Chương 5 Mô hình TGARCH
3.6 Kết quả dự báo của GARCH trong 10 bước
3.7. Ưu điểm và nhược điểm của mơ hình
Cũng giống như mơ hình ARCH, mơ hình GARCH cung cấp cho ta một cách đơn giản để mơ tả phương trình của những biến động. Mơ hình GARCH linh hoạt hơn mơ hình ARCH ở chỗ phương sai có điều kiện khơng những phụ thuộc vào giá trị quá khứ của những cú sốc at mà cịn phụ thuộc vào những biến động có điều kiện. Kinh nghiệm nghiên cứu đã chỉ ra rằng trong nhiều truờng hợp, mơ hình
GARCH(p,q)bậc thấp là đủ tốt để mơ tả chuỗi thời gian. Bera & Hig-
gins(1993) đã chỉ ra rằng, mơ hìnhGARCHbậc thấp nhưGARCH(1, 1) cũng có thể tốt như một mơ hình ARCH bậc cao. Trong một nghiên cứu của Bellerslev (1986)[10] mơ hình GARCH(1, 1)thậm chí cịn tốt hơn mơ hình ARCH(8). Một nghiên cứu khác của Bera & Higgins (1993)[9] cũng chỉ ra rằng mơ hình GARCH(1, 1) thích hợp với dữ liệu như mơ hình ARCH(6). Mơ hình GARCH(1, 1) là mơ hình đơn
giản nhất nhưng lại rất hữu dụng trong việc mơ hình hóa và phân tích các chuỗi dữ liệu tài chính.
Việc nghiên cứu các đặc trưng của các mơ hình GARCH là tương đối phức tạp và mơ hình này cũng có những điểm yếu như mơ hình
ARCH . Xét mơ hình cho bởi phương trình
σt2 =α0+ p ∑ i=1 αia2t−i+ q ∑ j=1 βjσt−j2 ,at = εtσt
Rõ ràng, nếu a2t−i hoặc σt−i2 lớn thì phương sai có điều kiện σt2 sẽ lớn dẫn đến at, a2t sẽ rất lớn. Vì vậy, mơ hình GARCH(p,q) cũng có khả năng nắm bắt đặc trưng bầy đàn của dữ liệu giống như mơ hình
ARCH(p) . Điều này được thể hiện rất rõ qua biểu đồ của chuỗi mơ phỏng, nhóm những biến động hoàn toàn tương tự như trong dãy thực tế. Chứng tỏ mơ hình GARCH rất hữu ích trong việc mơ hình hóa dữ liệu chuỗi thời gian tài tài chính.
Ngồi ra, nhiều nghiên cứu cũng chỉ ra rằng mơ hình GARCH có phần đi "gầy" hơn phân phối chuẩn. Đó như là một điểm mạnh của mơ hình GARCH vì chuỗi lợi suất tài chính được chỉ ra rằng có phần đi gầy. Chúng ta có thể thấy rất rõ điều này qua đồ thị phân bố của chuỗi mô phỏng.
Tuy nhiên, cấu trúc của mơ hình GARCH cũng cho thấy mơ hình đã thất bại trong việc nắm bắt hiệu ứng địn bẩy. Bởi vì σt2 phụ thuộc vào bình phương củaat. Do đó mơ hình khơng tách biệt được mức độ ảnh hưởng của các cú sốc dương (tích cực) và các cú sốc âm (tiêu cực) .
Hình 3.7: Chuỗi lợi suất thực tế và chuỗi mơ phỏng
Chương 4
Mơ hình GARCH-M
Một mơ hình mở rộng quan trọng của lớp các mơ hình ARCH,
GARCHlà mơ hình GARCH-in-Mean và được viết tắt làGARCH−M
. Mơ hình này lần đầu tiên được giới thiệu trong Engle, Lilien & Robins (1987)[16]. Mơ hìnhGARCH−Mlà sự mở rộng của mơ hìnhGARCH
tiêu chuẩn, ở đó phương sai có điều kiệnσt2có ảnh hưởng đến phương trình trung bình. Như vậy mơ hình có thể thể hiện được mối quan hệ giữa lợi nhuận kỳ vọng và phương sai, hiệp phương sai.
