2 Các Quyền chọn tổng hợp
2.4 Phương pháp Monte Carlo định giá Quyền chọn
2.4.2 Thuật toán Monte Carlo định giá Quyền chọn Mua
Ta giả thử cổ phiếu S tuân theo chuyển động Brown hình học
dSt =St(µdt+σdWt).
Do vậy giá cổ phiếu ST được xác định bởi hệ thức
ST =S0exp((µ−σ2/2)T+σWT),
hay
ST =S0exp((µ−σ2/2)T+σ √
T ZT),
trong đóZT là biến ngẫu nhiên chuẩn tắc, tứcZT ∼N(0,1).Thuật toán Monte Carlo cho giá Quyền chọn châu Âu được mơ tả như hình 2.1 dưới đây:
Hình 2.1: Thuật tốn Monte Carlo cho giá Quyền chọn Mua châu Âu
Sử dụng thuật tốn này và chạy chương trình thuật tốn với ngơn ngữ lập trình C/C++ ta tính được giá hơm nay của Quyền chọn Mua châu Âu cho Quyền chọn viết trên cổ phiếu S với S0= 100đô la,r =0.05,σ = 0.2 với cỡ mẫun=10000 . Kết quả thu được như hình 2.2 dưới đây.
Sử dụng phương pháp Monte Carlo thô cho sai số tương đối lớn. Hơn thế khi tăng cỡ mẫu lên cao thì sai số giảm khơng đáng kể.
2.4.3 Thuật toán Monte Carlo định giá Quyền chọn Mua châu Á
Bây giờ ta xét một hợp đồng Quyền chọn Mua châu Á với giá thực thi X
được xác định bởi dãy các thời điểm T1,T2, ...,Tm và thời điểm đáo hạn T. Ta biết rằng giá hôm nay của Quyền chọn Mua châu Á này được cho bởi hệ thức
V(S,0) =exp(−rT)max( 1 m+1
m
Hình 2.2: Phương pháp Monte Carlo thô cho giá Quyền chọn Mua châu Âu với S0=100,r=0.05,σ = 0.2,n=10000.
Để mơ tả thuật tốn Monte Carlo cho giá Quyền chọn Mua châu Á ta lấy
∆t =T/m. Do vậy dãy thời điểmT1,T2, ...,Tm được thay thế bởi dãy thời điểm
t0,t1, ...,tm vớitk =k∆=kT/m.Thuật toán Monte Carlo cho giá Quyền chọn châu Á dạng trung bình số học được mơ tả như trong hình 2.3 dưới đây.
Hình 2.3: Thuật tốn Monte Carlo cho giá Quyền chọn Mua châu Á
Ta xét Quyền chọn Mua châu Á viết trên cổ phiếu S với S0 = 100,r = 0.05,σ = 0.2 và T = 1. Chương trình thuật tốn Monte Carlo với cỡ mẫu
CHƯƠNG 2. CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP 45
n = 1000 xấp xỉ giá Quyền chọn Mua châu Á dạng trung bình số học được viết trên ngơn ngữ lập trình C/C++ cho kết quả như trong hình 2.4 dưới đây.
Hình 2.4: Giá Quyền chọn Mua châu Á sử dụng phương pháp Monte Carlo vớiS0=100,r=0.05,σ =0.2
vàT =1