10 So sánh bước cập nhật vector nghiệm của OMP và LARS trước và sau
2.1.4 Một số kết quả thực nghiệm
Sử dụng thuật tốn OMP trong bài tốn khơi phục tín hiệu ( tái tạo hình ảnh)
Để chứng minh hiệu quả của OMP, chúng ta tái tạo lại hình ảnh của một ảnh đa cấp xám từ các mẫu nén của chúng bằng cách sử dụng thuật toán OMP. Chúng ta sử dụng bức ảnh có kích thước(256×256)điểm ảnh (pixel) . Đầu tiên, chúng ta chia mỗi bức ảnh thành 1024 miếng vá, mỗi miếng vá có kích thước(8×8)điểm ảnh. Chúng ta tạo lại hình dáng mỗi miếng vá thành một vector có kích thước (64×1)như thể hiện trong hình 2. Mỗi vector được chuẩn hóa thơng qua việc chia phần tử của nó bằng giá trị lớn nhất tìm thấy trong hình 2.
Ma trậnAcó kích thướcn×mthu được bằng cách nhân hai ma trận: ma trận ngẫu nhiênφcó kích thướcn×mvà ma trận chuyển đổiψ có kích thướcn×m:
An×m =φn×m×ψn×m (2.1.13) Trong ví dụ thực nghiệm này chọnn = 32, m= 64. Ma trận ngẫu nhiênφđược tái tạo bằng cách sử dụng phân phối Gausisian, ma trận chuyển đổiψ được tái tạo bằng cách sử dụng biến đổi Cosine rời rạc (DCT)
Để có được vectory, ma trận ngẫu nhiênφ được nhân với mỗi miếng vá của bức ảnh:
Hình 2: Tái tạo lại một bản vá của một hình ảnh từ các mẫu nén của nó bằng cách sử dụng OMP
Vớipiđại diện cho miếng vá thứi, vài= 1,2, ...,1024.
Bây giờ, phương trình tuyến tính dưới xác định được biểu diễn như sau:
A×xi=yi (2.1.15) Trong đóxilà biểu diễn thưa của miếng vápiĐể có đượcxivới mỗii, chúng ta sử
dụng thuật tốn OMP với mỗi hệ phương trình (2.18) như trong hình 1. Sau đó, ma trận chuyển đổiψ được nhân vớixiđể nhận được miếng vá tái tạobpi:
b
pi=ψ×xi (2.1.16) Sau khi khôi phục lại tất cả các miếng vá, chúng ta tạo lại hình ảnh thu hồi được. Hình 2 cho thấy các hình ảnh tương ứng thu được.
Hình 3: Hình ảnh thu được sau khi khơi phục miếng vá
Sau đó, chúng ta tính tốn sai số bình phương trung bình (MSE) giữa miếng vá gốc và miếng vá tái tạo theo công thức:
M SEi= 1 64 64 X j=1 (pi(j)−pbi(j))2 (2.1.17)
Sau khi tính tốn sai số MSE cho tất cả 1024 miếng vá, chúng tơi tính sai số trung bình: M SE = 1 1024 1024 X M SEi (2.1.18)
Hiệu suất của thuật toán phụ thuộc vào giá trị của Peak Signal to Noise Ratio (PSNR) được tính bằng: P SN R= 10 log (M AX(x) M SE ) 10 (2.1.19)
Trong đó M AX(x) là phần tử lớn nhất có thể trong các miếng vá. Trong trường hợp nàyM AX(x) = 1vì các miếng vá của bức ảnh được chuẩn hóa.
Nếu một thuật tốn có PSNR cao, có nghĩa rằng nó có thể tái tạo thành cơng hình ảnh ban đầu với sai số nhỏ. Theo ví dụ trên. Ta tính đượcM SE= 0.0153
VàP SN R= 10 log 1 0.0153
10 = 18.1514
So sánh thời gian thực hiện thuật tốn OMP với phân tích QR và phân tích Cholesky
Bài tốn:
Tạo ma trận ngẫu nhiênA ∈R256×1024 bằng phép biến đổi Fourier rời rạc, vector
x ∈ R1024 có k = 50 các phần tử nhận giá trị khác 0 ở các vị trí ngẫu nhiên và các giá trị được sinh lần lượt theo các phân bố chuẩn..., các phần tử còn lại được đặt giá trị là 0. Chúng ta nhân ma trậnA với vectorxđể tính vector y∈ R256. Bài tốn khơi phục tín hiệu đặt ra như sau:
Input: Cho ma trậnA, vectory
Output: Khơi phục tín hiệu thưax∈R1024ban đầu
Chúng ta sử dụng thuật tốn OMP với phân tích QR và Cholesky cho bài tốn khơi phục tín hiệu với bộ dữ liệu trên, chúng ta thu được một số kết quả sau:Thời gian thực hiện của thuật tốn OMP với phân tích QR Với bộ dữ liệu trên ta khơi phục được tín hiệux ban đầu với sai số trung bìnhM SE = 0.0404và tổng thời gian thực hiện hếtT ime= 0.5543
Kết quả chi tiết xem trong hình sau:
Hình 4: Khơi phục tín hiệu dựa trên phân tích QR với giá trị của phần tử khác0 được sinh theo phân bố chuẩn 0 được sinh theo phân bố chuẩn
Thời gian thực hiện của thuật tốn OMP với phân tích Cholesky
Chúng ta dùng thuật tốn OMP dựa trên phân tích Cholesky, khơi phục được tín hiệu x ban đầu với sai số trung bình M SE = 0.0404, tổng thời gian thực hiện:T ime = 1.0217. Kết quả chi tiết mơ tả trong hình 5.
Hình 5: Khơi phục tín hiệu dựa trên phân tích Cholesky với giá trị của phần tử khác 0 được sinh theo phân bố chuẩn
Nhận xét:Để nhận được tín hiệu khơi phục x với cùng trung bình bình phương sai số, thời gian thực hiên thuật tốn OMP với phân tích QR nhanh hơn so với với phân tích Cholesky.
Sau đây là một số kết quả của thuật tốn OMP khơi phục tín hiệu dựa trên phân tích QR và Cholesky sinh bởi một số hàm.
Hình 6: Các phần tử khác 0 sinh theo phân phối chuẩn.
Hình 8: Các phần tử khác 0 sinh theo hàm dấu.