4.1. Cấu trúc mơ hình
Cho{yt}là một chuỗi thời gian có gia số độc lập.
Định nghĩa 4.1. Mơ hìnhGARCH −M(p,q)là mơ hình có dạng:
yt = gFt−1,σt2,b+at at = εtσt,σt2 =Var(at|Ft−1) σt2 =α0+ p ∑ i=1 αia2t−i+ q ∑ i=1 βjσt−j2 ;α0 >0,αi ≥ 0,βj ≥0,∀i,j >0 (4.1.1) Hàm trung bình g Ft−1,σt2,b thường được sử dụng là µt +δσt2 hoặc µt+δh(σt). Trong đó h(.) là hàm đơn điệu của σt, tham số δ
đổi của phương sai có điều kiện sẽ làm thay đổi trung bình có điều kiện của yt . Sự có mặt của phần bù rủi ro ngụ ý có sự tương quan trong dãy yt.
4.2. Tính chất
Các tính chất cơ bản như: tính dừng, phương sai khơng có điều kiện của các các cú sốcat và độ nhọn của mơ hình ARCH−M,GARCH −
M được thừa hưởng từ mơ hình ARCH , GARCH. Bởi vì cách chỉ
ra những đặc điểm này khơng làm ảnh hưởng đến kết quả của hàm trung bình của dãy . Tuy nhiên, giá trị trung bình, phương sai của dãy {yt} bị thay đổi bởi vì sự có mặt của hàm σt2 trong hàm trung bình, phụ thuộc vào cáchσt2 tác động lên yt như thế nào. Ta hãy xét một ví dụ đơn giản của mơ hình ARCH−M:
yt = δσt2+at,at = εtσt σt2 =α0+α1a2t−1 Ta có E(at) = 0,E a2t = α0 1−α1,α1 < 1. Từ đó suy ra E(yt) = E δσt2+at =δE α0+α1a2t−1= δα0 1+ α1 1−α1 Ey2t = Eδσt2+at2 = α0 1−α1 + 2α21(δα0)2 (1−α1)2 1−3α21
(Bera & Higgins, 1993)
Như vậy, trung bình và phương sai của dãy {yt} phụ thuộc vào các tham số của các hàm biến động có điều kiện. Đối với mơ hình
GARCH−Mta cũng thu được những kết quả tương ứng với cách làm
ở trên. Trong mơ hìnhGARCH−M, dãy{yt}phụ thuộc vào hàm của
σt2. Điều này cho thấy có tương quan chuỗi trong dãyyt.
Xét{yt}thỏa mãnyt =δσt2+at,σt2là một quá trìnhGARCH(p,q), T là độ dài của dãy. Hàm hiệp phương sai củaytlà
∀k,k> m = Max{p,q}ta có γk =Cov(yt,yt−k) =Covδσt2+at,δσt−k2 +at−k =δ2Covσt2,σt−k2 =δ2 ∑m i=1 (αi+βi)Covσt−i2 ,σt−k2 = ∑m i=1 (αi +βi)γk−i
Do đó hệ số tự tương quan củayt với độ trễklà
ρk = γk γ0 = m ∑ i=1 ρk−i,k >m
Với mỗik, 1 ≤k ≤ mhệ số tương quan phụ thuộc vào các tham số của quá trình GARCH xác định bởi (4.1.1) . Vì vậy, hệ số tương quan xác định duy nhất tại bất kì độ trễ k,k ≤ T. Hơn nữa với mọi giá trị của k
thì ρk ≥ 0vìαi,βi ≥ 0. Điều đó chứng tỏ rằng mơ hình GARCH−M
xác định ở trên có sự nắm bắt được các mối tương quan của dãy dữ liệu, nếu như chúng tồn tại. Hệ số tự tương quan của các mơ hình
GARCH−Mvới phương trình trung bình ở dạng khác vẫn có thể tìm
được bằng cách tương tự.
