Chương 5 Mô hình TGARCH
5.2.1. Sự biểu diễn hồi quy
Zakoian (1994) [26] đã chỉ ra rằng, với q trìnhTARCH(p)có tồn tạibvà ma trận vuông Ai cấp pthỏa mãn ωt =b+
p ∑ i=1 Aiωt−i+zt. Trong đó ωt = (a+2t ,a−2t ,a+t a+t−1,at−a+t−1,a+t a−t−1,a−t a−t−1, .., a+t a+t−p+1,a−t a+t−p+1,a+t a−t−p+1a−t a−t−p+1,a+t ,a−t ) Và E(Zt|ωt−1) = 0
Do đó, mơ hình TARCH(p)có một sự biểu diễn hồi quy(AR). Sự biểu diễn hồi quy này gợi ý cho chúng ta cách để tìm bậc của mơ hình thơng qua đồ thị PACF của chuỗi bình phương phần dư trong phương trình trung bình .
5.2.2. Điều kiện dừng
Zakoian (1994)[26] đã chứng minh được điều kiện đủ để mơ hình
TARCH(p)vàTGARCH(1, 1)là quá trình dừng . Cho đa thứcA(L) =
I−
p
∑
i=1
AiLi. Mơ hìnhTARCH(p)là dừng nếu các nghiệmZcủa phương trình det[A(z)] = 0 thỏa mãn |z| > 1 . Điều này tương tự như điều kiện của mơ hình ARCH(p) tiêu chuẩn, là các nghiệm của phương trình1−
p
∑
i=1
αizi = 0phải nằm ngồi đường trịn đơn vị.
5.2.3. Moment khơng có điều kiện
Xét mơ hìnhTARCH(p)thỏa mãn điều kiện dừng , moment cấp 1, moment cấp 2 sẽ là
E(at) = 0
E a2t
= Var(at) = ut(A(1))−1b
Trong đó u(1, 1, 0, ..., 0) ∈ Rp. Ngoài ra Cov(at,as) = 0,∀t 6= s. Các
phương pháp đệ quy. Hơn nữa, nếuεt có phân phối đối xứng thì mọi moment bậc lẻ của{at}đều bằng 0 (Zakoian, 1994[26])
5.2.4. Dáng điệu của đuôi mô hình
Tương tự như mơ hìnhGARCH(p,q)mơ hìnhTARCH(p)vàTGA−
RCH(p,q) cũng có phần đi nặng hơn phân phối chuẩn (Zakoian,
1994[26]). Điều này sẽ được minh họa qua ví dụ.
5.3. Ước lượng và kiểm định mơ hình
Cũng giống như bất kì mơ hình nào trong lớp các mơ hìnhARCH,
GARCH, để ước lương mơ hình TARCH ta thường dùng phương
pháp hàm hợp lí cực đại. Tuy nhiên, có những khó khăn phát sinh do khối ngồi đường chéo của ma trận thơng tin của mơ hình TGARCH
thường khác 0, vì thế các tham số của phương trình trung bình và phương trình biến động phải được ước tính cùng một lúc. Hơn nữa, giải quyết phương trình đầu tiên khơng phải là điều dễ dàng vì thiếu các khả năng khác nhau của ngưỡng. Mơ hình TGARCH được xây dựng để miêu tả tính bất đối xứng của dữ liệu nhưng việc ước lượng các tham số của mơ hình TGARCH phức tạp hơn nhiều so với mơ
hình GARCH tiêu chuẩn.
