Chương 1 Các khái niệm cơ bản
3.3. Nội suy đa thang bậc hàm thô
Trong phần này chúng ta sẽ mở rộng kết quả của Định lý 3.1 trong trường hợp các hàm mục tiêu thô hơn. Cụ thể là xét trường hợp các hàm nội suy sinh bởi nhân tái tạoΦcủa không gian Hτ(Rd) trong khi hàm mục tiêu thuộc không gian Hβ(Rd) với τ ≥ β > d/2. Ký hiệu nhân tái tạo của
không gian Hβ(Rd) là Ψ : Rd →R
b
Ψ(ω) = 1 +kωk2−β
chúng ta sẽ co giãn nhân này như cách đã làm với Φ, đặt Ψδ(x) =
δ−dΨ(x/δ) và
Ψj(x, y) = δ−dj Ψ ((x−y)/δj)
Tiếp theo ta sẽ sử dụng một kết quả từ [5], nó chỉ ra sự tồn tại của phép nội suy và hàm nội suy có giải tần bị chặn tốt nhất. Ký hiệu B(O, σ) ⊆ Rd
là hình cầu tâm O bán kính σ. Đặt
Bσ = {f ∈ L2(Rd) : supp(fb)⊆ B(O, σ)}
và
distHβ(Rd)(f,Bσ) = inf
Bổ đề 3.3. Cho X ⊆ Rd là tập hữu hạn điểm. Giả sử f ∈ Hβ+t(Rd) với β > d/2, t ≥ 0. Khi đó, tồn tại hàm fσ ∈ Bσ thỏa mãn fσ|X = f|X và
kf −fσkHβ(Rd) ≤ 5 distHβ(Rd)(f,Bσ) ≤ 5κ−tqXt kfkHβ+t(Rd),
với σ = κ/qX, trong đó κ≥ 1 chỉ phụ thuộc vào d và β.
Một hệ quả của Bổ đề trên là
kfσkHβ(Rd) ≤ 6kfkHβ(Rd).
Ta có một kết quả tương tự
Bổ đề 3.4. Giả sử f ∈ Hβ(Rd), β > d/2 và X ⊆ Rd là tập hữu hạn điểm với khoảng phân cách là qX. Với δ ∈ (0,1] cho trước, đặt σ = κδ/qX với κ≥ 1 xác định theo Bổ đề 3.3. Khi đó, tồn tại hàm fσ/δ ∈ Bσ/δ thỏa mãn fσ/δ|X = f|X và
kf −fσ/δkΨδ ≤ 5kfkΨδ.
Chứng minh. Xét g ∈ Hβ(Rd) được định nghĩa g(x) = δd/2f(δx). Khi đó
biến đổi Fourier của nó là bg(ω) =δ−d/2fb(ω/δ). Ta có
kgk2Hβ(Rd) = Z Rd |bg(ω)|2 1 +kωk2β dω = δ−d Z Rd |fb(ω/δ)|2 1 +kωk2βdω = Z Rd |fb(ω)|2 1 +δ2kωk2β dω = kfk2Ψδ,
hay kgkHβ(Rd) = kfkΨδ. Đặt Y = X/δ = {x/δ : x ∈ X} với khoảng phân cách qY = qX/δ. Bổ đề 3.3 đã chỉ ra tồn tại hàm gσ ∈ Bσ với
σ = κ/qY = δκ/qX và gσ|Y = g|Y,kg − gσkHβ(Rd) ≤ 5kgkHβ(Rd). Đặt
fσ/δ := δ−d/2gσ(s/δ), với biến đổi Fourier fdσ/δ(ω) =δd/2gbσ(δω). Vì gσ ∈ Bσ
nên fσ/δ ∈ Bσ/δ, hơn thế , với mỗi xj ∈ X ta có
fσ/δ(xj) =δ−d/2gσ(xj/δ) =δ−d/2gσ(yj) =δ−d/2g(yj) =f(δyj) = f(xj),
hay fσ/δ|X =f|X. Cuối cùng, từ kfσ/δkΨδ = kgσkHβ(Rd),kg−gσkHβ(Rd) =
kf −fσ/δkΨδ và Bổ đề 3.3 ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 3.5. Giả sử f ∈ Hβ(Rd), δ ∈ (0,1], X ⊆ Rd là tập hữu hạn với qX ≤ δ. Chọn κ, σ = κδ/qX và fσ/δ ∈ Bσ/δ theo Bổ đề 3.4. Khi đó, kfσ/δkΦδ ≤ Cστ−βkfkΨδ. Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 3.1, Bổ đề 3.4 và σ = δκ/qX ≥ 1 ta có kfσ/δk2Φδ ≤ 1 c1 Z kωk≤σ/δ |fdσ/δ(ω)|2 1 +δ2kωk2τdω ≤ 1 c1 Z kωk≤σ/δ |fdσ/δ(ω)|2 1 +δ2kωk2β 1 +δ2kωk2τ−βdω ≤ 1 c1(1 +σ 2)τ−βkfσ/δk2Ψδ ≤ 1 c136(1 +σ 2)τ−βkfk2Ψδ ≤ 1 c136.2 τ−βσ2τ−2βkfk2Ψδ =C2σ2τ−2βkfk2Ψδ.
Ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề tiếp theo cho ta đánh giá (3.8) trong trường hợp hàm mục tiêu thô hơn. Tuy nhiên chúng ta cần thêm điều kiện tập dữ liệu là tựa đều.
Bổ đề 3.6. Giả sử Ω⊆ Rd là miền bị chặn, có biên Lipschitz, Xj ⊆ Ω với qj ≤ hj ≤ cqhj và qj ≤ δj. Khi đó tồn tại hằng số C thỏa mãn bất đẳng thức
kejkHβ(Ω) ≤ Cδj−βkEej−1kΨj.
Chứng minh. Ta có
kejkHβ(Ω) = kej−1−IXj,δjej−1kHβ(Ω)
= kEej−1−IXj,δjEej−1kHβ(Ω)
≤ kEej−1−(Eej−1)σj/δjkHβ(Ω)
trong đó σj = κδj/qj được chọn theo Bổ đề 3.4. Với số hạng thứ nhất, ta dùng Bổ đề 3.1 và Bổ đề 3.4 để đánh giá.
kEej−1−(Eej−1)σj/δjkHβ(Ω) ≤ kEej−1−(Eej−1)σj/δjkHβ(Rd)
≤ δj−βkEej−1−(Eej−1)σj/δjkΨj ≤ 5δj−βkEej−1kΨj.
Với số hạng thứ hai ta dùng Bổ đề 3.1, Bổ đề 3.2, Bổ đề 3.5 và tính tối ưu của phép nội suy để đánh giá.
k(Eej−1)σj/δj −IXj,δj(Eej−1)σj/δjkHβ(Ω)
≤ Chτ−βj k(Eej−1)σj/δj −IXj,δj(Eej−1)σj/δjkHτ(Ω)
≤ Chτ−βj δj−τk(Eej−1)σj/δj −IXj,δj(Eej−1)σj/δjkΦj ≤ Chτ−βj δj−τk(Eej−1)σj/δjkΦj
≤ Chτ−βj δj−τσjτ−βkEej−1kΨj
= Cδ−β(κhj/qj)τ−βkEej−1kΨj.
Kết hợp lại ta có
kejkHβ(Ω) ≤ Cδj−βkEej−1kΨj.
Định lý 3.2. Giả sử Ω ⊆ Rd là miền bị chặn có biên Lipschitz, X1, X2, . . . là dãy các tập hợp điểm trong Ω với chuẩn mạng lưới h1, h2, . . . và khoảng phân cách q1, q2, . . . thỏa mãn
1. cµhj ≤ hj+1 ≤ µhj với j = 1,2, . . . , µ ∈ (0,1), c ∈(0,1] ,
2. qj ≤ hj ≤ cqqj với j = 1,2, . . . và cq >0.
Gọi Φ là nhân nguyên thủy của không gian Hτ(Rd) và Φj được định nghĩa theo (3.7) tương ứng với hệ số co giãn δj = νhj, 1/h1 ≥ ν ≥ γ/µ ≥ 1 với
γ > 0 cố định. Gọi Ψ là nhân nguyên thủy của không gian Hβ(Rd) với
Giả sử hàm mục tiêu f thuộc khơng gian Hβ(Ω). Khi đó, tồn tại hằng số
C1 >0, C1 phụ thuộc vào γ sao cho
kEejkΨj+1 ≤ αkEej−1kΨj với α = C1µβ;j = 1,2, . . .
và tồn tại hằng số C > 0 thỏa mãn
kf −fnkL2(Ω) ≤ CαnkfkHβ(Ω).