4.3. Ước lượng
Tương tự như đối với mơ hình ARCH và GARCH để ước lượng mơ hình GARCH−M ta cũng sử dụng phương pháp hàm hợp lí cực đại. Ta có logarit cơ số tự nhiên của hàm hợp lí là
lt = −1 2 ln(2π) +lnσt2 + a2t σt2
Tuy nhiên, không giống như ARCH và GARCH, ma trận thông tin
của GARCH −M không là khối chéo giữa các tham số (b) của hàm
Vì vậy, trung bình có điều kiện và hàm phương sai có điều kiện cần được chỉ ra một cách chính xác để có thể ước lượng một cách hợp lý.
4.4. Kiểm định mơ hình
Kiểm định mơ hình GARCH−M đã được trình bày trong các tài liệu nghiên cứu về mơ hình này như Bera & Higgins (1993) [9], Engle (1987)[16],... Phương pháp pháp nhân tử Largrange (LM) là phương pháp cơ bản nhất để kiểm định cho các mơ hình ARCH cho nên ta cũng có thể áp dụng phương pháp này cho mơ hình GARCH−M. Ý
tưởng chính khi kiểm định mơ hìnhGARCH−Mcũng giống như khi kiểm định ARCH và GARCH. Tuy nhiên, có phát sinh khó khăn làδ
khơng được đồng nhất theo giả thiết khi khơng có hiệu ứng ARCH,
làm ma trận thơng tin kì dị và phân phối tiêu chuẩn của kiểm định LM trở nên vô hiệu (Bera & Higgins, 1993[9]). Mặc dù vậy, phương pháp kiểm định này sẽ trở nên rất đơn giản nếu mơ hình GARCH − M
thực sự được ước lượng theo giả thiết vô hiệu , tức là giả thiết đã chỉ rõ các tham số ω trong không gian tham số . Trong trường hợp này, thống kêξ∗của kiểm định được lấy như trong trường hợp tổng quát là
ξ∗ = T.R20. Trong đó R20 là hệ số của mối tương quan bội trong vòng lặp đầu tiên của mơ hình khi bắt đầu ước lượng hợp lí cực đại với giả thiết vô hiệu (Engle, 1987 [16]). Theo giả thiết vơ hiệu thì ξ∗ tiệm cận theo luật phân phốiχ- bình phương.
4.5. Ví dụ
Trong ví dụ này, ta tiếp tục sử dụng chuỗi lợi suất cổ phiếu IBM với giả thiết cú sốcat có phân phối t-Student. Sử dụng phần mềm R ta thu được mơ hình GARCH−M(1, 1)như sau:
rt =1, 751.10−2−6, 271, 10−2.σ2 t +at at = σt.εt
Hình 4.2: Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy
Hình 4.4: Phần dư và phần dư chuẩn hóa
Hình 4.5: Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình phươngphần dư chuẩn hóa phần dư chuẩn hóa
Từ đồ thị hệ số tương quan của mơ hình ta thấy các giá trị ACF đều nằm trong miền giới hạn tin cậy. Điều đó cho thấy mơ hình đã phản ánh khá tốt dữ liệu. Có thể nói đây là mơ hình phù hợp với dữ liệu. Cũng sử dụng phần mềm R ta thu được bảng kết quả dự báo như sau:
Hình 4.6: Kết quả dự báo GARCH-M trong 10 bước
4.6. Một vài lưu ý khi áp dụng
GARCH−M có thể được mở rộng hơn nữa để trở thành mơ hình
TGARCH−M và nó có tất cả những điểm mạnh , điểm yếu của mơ
hình ARCH, GARCH. Điểm mạnh đặc nổi bật của các loại mơ hình
GARCH − M là khả năng thể hiện mối quan hệ giữa lợi nhuận và
biến động của nó, do đó GARCH −M thường được sử dụng trong các mơ hình tài chính chẳng hạn như mơ hình đã được đề cập trong Bollerslev, Engle và Wooldrige (1988)[11]. Kallsen và Tagqu (1998)[20] đã nghiên cứu việc sử dụng các mơ hìnhGARCH−Mtrong định giá quyền chọn và có những so sánh với mơ hình Black-Scholes. Vấn đề này sẽ được tác giả trình bày cụ thể hơn trong chương 6.
