3 Mơ hình thị trường chứng khốn với thời gian liên tục
3.1.7 Công thức Ito
3.2.4 Phương pháp trung hòa rủi ro
Giả sử một thị trường chứng khốn gồm có cổ phiếu rủi ro có giá S(t) ở thời điểm t và chứng khốn khơng rủi ro là tài khoản tiền tệ B(t). Gọi {z(t)} là chuyển động Brown tiêu chuẩn trên không gian xác suất (Ω,F, P) và giả sử bộ lọc {Ft,0≤t≤T} được sinh bởi {z(t)}. Gọi r(t) là lãi suất giao ngay tức thời ở
thời điểm t và giả sử rằng {r(t)} là một q trình khơng âm, thích nghi với bộ lọc {Ft}. Tài khoản tiền tệ B(t) được xác định bởi
dB(t) = r(t)B(t)dt, 0≤t ≤T, (3.31) với B(0) = 1. Quá trình giá cổ phiếu {S(t)} dưới độ đo xác suất P thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên
dS = [µ(t)S−δ(t)]dt+σ(t)Sdz, 0≤t≤T, (3.32) ở đó{σ(t)}là một q trình ngẫu nhiên dương thích nghi với bộ lọc và thỏa mãn RT
0 E[σ2(t)]dt <∞, còn δ(t) là tỷ lệ cổ tức ở thời điểmt. Giả thiết rằng q trình
{δ(t)} thích nghi với bộ lọc và thỏa mãn R0T E[|δ(t)|]dt < ∞. Như phần trước đã
biết lợi suất trung bình µ(t) khơng ảnh hưởng tới định giá sản phẩm phái sinh. Trong phần này chúng ta giả thiết phương trình (3.32) có nghiệm khơng âm, bình phương khả tích.
Xét một tài sản phái sinh kiểu châu Âu viết trên cổ phiếu với hàm thu hoạch h(x) và thời điểm đáo hạn T. Ký hiệu giá của phái sinh ở thời điểm t là C(t). Giả sử phái sinh được đáp ứng bởi một chiến lược đầu tư tự tài trợ gồm việc mua bán θ(t) đơn vị cổ phiếu cơ sở và b(t) đơn vị của tài khoản tiền tệ. Tức là:
C(t)≡b(t)B(t) +θ(t)S(t) =C(0) + Z t 0 b(u)dB(u) + Z t 0 θ(u)dG(u), (3.33) ở đó G(t) = S(t) +R0tδ(u)du,0 ≤ t ≤ T và C(T) = h(S(T)) vào lúc đáo hạn. Từ (3.32) suy ra:
dG=S[µ(t)dt+σ(t)dz], 0≤t≤T. (3.34) Chúng ta định nghĩa q trình {z∗(t)} bởi
Khi đó:
dG=S[r(t)dt+σ(t)dz∗], 0≤t≤T. (3.36) Gọi P∗ là độ đo xác suất làm cho quá trình {z∗(t)} là chuyển động Brown tiêu chuẩn. Sự tồn tại của một độ đo như vậy được đảm bảo bởi định lý Girsanov phát biểu ở dưới. Như ký hiệu trước đó, S∗(t) ≡ S(t)/B(t). Theo quy tắc chia Ito, từ (3.31),(3.32) và (3.35) ta có:
dS∗ =−δ∗(t)dt+σ(t)S∗dz∗, (3.37) ở đó δ∗(t) = δ(t)/B(t). Vì vậy, quá trình {S∗(t)} là martingale dướiP∗ nếu và chỉ nếu cổ phiếu trả không cổ tức (theo mệnh đề 3.1.6). Từ (3.31),(3.33),(3.34) ta có:
dC =r(t)Cdt+θ(t)σ(t)Sdz∗, 0≤t≤T. Theo cơng thức Ito ta có:
C∗(t) =C∗(0) + Z t
0
θ(u)σ(u)S∗(u)dz∗(u), 0≤t≤T. (3.38) Vì vậy, quá trình giá định danh {C∗(t)} là một martingale dưới P∗. Vào lúc đáo hạn T thì C(T) =h(S(T)). Do vậy, giá C(t) của phái sinh được cho bởi
C(t) =B(t)E∗ h(S(T)) B(T) Ft , 0≤t≤T, (3.39)
ở đó E∗ là ký hiệu kỳ vọng lấy theo độ đo xác suất P∗.
Tóm lại, để tính giá C(t) của phái sinh ở thời điểm t ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm một độ đo xác suất P∗ sao cho quá trình {z∗(t)} xác định bởi (3.35) là chuyển động Brown tiêu chuẩn.
2. Tính giá trị kỳ vọng (3.39) dưới P∗.
Phương pháp này dùng để định giá các chứng khoán phái sinh được gọi là phương pháp trung hòa rủi ro.