Vì thế nên hàm xấp xỉ đa thang bậc fn hội thụ đến f theo chuẩn của khơng gian L2 nếu α <1. Chứng minh. Ta có kEejk2Ψj+1 = Z Rd |dEej(ω)|2 1 +δj+12 kωk2βdω :=I1+I2 trong đó I1 := Z kωk≤δj+11 |dEej(ω)|2 1 +δj+12 kωk2β dω, I1 := Z kωk≥ 1 δj+1 |Eejd(ω)|2 1 +δj+12 kωk2β dω. Ta đánh giá tích phân thứ nhất I1 ≤ 2β Z kωk≤ 1 δj+1 |Eejd(ω)|2dω ≤ 2β Z Rd |dEej(ω)|2dω = 2βkEejkL2(Rd) ≤ 2βCkejk2L2(Ω) ≤ Ch2βj kejkHβ(Ω) (Bổ đề 3.2) ≤ C hj δj 2β kEej−1k2Ψj (Bổ đề 3.6) ≤ Cµ2βkEej−1k2Ψj.
Xét tích phân thứ hai. Vì δj+1kωk ≥1 nên
1 +δ2j+1kωk2β
≤ 2βδj+12β kωk2β ≤ 2βδj+12β 1 +kωk2β
Ta có I2 ≤ 2βδj+12β Z Rd |Eej(ω)|d 2 1 +kωk2βdω = 2βδj+12β kEejk2Hβ(Rd) ≤ Cδj+12β kejk2Hβ(Ω) (Mệnh đề 3.2) ≤ C δj+1 δj 2β kEej−1k2Ψj (Bổ đề 3.6) ≤ Cµ2βkEej−1k2Ψj. Kết hợp lại ta được
kEejkΨj+1 ≤ C1µβkEej−1kΨj =αkEej−1kΨj.
Cuối cùng, vì en = f − fn triệt tiêu trên Xn nên áp dụng Bổ đề 3.2,Bổ đề 3.1 ta có
kf −fnkL2(Ω) =kenkL2(Ω) ≤ ChβnkenkHβ(Ω)
≤ ChβnkEenkHβ(Rd)
≤ Chβnδn+1−β kEenkΨn+1
=CkEenkΨn+1 (vì hn/δn+1 = hn/(νhn+1) ≤ 1/(cγ)).
Áp dụng liên tiếp kết quả vừa chứng minh trước đó ta có
kf −fnkL2(Ω) ≤ CαnkEfkΨ1 ≤ CαnkEfkHβ(Rd) ≤ CαnkfkHβ(Ω).
Vậy nếu α= C1µβ < 1 thì các hàm xấp xỉ fn hội tụ đến hàm f theo chuẩn của không gian L2.
3.4. Nội suy đa thang bậc và q trình trơn hóa
Trong trường hợp các dữ liệu khơng chính xác, phương pháp nội suy thông thường không phải là sự lựa chọn tốt nhất. Thực tế ta thường giải quyết bài tốn bình phương tối tiểu sau
min ( N X j=1 |s(xj)−f(xj)|2+ksk2Hτ(Rd) :s ∈Hτ(Rd) ) (∗)
với tập dữ liệu X = {x1, x2, . . . , xN} và f|X = (f(x1), f(x2), . . . , f(xn))T
và tham số trơn hóa là > 0. Như chúng ta đã biết, nghiệm này của bài
tốn này có dạng s = N X j=1 αjΦ(·, xj),
với Φ là nhân tái tạo của không gian Hτ(Rd) và hệ số α được xác định bởi hệ
(A+I)α = f|X
trong đó, A = (Φ(xi, xj)), I là tốn tử đồng nhất trong Rd, xem [7].
Ta thấy lời giải của bài toán (∗) là s chỉ phụ thuộc vào giá trị của hàm
f trên tập X nên xấp xỉ và trơn hóa cho hàm f cũng giống với việc cấp xỉ và trơn hóa cho Ef. Tất nhiên ta có thể sử dụng q trình khơi phục trong thuật tốn đa thang bậc, với hàm khôi phục địa phương sj nghiệm đúng min X x∈Xj |ej−1(x)−s(x)|2+jksk2Φj : s∈ Hτ(Rd) . (3.9)
Vì s= Eej−1 thỏa mãn điều kiện s|Xj = ej−1|X nên ta có
kejkL∞(Xj) = kej−1−sjkL∞(Xj) ≤ √jkEej−1kΦj, (3.10)
ksjkΦj ≤ kEej−1kΦj. (3.11) Chúng ta cần dùng bất đẳng thức sau được suy ra từ [9].