Chương 5
Mơ hình TGARCH
Một trong các điểm yếu của mơ hình ARCH và GARCH là cả hai khơng nắm bắt được các hiệu ứng địn bẩy. Lí do là bởi trong phương trình biến động của mơ hình, phương sai có điều kiện phụ thuộc vào sự thay đổi của bình phương những cú sốc trong q khứ, khơng phụ thuộc vào những cú sốc ở hiện tại. Vì vậy, cần phải có một mơ hình mà ở đó thể hiện được những tác động khác nhau của những cú sốc dương (tích cực) và cú sốc âm (tiêu cực) đối với phương sai có điều kiện. Đó chính là mơ hìnhTGARCH.
5.1. Cấu trúc mơ hình
Cấu trúc của mơ hìnhTGARCHđược giới thiệu lần đầu tiên trong Zakoian (1994) [26] . Ý tưởng chính của mơ hình là sử dụng 0 như một cái ngưỡng để tách các cú sốc trong quá khứ . Cho {yt} là chuỗi thời gian
yt = g(Ft−1,b) +at, at =εtσt
Mơ hình TGARCH(p,q) được Zakoian giới thiệu vào năm 1994 có dạng σt = α0+ p ∑ i=1 α+i a+t−i−α−i a−t−i+ q ∑ i=1 βiσt−i
Trong đó a+t = Max{at, 0},at− = Min{at, 0},εt ∼ WN(0, 1) Ngồi ra mơ hình cịn được biểu diễn như sau
σt2 = α0+ p ∑ i=1 (αi+γidt−i)a2t−i+ q ∑ j=1 βjσt−j2
Trong đó dt−i = 1nếu at−i < 0vàdt−i =0nếuat−i ≥0
Khơng giống như mơ hìnhARCHvàGARCH, trong mơ hìnhTGA−
RCH độ lệch chuẩn có điều kiện σt phụ thuộc vào các giá trị thực tế của các cú sốc ai thay vì cường độ của chúng. Sự xuất hiện của các hệ số α+t và α−t cho phép mơ hình có những phản ứng khác nhau trước những cú sốc tích cực (dương) và tiêu cực (âm). Đặt
α+i = α∗i(1−ηi),α−i = α∗i(1+ηi)
Khi đó mơ hìnhTGARCHcũng có thể được cho bởi Hentschel (1995)[18]
σt =α0+ p ∑ i=1 h α∗i (1−ηi)a+t−i−α∗i (1+ηi)a−t−ii+ q ∑ i=1 βiσt−i = α0+ p ∑ i=1
α∗i (|at−i| −ηiat−i) + q
∑
i=1
βiσt−i
Phương trình trên chỉ ra rằng, với các giá trị tuyệt đối như nhau, một giá trị tích cực (dương) at−i đóng góp(αi−ηi)|at−i|vàoσt, trong khi đó giá trị tiêu cực (âm) lại góp vàoσt một lượng(αi+ηi)|at−i|. Hệ số
ηi thường là dương, điều đó cho thấy các cú sốc âm có tác động lớn đến độ lệch chuẩn có điều.