5.4. Ví dụ
Trong phần này chúng ta tiếp tục sử dụng chuỗi lợi suất của cổ phiếu IBM. Đặt rt là lợi suất ở thời điểm t. Sau một số thử nghệm ta nhận thấy sử dụng mơ hình TGARCH(2, 1) là phù hợp. Ở đây ta giữ nguyên giả thiết những cú sốc là phân phối t-Student. Sử dụng phần mềm R ta thu được kết quả như sau:
rt =0.00118+εt.σt
σt2 =2, 806.10−5+ (3, 772.10−2+0, 9494dt−1)a2t−1+ (1, 0.10−8
Hình 5.1: Sai số chuẩn có điều kiện
Hình 5.3: Đồ thị QQ-std của phần dư
Hình 5.5: Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình phươngphần dư chuẩn hóa phần dư chuẩn hóa
Ta thấy hệ số AIC của mơ hìnhTGARCH(2, 1)là -4.0372. Hệ số này nhỏ hơn so với hệ số của các mơ hình ARCH(8) vàGARCH(1, 1)với cùng giả thiết. Tất cả các hệ số tương quan ACF đều nằm trong miền giới hạn tin cậy. Điều đó cho thấy những thứ khơng giải thích được trong mơ hình chỉ là tiếng ồn ngẫu nhiên. Các đồ thị trên đã cho thấy mơ hình TGARCH(2, 1)là khá phù hợp với dữ liệu.
5.5. Ưu và nhược điểm của mơ hình TGARCH
Mơ hình TGARCH kế thừa tất cả các điểm mạnh của GARCH: khả năng nắm bắt các nhóm biến động, nặng đi, mối tương quan giữa các biến động và rất đơn giản. Ta đã mơ phỏng một q trình
TGARCH(2, 1)với các tham số thu được từ mơ hình phù hợp vừa tìm
được ở trên. Ta thấy trong chuỗi mơ phỏng (màu đỏ) có nhiều sự thay đổi lớn liên tiếp (đặc trưng bầy đàn của biến động). Điều này cũng xảy ra tương tự ở chuỗi thực tế (màu xanh), mặc dù sự biến động là không lớn bằng chuỗi mơ phỏng. Điểm nổi bật hơn của mơ hình TGARCH
cấu trúc của mơ hình cho thấy mơ hình sẽ có những phản ứng khác nhau trước những cú sốc dương (tích cực) và cú sốc âm (tiêu cực).
Hình 5.6: Chuỗi lợi suất thực tế và chuỗi mơ phỏng
Ứng dụng của các kiểu mơ hình ARCH trong việc định giá quyền chọn
6.1. Hợp đồng quyền chọn
Hợp đồng quyền chọn cổ phiếu là một hợp đồng tài chính cung cấp cho các tổ chức tài chính quyền thương mại một số lượng nhất định cổ phần của cổ phiếu phổ thông được chỉ định vào một ngày nhất định, với một mức giá quy định. Mức giá quy định gọi là mức giá thực thi
K. Ngày trong hợp đồng gọi là ngày hết hạn hoặc đáo hạn và thường
kí hiệu là T. Có hai loại quyền chọn cơ bản. Quyền chọn mua trao
cho người mua (người nắm giữ) quyền, nhưng không phải nghĩa vụ, được mua một tài sản cơ sở vào một thời điểm hay trước một thời điểm trong tương lai với một mức giá xác địnhK. Quyền chọn bán trao cho người mua (người nắm giữ) quyền, nhưng không phải nghĩa vụ, được bán một tài sản cơ sở vào một thời điểm hay trước một thời điểm trong tương lai với một mức giá xác định K. Đối với quyền chọn mua, ta có
người mua quyền chọn mua và người bán quyền chọn mua. Đối với quyền chọn bán, ta cũng có người mua quyền chọn bán và người bán quyền chọn bán. Một quyền chọn kiểu châu Âu chỉ có thể thực hiện vào ngày hết hạn trong khi quyền chọn kiểu Mỹ có thể thực hiện tại bất kì thời điểm nào cho đến khi hết hạn. Lợi nhuận của quyền chọn
mua dài hạn là Max{ST −K, 0}, trong đó ST là giá tại thời điểm đáo hạn. Tại thời điểm người mua mua quyền chọn, gía cổ phiếu tại thời điểm đáo hạnST (giá thị trường lúc đáo hạn) là khơng biết, vì vậy lợi nhuận cũng là khơng xác định. Một người mua quyền chọn có thể đạt được hoặc mất tiền, do đó để cho phù hợp ta phải thiết lập một "giá hợp lý" đối với các quyền chọn. Lý tưởng nhất mức giá đó phải khơng tạo ra sự chênh lệch.