Bổ đề 3.7. Giả sử Ω ⊆ Rd là miền bị chặn có biên Lipschitz, τ > d/2. Khi đó, tồn tại hằng số C > 0 thỏa mãn với mọi tập hữu hạn X ⊆ Ω với chuẩn mạng lưới h đủ nhỏ ta có
kfkL2(Ω) ≤ C(hτkfkHτ(Ω)+kfkL∞(X)), ∀f ∈ Hτ(Ω).
Với kết quả này chúng ra sẽ chỉ ra thuật toán đa thang bậc hội tụ với tham số trơn hóa bất kỳ.
Định lý 3.3. Cho Ω ⊆ Rd là miền bị chặn có biên Lipschitz. X1, X2, . . . là dãy các tập hợp điểm trong Ω với chuẩn mạng lưới thỏa mãn cµhj ≤
hj+1 ≤ µhj,∀j = 1,2, . . . với µ ∈ (0,1), c∈ (0,1]cố định và h1 đủ nhỏ. Gọi
Φ là nhân nguyên thủy của không gian Hτ(Ω), tức là Φ thỏa mãn (3.4),
Φj được xác định theo (3.7) tương ứng với hệ số co giãn δj = νhj và
1/h1 ≥ ν ≥ γ/µ với γ >0 cố định . Giả sử hàm mục tiêu f ∈Hτ(Ω). Gọi
sj là hàm khôi phục xác định theo (3.9) và giả sử tham số trơn hóa thỏa mãn j ≤ κ(hj/δj)2τ với hằng số κ > 0 cố định. Khi đó, tồn tại hằng số C1 >0, C1 phụ thuộc vào γ thỏa mãn
kEejkΦj+1 ≤ αkEej−1kΦj, với α = C1µτ, j = 1,2, . . .
và tồn tại hằng số C > 0 thỏa mãn
kf −fnkL2(Ω) ≤ CαnkfkHτ(Ω), với n = 1,2, . . .
Vì vậy, hàm xấp xỉ đa thang bậc fn hội tụ đến hàm f theo chuẩn L2 nếu α < 1.
Chứng minh. Từ Bổ đề 3.1 và (3.11) ta có
kejkHτ(Ω) = kej−1−sjkHτ(Ω) = kEej−1−sjkHτ(Ω)
≤ Cδj−τkEej−1−sjkΦj
≤ Cδj−τkEej−1kΦj. (3.12)
Tương tự như chứng minh Định lý 3.1, ta có
kEejk2Φj+1 ≤ 1 c1 Z Rd |Eej(ω)|d 2 1 +δ2j+1kωk2τ dω := 1 c1 (I1+I2) với I1 := Z kωk≤δj+11 |Eedj(ω)|2 1 +δ2j+1kωk2τdω, I2 := Z kωk≥ 1 δj+1 |Eej(ω)|d 2 1 +δ2j+1kωk2τ dω.
Với tích phân thứ nhất, ta sử dụng Bổ đề 3.7, (3.10), (3.12), Bổ đề 3.1 và các giả thiết với µ, hj, δj.
I1 ≤ CkEejk2L2( Rd) ≤ Ckejk2L2(Ω) ≤ C hτjkejkHτ(Ω)+kejkL∞(Xj)2 ≤ C hj δj τ kEej−1kΦj +√ jkEej−1kΦj 2 = C hj δj τ +√ j 2 kEej−1k2Φj ≤ Cµ2τkEej−1k2Φj.
Với tích phân thứ hai ta sử dụng cách đánh giá như trong Định lý 3.1 kết hợp với (3.12). I2 ≤ Cδj+12τ kEejk2Hτ(Rd) ≤ Cδ2τj+1kejk2Hτ(Ω) ≤ C δj+1 δj 2τ kEej−1k2Φj ≤ Cµ2τkEej−1k2Φj. Kết hợp lại ta có
kEejkΦj+1 ≤ αkEej−1kΦj, với α =C1µτ.
Để chứng minh phần cịn lại của định lý, ta áp dụng Bổ đề 3.7, (3.10) và (3.12) cho en = f −fn kf −fnkL2(Ω) = kenkL2(Ω) ≤ C hτnkenkHτ(Ω)+kenkL∞(Xn) ≤ C hn δn τ kEen−1kΦn +√ nkEen−1kΦn ≤ CµτkEen−1kΦn ≤ αkEen−1kΦn.
