CHƯƠNG 2 THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MƠ HÌNH
3.5 Kết luận chương 3
Mơ hình hóa xe hai bánh tự cân bằng cho thấy đây là đối tượng phi tuyến và
có một số tham số của xe hai bánh tự cân bằng là bất định do đó để đảm bảo yêu
cầu điều khiển ổn định xe hai bánh thì điều khiển bền vững RH∞ là thích hợp cho
hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh.
Thiết kế bộ điều khiển bền vững cho xe hai bánh thu được bộ điều khiển bậc 15. Để nâng cao chất lượng bộ điều khiển cần phải thực hiện giảm bậc bộ điều
khiển để mã chương trình trở lên đơn giản hơn, giảm thời gian xử lý, tăng tốc độ
đáp ứng mà vẫn thoả mãn được yêu cầu ổn định bền vững của hệ thống.
Thực hiện giảm bậc bộ điều khiển theo thuật toán chặt cân bằng trực tiếp và gián tiếp cho thấy: Có thể sử dụng bộ điều khiển bậc 5 theo thuật toán chặt cân bằng gián tiếp, bộ điều khiển bậc 5, bậc 4, bậc 3, bậc 2 theo thuật toán chặt cân bằng trực tiếp để điều khiển cân bằng xe hai bánh.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ A. KẾT LUẬN
Luận văn đã nghiên cứu và giải quyết được những nội dung sau:
1. Mơ hình giảm hay giảm bậc mơ hình là một thuật tốn để tìm một hệ bậc thấp
hơn so với hệ gốc dạng hệ phương trình vi phân thường (ODEs – ordinary differential equations). Ý tưởng chính của thuật tốn là chuyển véctơ trạng thái bậc cao thành một véctơ trạng thái bậc thấp trong không gian trạng thái. Để giải quyết bài tốn giảm bậc mơ hình có rất nhiều thuật toán được đề xuất tuy nhiên thuật toán
giảm bậc đáp ứng mọi yêu cầu, chưa tồn tại. Mỗi phương pháp đều có những ưu
nhược điểm riêng và cần sử dụng theo một nhu cầu thích hợp.
2. Ý tưởng của thuật toán chặt cân bằng là tìm một phép biến đổi khơng suy biến T
để chéo hóa đồng thời hai ma trận Gramian điều khiển P và ma trận Gramian quan
sát Q sau đó áp dụng kỹ thuật chặt (tức là bỏ đi những biến không quan trọng), để
thu được hệ giảm bậc.
3. Thuật toán chặt cân bằng ban đầu chỉ áp dụng cho hệ ổn định, sau đó được mở
rộng để có thể giảm bậc cho hệ khơng ổn định theo hai hướng: Giảm bậc trực tiếp hệ không ổn định và giảm bậc gián tiếp hệ không ổn định
4. Xây dựng được hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh theo thuật toán điều
khiển định dạng H∞ và thu được bộ điều khiển bậc 15. Bộ điều khiển này có bậc cao nến gây khó khăn cho việc ứng dụng bộ điều khiển này trong thực tế điều khiển, do
đó cần phải giảm bậc bộ điều khiển gốc bậc 15.
5. Áp dụng thuật toán chặt cân bằng để giảm bậc bộ điều khiển cân bằng xe hai
bánh cho thấy: Bộ điều khiển bậc 5, bậc 4 theo thuật tốn chặt cân bằng gián tiếp có
thể thay thế được bộ điều khiển bậc 15; Bộ điều khiển bậc 5, bậc 4, bậc 3, bậc 2
theo thuật toán chặt cân bằng trực tiếp có thể thay thế bộ điều khiển bậc 15.
