3 Bài toán điều khiển tối ưu trong mơ hình kinh tế
3.1.2 Điều kiện đạt tới sự cân bằng
Để đạt tới sự cân bằng trong mơ hình kinh tế với khoảng thời gian
n = 0,1, . . . , N ta phải tìm được hàm giá pn thỏa mãn sự cân bằng giữa cung và cầu sao cho lợi nhuận thu được cho nhà sản xuất là tối đa. Do đó ta đi đến khái niệm về sự cân bằng như sau:
Định nghĩa 3.1.1. Hệ (3.15) - (3.19) đạt tới sự cân bằng nếu với mỗi x0
và mỗi g thì hệ ln có nghiệm.
Để tìm được hàm giá pn thỏa mãn sự cân bằng giữa cung và cầu ta đi đến bài tốn tìm điều kiện đạt tới sự cân bằng cho hệ (3.15) - (3.19), tức là tìm điều kiện cho hệ (3.15) - (3.19) có nghiệm.
Điều kiện đạt tới sự cân bằng phụ thuộc vào ma trận C sau:
Định nghĩa 3.1.2. Ta gọi ma trận C = N X n=0 Φ(N + 1, n+ 1)BnTnBnTΦ(N + 1, n+ 1)T là ma trận kết thúc của hệ (3.15) - (3.19), trong đó Φ(N + 1, n+ 1) = AN. . . An+1, Φ(n, n) = I.
Định lý 3.1.3. Hệ (3.15) - (3.19) đạt tới sự cân bằng khi và chỉ khi ma trận LCLT là không suy biến.
Chứng minh. Ta có phương trình (3.16) có nghiệm được biểu diễn dưới dạng
λn = Φ(N + 1, n+ 1)TλN+1 + ¯c, (3.20) trong đó ¯c là vectơ hằng.
Nghiệm của phương trình (3.15) được biểu diễn dưới dạng
xN+1 =Φ(N + 1,0)x0 + N X n=0 Φ(N + 1, n+ 1)BnTnBnTλn+1 + ¯a, (3.21)
trong đó ¯a là vectơ hằng.
Thay phương trình (3.20) vào phương trình (3.21) ta được
xN+1 = N X n=0 Φ(N + 1, n+ 1)BnTnBnTΦ(N + 1, n+ 1)λN+1 + ¯b, trong đó ¯b là vectơ hằng.
Nhân cả hai vế phương trình trên với ma trận L và sử dụng phương trình (3.19) ta được
LxN+1 = LCLTv +L¯b,
tương đương
LCLTv = g −L¯b. (3.22) Theo Định lý Fredholm, do g ∈ Rq tùy ý nên điều kiện cần và đủ để phương trình (3.22) có nghiệm là ma trận LCLT không suy biến. Định lý được chứng minh.