3 Mơ hình thị trường chứng khốn với thời gian liên tục
3.1.3 Quá trình khuếch tán
Cho {X(t)} là một quá trình Markov thời gian liên tục xác định trên tập số thực R, và xét số gia ∆X(t) =X(t+ ∆t)−X(t), ở đó ∆t >0 đủ nhỏ. Theo tính chất Markov, phân bố của ∆X(t) chỉ phụ thuộc vào giá trị của X(t) và t. Định nghĩa 3.1.4. Một quá trình Markov với thời gian liên tục {X(t)}được gọi là q trình khuếch tán nếu nó có các quỹ đạo liên tục và tồn tại các giới hạn
µ(t, x) = lim ∆t→0 1 ∆tE[∆X(t)|X(t) = x] σ2(t, x) = lim ∆t→0 1 ∆tE {∆X(t)}2 |X(t) = x
với σ(t, x)6= 0. Hàm µ(t, x) gọi là hàm dịch chuyển và σ(t, x) gọi là hàm khuếch tán. Nếu hai hàm này khơng phụ thuộc vào t thì q trình khuếch tán được gọi là thuần nhất.
Chuyển động Brown X(t) = X(0) +µt+σz(t)là một q trình khuếch tán với µ(t, x) = µ, σ2(t, x) =σ2.
Ví dụ 3.1.2. Cho {X(t)} là chuyển động Brown với độ dịch chuyển µ và hệ số khuếch tán σ, xét quá trình {Y(t)} xác định bởi:
Y(t) = f(X(t)), t≥0,
với f(x) đủ trơn và tăng thực sự theo x. Quá trình {Y(t)} là quá trình khuếch tán thuần nhất với hàm dịch chuyển và hàm khuếch tán được tìm như sau: Cho X(t) =x, áp dụng khai triển Taylor ta có:
f(X(t+ ∆t))−f(x) = ∆X(t)f0(x) + {∆X(t)}2
2 f”(ξ),
với ξ thỏa mãn |ξ−x|<|X(t+ ∆t)−x|. Đặt Y(t) =y =f(x), ta thu được: µY(t)≡ lim ∆t→0 1 ∆tE[∆Y(t)|Y(t) =y] =µf0(x) + σ 2 2 f 00(x) σ2Y(y)≡ lim ∆t→0 1 ∆tE {∆Y(t)}2|Y(t) =y=σ2f0(x) 2
Nếu f(x) =ex thì µY(y) = µ+σ 2 2 y, σY2(y) = σ2y2.
Xét{X(t)} là một q trình khuếch tán thuần nhất với hàm dịch chuyểnµ(x) và hàm khuếch tán σ(x). Chúng ta sẽ chỉ ra rằng hàm mật độ chuyển
u(t, x) = P {X(t)≤y |X(0) =x}, t ≥0, x, y ∈R, thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng
ut(t, x) = µ(x)ux(t, x) + 1 2σ
2(x)uxx(t, x) (3.2) với điều kiện biên
u(0+, x)≡ lim h→0+u(h, x) = 1 nếu x≤y, 0 nếu x > y. Để chứng minh kết quả này, ta cần tới mệnh đề sau:
Mệnh đề 3.1.1. Cho g(x) là một hàm liên tục và bị chặn trên R. Khi đó, hàm xác định bởi
u(t, x) = E[g(X(t))|X(0) =x], t ≥0, (3.3) thỏa mãn (3.2) với điều kiện biên
u(0+, x) = g(x), x∈R. (3.4) Chứng minh. Xét u(t, X(∆t)) với ∆t > 0 đủ nhỏ. Giả sử hàm u(t, x) đủ trơn, X(0) =x, ta có khai triển Taylor
u(t, X(∆t)) =u(t, x) +ux(t, x)∆X(t) + {∆X(t)}2
2 uxx(t, x) +o(∆t). (3.5) Mặt khác:
u(t+ ∆t, x) =E[E[g(X(t+ ∆t))|X(∆t)]|X(0) =x]
Từ (3.5),(3.6) ta có:
u(t+ ∆t, x) = u(t, x) +ux(t, x)E[∆X(t)|X(0) =x] +1 2uxx(t, x)E {∆X(t)}2|X(0) =x+o(∆t) Do đó: u(t+ ∆t, x)−u(t, x) ∆t =ux(t, x) 1 ∆tE[∆X(t)|X(0) =x] + 1 2uxx(t, x) 1 ∆tE {∆X(t)}2 |X(0) =x+o(∆t) ∆t Cho ∆t→0 ta thu được phương trình (3.2)
Trở lại vấn đề trước, ta xét hàm gn(x) = 1 nếu x≤y, e−n(x−y) nếu x > y.