Tuy nhiên, tính tốn lợi nhuận kì vọng là điều khơng dễ dàng bởi vì bạn cần phải thiết lập sự kì vọng cho rủi ro ưu tiên của nhà đầu tư . Nhưng sự rủi ro ưu tiên của một cá nhân là rất khó định lượng, do đó cần giả định rằng có một phân bố xác xuất độc lập với sự ưu tiên rủi ro phát sinh, được gọi là biện pháp trung hòa rủi ro . Như đã được đề cập trong Tsay (2005, trang 264)[24], có hai tác động từ thế giới rủi ro trung tính là:
• Lợi nhuận kì vọng của tất cả các chứng khốn là tỷ suất sinh lợi phi rủi ro.
• Giá trị hiện tại của bất kì lưu chuyển tiền tệ là giá trị kì vọng của nó được chiết khấu với lãi xuất phi rủi ro.
Theo đó, giá trị của một quyền chọn được tính bằng cách lấy chiết khấu lợi nhuận kì vọng theo một xác suất rủi ro trung tính P(Engle & Mustafa, 1992 [17]). Giá tại thời điểm t của một quyền chọn kiểu châu ÂU là
qt =d(t,T)EP(lợi nhuận) (6.1.1)
Trong đó,d(t,T)là yếu tố chiết khấu giữa thời điểm t và T, r là tỷ lệ lãi xuất phi rủi ro và được dựa trên lợi nhuận của trái phiểu chính phủ ngắn ngày. Trong thị trường thực tế, hầu hết các quyền chọn cổ phiếu là quyền chọn kiểu Mỹ. Tuy nhiên nếu cổ phiếu không trả cổ tức thì giá của một quyền chọn kiểu Mỹ là bằng giá của một quyền chọn kiểu châu Âu với cùng giá thực thi và cùng thời gian đáo hạn.
Một quyền chọn mua gọi là được lời nếu giá cổ phiếuSt > K, hịa
tế, hầu như khơng thể biết được chính xác một quyền chọn hịa vốn nhưng có thể biết được quyền chọn ở gần với tiền vốn, có nghĩa là giá trị thực thi K gần (nhưng không bằng) với giá thị trường hiện tạiSt.
6.2. Dữ liệu và phương pháp
Trong phần minh họa này, chúng ta sẽ nghiên cứu dãy giá theo ngày của cổ phiếu IBM, đây là cổ phiếu không trả cổ tức do đó có thể sử dụng phương trình (6.1.1) . Lãi suất phi rủi ro được kho bạc Mỹ thực hiện từ 14/1/2013 là 0,05/năm. Dữ liệu là lợi nhuận hàng ngày của cổ phiếu IBM, từ 2/2/2009 đến 24/1/2013. Những thông tin mà ta sử dụng để kiểm tra việc thực hiện các mơ hình là giá dự thầu của của các quyền chọn mua của IBM với các mức giá thực hiện là $ 190, $ 195, $ 200, $ 205, $210. Giá cổ phiếu đã được quan sát từ 14/1/2013 đến 24/1/2013, tức là trong 8 ngày làm việc. Tất cả các quyền chọn được xem xét là quyền chọn 1 tháng và tất cả sẽ hết hạn vào ngày 1/2/2013. Theo Engle & Mustafa (1992) [17], chúng ta có thể tính lợi nhuận kì vọng bằng cách mơ phỏng. Giá quyền chọn mua là
ct = e−r(T−t)EP[Max{ST−K, 0] (6.2.1)