Tiếp theo ta áp dụng n−1 lần kết quả chứng minh phần đầu của định lý
kf −fnkL2(Ω) ≤ CαnkEfkΦ1 ≤ CαnkEfkHτ(Rd) ≤ CαnkfkHτ(Ω),
Kết luận
Luận văn đã trình bày lại kết quả đã được cơng bố trong các bài báo [11], [10], [12] theo 3 chương. Nội dung của Chương 1 là trình bày một số kiến thức bổ trợ như các khái niệm, tính chất của hàm Gamma, hàm Bessel, hàm bán kính, phép biến đổi Fourier của hàm bán kính, khơng gian ngun thủy...Đặc biệt Chương 1 cịn giới thiệu lớp hàm Wendland là hàm bán kính xác định dương dạng (1.4) -Định lý 1.12 chỉ ra công thức xác định theo truy hồi, Định lý 1.15 chỉ ra lớp hàm Wendland có bậc cực tiểu. Nội dung của Chương 2 là đánh giá các cận trên, cận dưới của biến đổi Fourier các hàm Wendland
c1(1 +kωk2)−d/2−k−1/2 ≤ Φbd,k(ω) ≤ c2(1 +kωk2)−d/2−k−1/2, ∀ω ∈ Rd,
từ đó suy ra các tính chất của khơng gian nguyên thủy sinh bởi các hàm Wendland - Định lý 2.2 chỉ ra không gian nguyên thủy tương ứng với hàm bán kính cơ sở Φd,k trùng với khơng gian Sobolev cấp s = d/2 +k+ 1/2
NΦd,k(Rd) = Hs(Rd)
và chuẩn của hai không gian này tương đương. Định lý 2.3 chỉ ra bậc xấp xỉ của phép nội suy theo hàm bán kính cơ sởΦd,k . Nội dung của Chương 3 trình bày thuật tốn xấp xỉ đa thang bậc - Thuật toán 1 và chứng minh sự hội tụ của thuật toán trong trường hợp không gian xấp xỉ cùng độ trơn với hàm mục tiêu - Định lý 3.1, trường hợp hàm mục tiêu có độ trơn bé hơn - Định lý 3.2, và trường hợp xấp xỉ sử dụng tham số trơn hóa - Định lý 3.3.
Tài liệu tham khảo
[1] A.Y.Chanysheva (1990), "Positive definite functions of a special form", Moscow University Math. Bull. 45 57-59.
[2] DeVore R.A., Sharpley R.C. (1993),"Besov spaces on domains in Rd",
Trans. AMS 335, 843–864 .
[3] G.Gasper (1975), "Positive integrals of Bessel functions", SIAM J.
Math. Anal. 6, No. 5, 868-891.
[4] Le Gia Q.T., Sloan I., Wendland H. (2010), "Multiscale analysis in Sobolev spaces on the sphere", SIAM J. Numer. Anal. Vol 48, No. 6,
2065-2090.
[5] Narcowich F.J., Ward J.D., Wendland H. (2006), "Sobolev error esti- mates and a Bernstein inequality for scattered data interpolation via radial basis functions", Constr. Approx, 24, 175–186 .
[6] Stein E.M. (1971), "Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions", Princeton University Press, Princeton .
[7] Wahba G., "Spline Models for Observational Data", CBMS-NSF, Re-
gional Conference Series in Applied Mathematics, Siam, Philadelphia. [8] G. N. Watson (1996), "A Treatise on the Theory of Bessel Functions",
Cambridge University, Press, Cambridge, UK.
[9] Wendland H., Rieger C. (2005), "Approximate interpolation with ap- plications to selecting smoothing parameters" Numer. Math, 101, 643–662.
[10] Wendland H. (1998),"Error Estimates for Interpolation by Compactly Supported Radial Basis Functions of Minimal Degree", Journal of Ap-
proximation Theory 93, 258-272 .
[11] Wendland H. (1995),"Piecewise polynomial, positive definite and com- pactly supported radial functions of minimal degree", AICM 4, 389-396.
[12] Wendland H. (2010), "Multiscale analysis in Sobolev spaces on bounded domains", Numer. Math. 116,493–517.
[13] Wendland H. (2005), "Scattered Data Approximation", Cambridge
University Press.
[14] Z. Wu and R. Schaback (1993), "Local error estimates for radial basis function interpolation of scattered data", IMA J. Numer. Anal. 13,