Bây giờ chúng ta phát biểu định lý Girsanov. Cho một quá trình {β(t)} thỏa mãn Eexp1 2 Z T 0 β2(u)du <∞. Đặt Y(T) = exp ( Z T 0 β(t)dz(t)− 1 2 Z T 0 β2(t)dt ) , và định nghĩa độ đo xác suất P
P(A) =E[1AY(T)], A∈ FT.
Mệnh đề 3.2.2. (Girsanov) Quá trình {z(t)} được định nghĩa bởi z(t) = z(t)−
Z t
0
β(u)du, 0≤t ≤T là một chuyển động Brown tiêu chuẩn dưới P.
Để tính tốn kỳ vọng (3.39), chúng ta cần xác định giá cổ phiếuS(t) dưới độ đo P∗. Từ (3.32) và (3.35) ta có:
dS= [r(t)S−δ(t)]dt+σ(t)Sdz∗, 0≤t ≤T, (3.40) ở đó{z∗(t)}là một chuyển động Brown tiêu chuẩn dướiP∗. Từ đó chúng ta thấy lợi suất trung bình của cổ phiếu S(t) dưới P∗ bằng với lợi suất trung bình của chứng khốn khơng rủi ro. Như vậy, dưới độ đo xác suất P∗, hai chứng khốn có cùng lợi suất trung bình trong khi độ biến động (tức là các rủi ro) là khác nhau.
Để tìm S(t) cần giải phương trình vi phân ngẫu nhiên (3.40). Trong mơ hình Black-Scholes xét trong phần trước, lãi suất khơng rủi ror và độ biến động σ là các hằng số dương thì S(t) =Sexp r− σ 2 2 t+σz∗(t) , 0≤t ≤T, (3.41) với S(0) =S. Kết quả sau đây rất hữu ích để tính giá trị kỳ vọng.
Mệnh đề 3.2.3. Giả sửσ(t)là một hàm tất định củat thỏa mãn Z T
0
σ2(t)dt <∞
và giả sử quá trình giá {S(t)} thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên dS =σ(t)Sdz, t≥0,
ở đó {z(t)} là chuyển động Brown tiêu chuẩn. Khi đó, S(t) = Sexp −ψ 2 2 + Z t 0 σ(u)dz(u) , ψ2 = Z t 0 σ2(u)du, và E{S(t)−K}+=SΦ(d)−KΦ(d−ψ), ở đó S(0) =S và d= ln[S/K] ψ + ψ 2, ψ >0.
Tiếp theo, chúng ta xét một số ví dụ áp dụng phương pháp trung hịa rủi ro để tính giá các chứng khốn phái sinh.
Ví dụ 3.2.2. (Quyền chọn phức hợp)Gọi {S(t)} là quá trình giá của một cổ phiếu, xét một chứng khoán phái sinh với thời điểm đáo hạn T viết trên cổ phiếu. Giá của chứng khoán phái sinh được cho bởi C(t) = f(t, S(t)) với f(t, S) là hàm trơn. Vì giá cổ phiếu cơ sở S(t) thay đổi theo thời gian nên giá chứng khoán phái sinh cũng thay đổi theo thời gian. Vì vậy, chứng khốn phái sinh có thể là một tài sản cơ sở đối với một chứng khoán phái sinh mới. Gọi h(x) là hàm thu hoạch của phái sinh mới với thời điểm đáo hạnτ < T. Từ phương pháp trung hịa rủi ro, phí của phái sinh mới được cho bởi
Cnew =E∗ h(f(τ, S(τ))) B(τ) , τ < T.
Nói riêng, nếu tài sản cơ sở là quyền chọn mua Black-Scholes và phái sinh mới cũng là một quyền chọn mua thì
Cnew =e−rτE∗{f(τ, S(τ))−L}+,
ở đó f(t, S) được cho bởi công thức Black-Scholes và {S(t)} được cho bởi (3.41) dưới độ đo xác suất trung hòa rủi ro P∗.
Ví dụ 3.2.3. (Giá định trước)Giả sử {S(t)} là quá trình giá của một chứng khốn khơng trả cổ tức và xét một hợp đồng ký kết trước với ngày đáo hạn T.
Ở thời điểm t < T, giá định trước FT(t) được xác định khi tham gia hợp đồng. Thu hoạch của hợp đồng vào ngày đáo hạn T được cho bởi
X =S(T)−FT(t).
Theo phương pháp trung hòa rủi ro, giá trị của hợp đồng ký kết ở thời điểm t được cho bởi
B(t)E∗ S(T)−FT(t) B(T) Ft , t < T,
và nó phải bằng 0. Mặt khác, do FT(t) là Ft-đo được và v(t, T) = B(t)/B(T) nên FT(t) = B(t) v(t, T)E ∗ S(T) B(T) Ft = S(t) v(t, T),
do quá trình giá định danh{S∗(t)} là một martingale dưới độ đo xác suất trung hòa rủi ro P∗.