Trong đó,rlà lãi xuất phi rủi ro, (T−t)là khoảng thời gian tính đến ngày đáo hạn và được tính tốn như một phần nhỏ của một năm 360 ngày. Lợi nhuận kì vọng được tính bằng trung bình của lợi nhuận mơ phỏng. Một thị trường rủi ro trung tính được giả định cho rằng kì vọng EP[Max{ST −K, 0}] có thể được xấp xỉ trực tiếp bằng giá trị trung bình mẫu. Quá trình định giá được bắt đầu bằng cách lắp một mơ hình biến động phù hợp ( ARCH, GARCH , GARCH −M ,
TGARCH) cho các dãy lợi suất cổ phiếu IBM. Mỗi mơ hình phù hợp
đã được thực hiện trong 8 lần. Đầu tiên là áp dụng cho chuỗi số liệu cập nhật đến ngày 14/1/2013 và cuối cùng là áp dụng cho chuỗi số liệu cập nhật đến 24/1/2013. Điều đó tương tự như việc tìm mơ hình phù hợp ứng với 8 chuỗi thời gian có cùng thời ngày bắt đầu nhưng ngày kết thúc khác nhau. Mục đích của việc làm như vậy là để có được
giá quyền chọn mỗi ngày từ 14/1/2013 đến 24/1/2013 và hơn thế nữa, để đảm bảo các mơ hình được cập nhật bất cứ khi nào dữ liệu đến.
Các mơ hình được ta sử dụng làARCH(11),GARCH(1, 1),GARCH−
M(1, 1),TGARCH(1, 1). Bậc của các mơ hình cũng như phân phối của
cú sốcatđược xác định bằng cách kiểm tra PACF mẫu của dữ liệu. Các bước tiến hành được thực hiện tương tự như những gì tác giả đã làm trong phần 2.6, 3.6, 4.5, 5.4 do đó chúng sẽ khơng được trình bày lại trong chương này. Các mơ hình phù hợp được tìm thấy bằng cách sử dụng hàm rugach f it trong góirugarch của phần mềm R, với giả thiết những cú sốc có phân phối chuẩn.
Đối với mỗi mơ hình phù hợp, dự báo lợi suất được thực hiện đến ngày đáo hạn. Trong mỗi bước dự báo, ta có thể mô phỏng một số lượng lớn (1000) lợi suất từ phân phối chuẩn với giá trị trung bình là giá trị trung bình dự báo rt(l) và độ lệch chuẩn là độ lệch chuẩn dự báo σt(l). Phân phối chuẩn được sử dụng trong bước mơ phỏng, vì ta đã giả sử rằng những cú sốc có phân phối chuẩn khi ta lắp các kiểu của mơ hình ARCH vào dữ liệu. Sau bước mơ phỏng, ta đã có được những tập hợp gồm 1000 giá trị lợi suất từ thời điểm kết thúc hiện tại đến ngày đáo hạn. Với mỗi bộ số, cùng với giá cổ phiếu được quan sát trong ngày cuối cùng ta có thể ước lượng được giá cổ phiếu khi đáo hạn. Lợi nhuận trong mỗi bước mơ phỏng được tính là Max{ST −
K, 0} . Lấy trung bình của những giá trị lợi nhuận mô phỏng ở trên ta thu được giá trị lợi nhuận kì vọng EP[max{ST −K, 0}]. Sau đó, áp dụng công thức (6.2.1)ta thu được giá quyền chọn mua của cổ phiếu tại ngày đáo hạn. Cuối cùng, với mỗi giá thực thi ta thu được một bộ số gồm các giá quyền chọn mua từ ngày 14/1 đến 24/1. Để đánh giá kết quả của từng mơ hình ta dựa vào dựa vào chỉ số SSE - tổng bình phương sai số của giá trị dự báo và giá tri thực tế.
