1 Tổng quan về Quyền chọn và mơ hình định giá Quyền chọn
1.5 Phương pháp mác-tin-gan định giá Quyền chọn
1.5.1 đo tương đương
Định nghĩa 1.1.Giả thử(Ω,P,F)là không gian xác suất. Một độ đo xác suất
Q trên(Ω,F)được gọi là liên tục tuyệt đối theoPnếu
A∈F,P(A) =0⇒Q(A) =0 Q được gọi là tương đương vớiPnếu
A∈F,P(A) =0⇔Q(A) =0.
Định lý dưới đây khẳng định sự tồn tại một độ đo Q liên tục tuyệt đối theo độ đoPcho trước.
Định lý 1.1. Xét (Ω,P,F) là một không gian xác suất vàQ là một độ đo xác suất trên (Ω,F). Khi đó Qliên tục tuyệt đối theo Pkhi và chỉ khi tồn tại một biến ngẫu nhiên không âmZ sao cho
∀A∈F,Q(A) =
Z
A
Z(ω)dP(ω) (1.8)
Z ở trong định lý nói trên được gọi là mật độ hay còn gọi là đạo hàm Radon - Nikodyn củaQ theoPvà kí hiệuZ= dQ
dP.
Q trình đạo hàm Radon - NikodynZt được định nghĩa là
Zt =E(Z|Ft),0≤t ≤T, (1.9) có thể viết như dQ dP Ft =Zt.
ThìZt làP−mác-tin-gan. Thật vậy với mọi0≤s<t ≤T ta có
E(Zt|Fs) =E E(Z|Ft)|Fs
Bổ đề 1.1. Giả thử Zt là qúa trình đạo hàm Radon - Nikodyn của Q theo P. Khi đó
i)Với0≤t ≤T và nếuX làFt−đo được, thì
EQ(X) =E(X Zt)
ii)với0≤s<t ≤T và nếuX làFt− đo được, thì
EQ(X|Fs|) = 1
Zs(X Zt|Fs).
Ta biết rằng dưới độ đo ban đầuPquá trình giá cổ phiếuSt tuân theo chuyển động Brown hình học
dSt =Stµdt+σdWt.
Tức là nó được mơ tả bởi một chuyển động Brown Wt nào đó. Vấn đề là Wt
là chuyển động Brown dưới độ đo xác suất ban đầuP. Tuy nhiên khi thay đổi sang một độ đoQkhác thì q trìnhWt có là chuyển động Brown dưới độ đoQ hay không? Chúng ta luôn mong muốn dưới độ đo mớiQthìWt vẫn là chuyển động Brown. Điều đó có thể thực hiện được hay không.Định lý Girsanov dưới đây sẽ trả lời câu hỏi đó.