6. Sử dụng các bộ điều khiển giảm bậc theo thuật toán chặt cân bằng để điều khiển xe hai bánh cho thấy: Bộ điều khiển bậc 5 theo thuật toán chặt cân bằng gián tiếp có
thể điều khiển cân bằng xe hai bánh đảm báo chất lượng điều khiển tương đương bộ
điều khiển bậc 15. Bộ điều khiển bậc 4 theo thuật toán chặt cân bằng gián tiếp
khơng có khả năng điều khiển cân bằng xe hai bánh. Bộ điều khiển bậc 5 theo thuật
toán chặt cân bằng trực tiếp có thể điều khiển cân bằng xe hai bánh đảm bảo chất
lượng điều khiển hoàn toàn tương tự bộ điều khiển bậc 15. Bộ điều khiển bậc 4, bậc
3, bậc 2 theo thuật toán chặt cân bằng trực tiếp có thể điều khiển cân bằng xe hai
bánh đảm bảo chất lượng yêu cầu – có sai lệch có với đáp ứng của bộ điều khiển
bậc 15. Việc thay thế bộ điều khiển bậc thấp cho bộ điều khiển bậc 15 rất có ý nghĩa trong thực tiễn vì giải pháp thiết kế này đã giảm được kích thước bộ điều khiển
cũng như làm việc thiết kế thực bộ điều khiển trở nên dễ dàng hơn.
7. Các kết quả mơ phỏng thực thể hiện tính đúng đắn của thuật toán điều khiển cân bằng xe hai bánh theo thuật toán định dạng H∞ cũng như thuật toán chặt cân bằng.
B. KIẾN NGHỊ
1. Cần nghiên cứu một số phương pháp khác trong việc giảm bậc bộ điều khiển, có so sánh với phương pháp giảm bậc theo thuật toán chặt cân bằng.
2. Cẩn nghiên cứu thiết kế hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh theo các
phương pháp điều khiển khác để so sánh với phương pháp thiết kế theo định dạng
H∞.
3. Cần tiến hành nhiều thí nghiệm thực để khẳng định tính đúng đắn của thuật toán
điều khiển theo định dạng H∞.cũng như thuật toán chặt cân bằng và đưa vào ứng dụng trong thực tiễn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] A.C. Antoulas. Approximation of Large-Scale Dynamical Systems.
Philadelphia: SIAM, 2005.
[2] A.C. Antoulas, D.C. Sorensen, S. Gugercin: A Survey of Model Reduction
Methods for Large-scale Systems, Structured Matrices in Mathematics,
Computer Science, and Engineering, AMS, 2001, pp. 193 – 219.
[3] Al-Saggaf, U. M., Model reduction for discrete unstable systems based on generalized normal representations,Int. J. Control, 55(2), 431- 443 (1992) [4] Aoki M., Control of large scale dynamic system by aggregation, IEEE Trans
Auto. Contr., AC-13, 246-235, 1968.
[5] Bistritz Y. and Lanholz G., Model reduction by Chebyshev polynomial
techniques, IEEE Trans. Auto. Contr., AC-24, 741-747, 1979.
[6] Chiu, T., Model reduction by the low-frequency approximation balancing
method for unstable systems’,IEEE Trans.Automat. Control, AC-41(7), 995-
997 (1996).
[7] Đào Huy Du, Giảm bậc hệ thống xử lý tín hiệu số và ứng dụng trong viễn thông, Thisis, 2012
[8] DEEPAK KUMAR, Dr. J. P. TIWARI, Dr. S. K. NAGAR, REDUCTION OF
LARGE SCALE SYSTEMS BY EXTENDED BALANCED, International Journal
of Engineering Science and Technology (IJEST) (Volume 3 Issue 4 April 2011) [9] E.A. Jonckheere, L.M. Silverman: A New Set of Invariants for Linear System –
Application to Reduced Order Compensator Design, IEEE Transactions on
Automatic Control, Vol. 28, No. 10, Oct. 1983, pp. 953 – 964.
[10] Fatmawati, R. Saragih, R. Bambang and Y. Soeharyadi, Balanced truncation
for unstable infinite dimensional systems using reciprocal transformation, Int. Journal of Control, Automation, and Systems, 9 (2011), 249-257.
[11] Fernando K. V. and Nicholson H., Singular perturbational model reduction of
balanced system, IEEE Trans. Auto. Contr., AC-27, 466-468, 1982.
[12] Gibarillo G. and Lees F. P., The reduction of complex transfer function models
to simple models using the method of moments, Cher. Eng. Science, 24, 85-93,
1966.