Trong bước mô phỏng, ta đã giả định rằng lợi suất của IBM trong giai đoạn 2/2/2009 đến 24/1/2013 là dãy dừng để ta có thể suy luận về lợi nhuận trong tương lai. Một dữ liệu chuỗi thời gian khơng dừng có thể do tính xu hướng hay thời vụ, điều này có thể thấy được nhờ các đồ thị của chuỗi thời gian. Ngoài ra, đồ thị ACF của mẫu dữ liệu
cũng thể hiện rất rõ mối tương quan của xu hướng và thời vụ. Mặc dù trong thực hành, dãy lợi suất tài sản thường được giả định là dãy dừng (Tsay, 2005, trang 25 [24]) nhưng ta vẫn phải kiểm tra tính dừng của dãy cổ phiếu IBM trước khi chạy các thủ tục định giá quyền chọn. Để biết giá quyền chọn được tìm thấy bởi mỗi mơ hình có hợp lệ hay khơng ta phải so sánh chúng với giới hạn dưới của một quyền chọn châu Âu . Theo Stay ( 2005, trang 267 ) [24] , các giá quyền chọn mua kiểu châu Âuctphải thỏa mãn :
ct > St−Ke−r(T−t)
Ngồi ra, ta cũng có thể sử dụng công thức Black-Schloes để định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu :
ct = StN(d1)−N(d2)Ke−r(T−t) Trong đó d1 = lnStK+r+ σ2 2 (T−t) σ √ T−t ,d2 = d1−σ √ T−tvà N(.)
là hàm phân phối tích lũy (c.d.f) của phân phối chuẩn N(0,1). Độ lệch chuẩn σ trong phương trình là sai số chuẩn trong tập hợp dữ liệu. Trong phần mềm R có gói lệnh RQuantilib, có thể giúp cho việc định
giá quyền chọn kiểu châu Âu với công thức Black-Scholes một cách dễ dàng.
6.3. Kết quả
Từ đồ thị lợi suất hàng ngày của cổ phiếu IBM ta khơng thấy có bất kì một xu hướng hay tính thời vụ một cách rõ ràng. Hơn nữa, hệ số ACF giảm đột ngột và khơng xuất hiện tính chu kì. Vì thế, có thể xem đây là chuỗi thời gian dừng. Các bảng từ 6.1 đến 6.5 cho biết giá thực tế và giá dự báo của quyền chọn mua ứng với mỗi giá thực hiện, từ 14/1/2013 đến 24/1/2013. Tất cả các giá trị dự báo đều rất gần với giá trị thực tế . Ta thấy rằng giá quyền chọn ứng với các giá thực thi tăng đột ngột vào ngày 23/1 và tất cả các mơ hình đã nắm bắt được
đặc điểm này. Tuy nhiên, chúng dường như có phản ứng thái quá với những thay đổi này: các giá trị trước ngày 23/1 thường thấp hơn nhiều so với các giá trị sau ngày 23/1. Các sai số có xu hướng tăng khi giá thực hiện tăng từ $ 190 lên $200 nhưng lại giảm khi giá thực hiện là $210.
Trong số các mơ hình được sử dụng, mơ hìnhARCH(11)thường có hệ số SSE lớn nhất. Các mơ hình khác có hệ số SSE nhỏ hơn. Mơ hình
TGARCH(1, 1) có hệ số SSE nhỏ nhất khi giá thực hiện là $200, $205
và $210. Với nhiều giá trị thực hiện thì mơ hình GARCH − M(1, 1)
là mơ hình có SSE tốt nhất. Tuy nhiên, hệ số SSE của TGARCH(1, 1) cũng khơng có sự khác biệt nhiều lắm và trong nhiều trường hợp còn tốt hơn GARCH − M(1, 1). Do vậy, chúng ta cũng khơng có đủ cơ
sở để nói rằng các mơ hình GARCH − M tốt hơn ARCH, GARCH
và TGARCH. Chú ý rằng các mơ hình được sử dụng có những mơ
hình khơng đối xứng do đó các kết quả vượt trội hơn có thể bao hàm