CHƯƠNG 2 THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MƠ HÌNH
2.3 Thuật toán chặt cân bằng cho hệ không ổn định
2.3.3 Thuật toán chặt cân bằng trực tiếp của Zhou
Xét hệ thống không ổn định được mô tả trong (1.1) và biểu diễn ở dạng tối
thiểu.
Thuật toán 2.3.3: Thuật toán chặt cân bằng trực tiếp của Zhou [15]
Đầu vào: Hệ (A B C, , ) được mơ tả trong (1.1)
Bước 1: Tính X và Y phần ổn định của hệ phương trình (2.9) và (2.10)
Bước 2: Đặt T
F = −B X và T L= −YC .
Bước 3: Tính Gramian điều khiển P và Gramian quan sát Q bằng cách giải hệ phương trình (2.11), (2.12).
Bước 4: Phân tích Cholesky ma trận T
Bước 5: Phân tích SVD ma trận T T 2
RQR =U ΣU, trong đó U là ma trận unitary
( T T ), ( 1, ,...,1 )
n
U U =UU =I Σ =diag σ σ σ , với σ1≥σ1≥...≥σn ≥0 là các giá trị
Hankel suy biến của hệ.
Bước 6: Tính ma trận T không suy biến
1 T 1/2
T− =R UΣ−
Bước 7: Tính (Aubal,Bubal,Cubal)=(T AT T A CT−1 , −1 , )
Bước 8: Chọn số bậc cần rút gọn r sao cho r<n.
Bước 9: Biểu diễn (Aubal,Bubal,Cubal) ở dạng khối nhau sau
[ ]
11 12 1
1 2
21 22 2
, ,
ubal ubal ubal
A A B A B C C C A A B = = = trong đó 11 rxr, 1 rxp, 1 qxr A ∈R B ∈R C ∈R . Đầu ra: Hệ rút gọn (A B C11, ,1 1).
Hệ rút gọn (A B C11, ,1 1) thu được từ Thuật tốn 2.3.3 có các tính chất sau: (i) Ma trận A11 là ma trận bền (ổn định) nếu ma trận A ổn định
(ii) Gramian điều khiển P1 và Gramian quan sát Q1 của hệ rút gọn
(A B C11, ,1 1) có dạng sau:
1 1 1: ( , ,..., ).1 2 r
P =Q = Σ =diag σ σ σ
Nhận xét: Tính chất (ii) của Định lý 2.4.3.2 cho nghĩa rút gọn (A B C11, ,1 1) giữ lại r
giá trị suy biến Hankel quan trọng nhất của hệ ban đầu là ( , ,..., )σ σ1 2 σr .