung của bài báo [10], với mục đích là đánh giá cận trên, cận dưới của biến đổi Fourier của hàm Wendland
c1(1 +kωk2)−d/2−k−1/2 ≤ Φd,k(ω)b ≤ c2(1 +kωk2)−d/2−k−1/2, ∀ω ∈ Rd,
và từ đó dẫn đến khơng gian ngun thủy tương ứng với nhân Φd,k là một không gian Sobolev, ta cũng có đánh giá sai số xấp xỉ bằng phép nội suy trong không gian này.