[13] Heike Faßbender and Peter Benner, Passivity Preserving Model Reduction via
a Structured Lanczos Method, Proceedings of the 2006 IEEE Conference on
Computer Aided Control Systems Design Munich, Germany, October 4-6, 2006 [14] Kenney, C. and G. Hewer, Necessary and su¦cient conditions for balancing
unstable systems,IEEE Trans.Automat.Control, AC-32(2), 157Ð160 (1987). [15] Kemin Zhou, Gregory Salomon and Eva Wu, Balanced realization and model
reduction for unstable systems, Int. J. Robust Nonlinear Control, 9, 183-198 (1999)
[16] K. HENRIK A. OLSSON. Model Order Reduction with Rational Krylov
Methods, Doctoral Thesis in Numerical Analysis Stockholm, Sweden 2005
[17] M. Green: A Relative Error Bound for Balanced Stochastic Truncation,IEEE
Transactions on Automatic Control, Vol. 33, No. 10, Oct. 1988, pp. 961 – 965. [18] Moore B. C., Principal component analysis in linear systems: Controllability,
observability, and model reduction , IEEE Trans. Auto. Contr., AC-26, 17-32,
1981.
[19 ]Nguyễn Doãn Phước (2009), Lý thuyết điều khiển nâng cao, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
[20] Nguyễn Ngọc San, Nhận dạng các hệ thống tuyến tính liên tục, NXB Khoa học Kỹ thuật 2006
[21] Sanash Y., Stable reduced-order models using Pade-type approximations,
[22] J. Rommes, Methods for eigenvalue problems with applications in model order
reduction, PhD thesis, Utrecht University, 2007.
[23] ROMMES, J., MARTINS, N., Efficient computation of multivariable transfer
function dominant poles using subspace acceleration. UU Preprint 1344, 2006,
IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 21, Issue 4, Nov. 2006, pp. 1471-1483.
[24] ROMMES, J., SLEIJPEN,G.L.G., Convergence of the dominant pole
algorithm and Rayleigh quotient iteration, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Vol. 30, Issue 1, 2008, pp. 346-363
[25] J.-R. Li and J. White. Reduction of large circuit models via low rank approximate Gramians. Int. J. Appl. Math. Comp. Sci., 11(5):1151– 1171,
2001.
[26] P.C. Opdenacker, E.A. Jonckheere: A Contraction Mapping Preserving
Balanced Reduction Scheme and its Infinity Norm Error Bounds, IEEE
Transactions on Circuits and Systems, Vol. 35, No. 2, Feb. 1988, pp. 184 – 189. [27] Sannuti P. and Kokotovic S., Near optimum design of linear systems using
singgular perturbation method, IEEE Trans, Auto. Contr., AC-14, 15-21, 1969
[28] Roberd Saragih, Fidya Indah Dewanti, Model Reduction of Bilinear System Using Balanced Singular Perturbation, Computer Applications for Security,
Control and System Engineering Communications in Computer and Information Science Volume 339, 2012, pp 198-204
[29] Takayuki Ishizaki, Henrik Sandberg, Karl Henrik Johansson, Kenji Kashima, Jun-ichi Imura, Kazuyuki Aihara: Singular Perturbation Approximation of
Semistable Linear Systems, Proc. of 2013 European Control Conference,
pp.4508-4513, 2013
[30] Therapos, C. P., Balancing transformations for unstable nonminimal linear systems,IEEE Trans. Automat Control, 34(4), 455-457 (1989).
[31] U.B. Desai, D. Pal: A Transformation Approach to Stochastic Model Reduction, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 29, No. 12, Dec.
1984, pp. 1097 – 1100.
[32] Vũ Ngọc Kiên, Nghiên cứu thuật toán giảm bậc mơ hình và ứng dụng cho bài
tốn điều khiển, Thisis, 2015
[33] Yao-Lin Jiang& Zhi-Hua Xiao, Arnoldi-based model reduction for fractional order linear systems, International Journal of Systems Science, 2013
[34] Y. Liu and B. D. O. Anderson, “Singular perturbation approximation of
balanced systems,” in 28th IEEE Conference on Decision and Control, 1989,
pp. 1355–1360.
[35] W. Gawronski, J.N. Juang: Model Reduction in Limited Timeand Frequency Intervals, International Journal of Systems Science, Vol. 21, No. 2, Feb. 1990,