5.2. Tính chất
Trong lớp các mơ hình TGARCH(p,q), mơ hình TARCH(p) đã được nghiên cứu hồn chỉnh hơn. Vì vậy, ta sẽ chỉ tập trung vào nghiên cứu các đặc trưng của mơ hình TARCH(p)
5.2.1. Sự biểu diễn hồi quy
Zakoian (1994) [26] đã chỉ ra rằng, với q trìnhTARCH(p)có tồn tạibvà ma trận vng Ai cấp pthỏa mãn ωt =b+
p ∑ i=1 Aiωt−i+zt. Trong đó ωt = (a+2t ,a−2t ,a+t a+t−1,at−a+t−1,a+t a−t−1,a−t a−t−1, .., a+t a+t−p+1,a−t a+t−p+1,a+t a−t−p+1a−t a−t−p+1,a+t ,a−t ) Và E(Zt|ωt−1) = 0
Do đó, mơ hình TARCH(p)có một sự biểu diễn hồi quy(AR). Sự biểu diễn hồi quy này gợi ý cho chúng ta cách để tìm bậc của mơ hình thơng qua đồ thị PACF của chuỗi bình phương phần dư trong phương trình trung bình .
5.2.2. Điều kiện dừng
Zakoian (1994)[26] đã chứng minh được điều kiện đủ để mơ hình
TARCH(p)vàTGARCH(1, 1)là quá trình dừng . Cho đa thứcA(L) =
I−
p
∑
i=1
AiLi. Mơ hìnhTARCH(p)là dừng nếu các nghiệmZcủa phương trình det[A(z)] = 0 thỏa mãn |z| > 1 . Điều này tương tự như điều kiện của mơ hình ARCH(p) tiêu chuẩn, là các nghiệm của phương trình1−
p
∑
i=1
αizi = 0phải nằm ngồi đường trịn đơn vị.
5.2.3. Moment khơng có điều kiện
Xét mơ hìnhTARCH(p)thỏa mãn điều kiện dừng , moment cấp 1, moment cấp 2 sẽ là
E(at) = 0
E a2t
= Var(at) = ut(A(1))−1b
Trong đó u(1, 1, 0, ..., 0) ∈ Rp. Ngoài ra Cov(at,as) = 0,∀t 6= s. Các
phương pháp đệ quy. Hơn nữa, nếuεt có phân phối đối xứng thì mọi moment bậc lẻ của{at}đều bằng 0 (Zakoian, 1994[26])
5.2.4. Dáng điệu của đi mơ hình
Tương tự như mơ hìnhGARCH(p,q)mơ hìnhTARCH(p)vàTGA−
RCH(p,q) cũng có phần đi nặng hơn phân phối chuẩn (Zakoian,
1994[26]). Điều này sẽ được minh họa qua ví dụ.
5.3. Ước lượng và kiểm định mơ hình
Cũng giống như bất kì mơ hình nào trong lớp các mơ hìnhARCH,
GARCH, để ước lương mơ hình TARCH ta thường dùng phương
pháp hàm hợp lí cực đại. Tuy nhiên, có những khó khăn phát sinh do khối ngồi đường chéo của ma trận thơng tin của mơ hình TGARCH
thường khác 0, vì thế các tham số của phương trình trung bình và phương trình biến động phải được ước tính cùng một lúc. Hơn nữa, giải quyết phương trình đầu tiên khơng phải là điều dễ dàng vì thiếu các khả năng khác nhau của ngưỡng. Mơ hình TGARCH được xây dựng để miêu tả tính bất đối xứng của dữ liệu nhưng việc ước lượng các tham số của mơ hình TGARCH phức tạp hơn nhiều so với mơ
hình GARCH tiêu chuẩn.
5.4. Ví dụ
Trong phần này chúng ta tiếp tục sử dụng chuỗi lợi suất của cổ phiếu IBM. Đặt rt là lợi suất ở thời điểm t. Sau một số thử nghệm ta nhận thấy sử dụng mơ hình TGARCH(2, 1) là phù hợp. Ở đây ta giữ nguyên giả thiết những cú sốc là phân phối t-Student. Sử dụng phần mềm R ta thu được kết quả như sau:
rt =0.00118+εt.σt
σt2 =2, 806.10−5+ (3, 772.10−2+0, 9494dt−1)a2t−1+ (1, 0.10−8
Hình 5.1: Sai số chuẩn có điều kiện
Hình 5.3: Đồ thị QQ-std của phần dư