gn(x)liên tục, bị chặn và hội tụ về hàm g(x) = 1{x≤y} khin → ∞. Áp dụng mệnh
đề trên với hàm g(x) = 1{x≤y} ta được điều cần chứng minh.
Tiếp theo, ta xét quá trình khuếch tán thuần nhất {X(t)} với không gian trạng thái R∪ {κ}, với κ6∈R ký hiệu trạng thái hấp thụ. Quá trình khuếch tán đi vào trạng thái{κ} chỉ khi nó bị diệt vong. Gọiζ là thời điểm diệt vong (killing time). Tốc độ diệt vong (killing rate) k(x) khi X(t) = x được xác định bởi:
k(x) = lim h→0
1
hP {t < ζ ≤t+h|X(t) =x}, x∈R. Cho g(x) là một hàm liên tục và bị chặn trên R∪ {κ}, xét
u(t, x) =Eg(X(t))1{ζ>t}|X(0) =x, t≥0, x∈R. (3.7) Nếu g(x) biểu thị dòng tiền khi X(t) =x thì hàm u(t, x) là dịng tiền kỳ vọng ở thời điểm t với điều kiện {ζ > t} khi quá trình bắt đầu từ X(0) =x. Hàm u(t, x) thỏa mãn phương trình
ut(t, x) = µ(x)ux(t, x) + 1 2σ
2
với µ(x) là hàm dịch chuyển và σ(x) là hàm khuếch tán của q trình khuếch tán {X(t)}.
Ngồi ra, hàm u(t, x) trong (3.7) có thể được hiểu như sau: Gọi k(x) và g(x) lần lượt là lãi suất giao ngay và dịng tiền khi X(t) = x. Cho q trình khuếch tán {X(t)} không bị diệt vong, xét
u(t, x) = Ehe−R0tk(X(s))dsg(X(t))
X(0) =xi, t ≥0. (3.9) Hàm u(t, x) là dòng tiền chiết khấu kỳ vọng ở thời điểm t khi X(0) =x và hàm u(t, x)thỏa mãn (3.8). Điều này có nghĩa là lãi suất đóng vai trị như tốc độ diệt vong.
Ví dụ 3.1.3. Giả sử khơng gian trạng thái của một q trình khuếch tán khơng bị diệt vong {X(t)} là tập số thực dương và xét trường hợp g(x) = 1, k(x) = x trong (3.9). Khi đó, ta có: u(t, x) =E exp − Z t 0 X(s)ds X(0) =x , t ≥0,
với x >0. Nếu X(t) là lãi suất giao ngay thì u(t, x) là giá ở thời điểm t của trái phiếu chiết khấu khơng bị mất vì phá sản khi X(0) = x. Từ (3.8), u(t, x) thỏa mãn phương trình
ut(t, x) = µ(x)ux(t, x) + 1 2σ
2(x)uxx(t, x)−xu(t, x)
với điều kiện biên u(0+, x) = 1 vì giả thiết trái phiếu chiết khấu trả mệnh giá F = 1 vào lúc đáo hạn.
Ví dụ 3.1.4. Chor là một số dương, xét chuyển động Brown{X(t)}với độ dịch chuyển r−σ2/2 và hệ số khuếch tán σ. Gọi S(t) = SeX(t), t ≥ 0 với S(0) = S và giả sử g(x) ={x−K}+ và k(x) = r. Xét hàm
Từ ví dụ 3.1.2, q trình {S(t)} là một q trình khuếch tán với µ(t, S) = rS và σ2(t, S) =σ2S2. Hàm u(t, x) thỏa mãn phương trình
ut(t, S) =rSuS(t, S) + σ
2S2
2 uSS(t, S)−ru(t, S) với điều kiện biên u(0+, x) ={x−K}+.