3 Bài toán điều khiển tối ưu trong mơ hình kinh tế
3.2 Mơ hình mơ tả bởi phương trình sai phân suy biến
Bây giờ ta xét hệ thống sản xuất thông qua mơ hình biểu diễn dưới dạng phương trình sai phân suy biến sau:
Enxn+1 = Anxn−Bnun+an, n = 0, N , (3.23) với mục đích cực đại hàm mục tiêu
J =
N
X
n=0
(pTnun −cTnxn), (3.24) thỏa mãn điều kiện đầu
E−1x0 = z0, (3.25) và điều kiện cuối
LxN+1 = g, (3.26) trong đó L ∈ Rr×m, g ∈ Rr, rankL = r, g ∈ ImL.
Xét hàm cầu
Và điều kiện cân bằng: mỗi hàm giá pn được xác định bởi
un = vn. (3.28)
Với giả thiết phương trình (3.23)có chỉ số 1, rankEn = r và ma trận
E−1 ∈ Rm×m thỏa mãn S0∩kerE−1 = {0}. Ta chọn ma trận A−1 ∈ Rm×m
sao cho cặp ma trận {E−1, A−1} có chỉ số 1.
Bằng cách xây dựng tương tự như mục (3.1) ta thu được điều kiện cần để bài toán tối ưu là
Enxn+1 = Anxn +BnTnBnTλn+1−Bnen +an, (3.29)
En−1T λn = ATnλn+1 −cn, (3.30)
pn = BnTλn+1, (3.31)
E−1x0 = z0, LxN+1 = g, (3.32)
ENTλN+1 = LTv. (3.33) Bây giờ ta sẽ đưa ra điều kiện đạt tới sự cân bằng cho bài tốn được mơ tả bởi phương trình sai phân suy biến. Trước tiên ta định nghĩa ma trận kết thúc của hệ (3.29) - (3.33) như sau:
C =PN N−1 X n=0 ( N−n−1 Y i=0 G−1N−iAN−i)G−1k BkTkBkTP˜kb( N−k−1 Y i=0 G−1b,k+iATk+1+i) +GN−1BNTNBNT.
Định lý 3.2.1. Hệ (3.29) - (3.33) đạt tới sự cân bằng khi và chỉ khi ma trận LCL¯ T là khơng suy biến, trong đó C¯ = CP˜b
NG−1b,N. Chứng minh. Từ phương trình (3.33) ta có
ENTλN+1 = LTv.
Nhân G−1b,N vào bên trái hai vế của phương trình trên ta được
G−1b,NENTλN+1 = G−1b,NLTv,
Từ phương trình (1.34), ta thu được
λN+1 = ˜PNb PNb λN+1+UNQU˜ N−1−1G−1b,NcN
= ˜PNb G−1b,NLTv +UNQU˜ N−1−1G−1b,NcN.
Theo Định lý (1.2.15) ta suy ra nghiệm của phương trình (3.30) là
λn = ˜Pn−1b h( N−n Y i=0 G−1b,n−1+iATn+i)λN+1 + N−1 X j=n ( j−n Y i=0 G−1b,n−1+iATn+i)G−1b,jcj+1+ G−1b,n−1cni +Un−1QU˜ n−2−1 G−1b,n−2cn−1.
Từ điều kiện ban đầu ta có
E−1x0 = z0
⇔G−1−1E−1x0 = G−1−1z0 ⇔ P−1x0 = G−1−1z0.
Từ cơng thức (1.26) ta có nghiệm của phương trình (3.29) là
xN+1 =PNh( N Y i=0 G−1N−iAN−i)P−1x0 + N−1 X k=0 ( N−1−k Y i=0
G−1N−iAN−i)G−1k (BkTkBkTλk+1 −Bkek +ak)
+G−1N (BNTNBNTλN+1−BNeN +aN) i +QNxN+1. Suy ra xN+1 =PN hN−1 X k=0 ( N−1−k Y i=0 G−1N−iAN−i)G−1k (BkTkBkTP˜kb( N−k Y i=0 G−1b,k+iATk+1+i) +G−1N BNTNBNT)iλN+1 + ¯e+QNxN+1, (3.34) trong đó ¯e là vectơ hằng.
Từ điều kiện cuối LxN+1 = g, vì g ∈ ImL nên tồn tại xN+1 ∈ Rm sao cho xN+1 = L†g.
Do QN là phép chiếu lên kerEN nên PN = I − QN là phép chiếu vào imEN, suy ra rankPN = r.
Khi đó, ta đặt
α = LPNL†g ∈ Rr.
Ta nhân LPN vào bên trái hai vế của phương trình (3.34) ta được
LPNxN+1 = LCλN+1 + ˜e+LPNQNxN+1,
trong đó ˜e là vectơ hằng. Tương đương với
α = LCL¯ Tv + ˜e. (3.35) Vì hệ (3.29) - (3.33) có nghiệm với mọi g ∈ Rr nên α ∈ Rr tùy ý.
Vậy để phương trình (3.35) có nghiệm thì điều kiện cần và đủ là ma trận
Luận văn nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu cho hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn. Luận văn đã thu được một số kết quả mới, mở rộng kết quả của các tác giả D. J. Bender, A. J. Laub đối với hệ phương trình sai phân ẩn hệ số biến thiên cho bài tốn điều khiển tối ưu dạng tồn phương và mơ hình kinh tế của tác giả D. G. Luenberger cho hệ phương trình sai phân suy biến chỉ số 1. Các kết quả chính của luận văn là:
• Trình bày cơng thức nghiệm cho bài toán giá trị ban đầu và bài tốn thỏa mãn điều kiện cuối của phương trình sai phân ẩn chỉ số 1.
• Đưa ra cách giải bài tốn điều khiển tối ưu dạng tồn phương cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1.
• Đưa ra điều kiện cân bằng kinh tế giữa cung và cầu cho mơ hình đối với hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1.
Hướng nghiên cứu luận văn này có thể tiếp tục phát triển để có những kết quả trọn vẹn hơn. Các hướng nghiên cứu tiếp theo là
• Nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu rời rạc cho phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số lơn hơn 1.
• Nghiên cứu bài tốn điều khiển tối ưu với thời gian vơ hạn.
• Tiếp tục nghiên cứu các mơ hình thực tế cho phương trình sai phân ẩn tuyến tính.
[1] P. K. Anh, H. T. N. Yen (2006), "Floquet theorem for linear implicit nonautonomous difference systems",J. Math. Anal, Appl,Vol 321 (2), 921 - 929.
[2] P. K. Anh, N. H. Dư, L. C. Loi (2007), "Singular difference equations: An overview", Viet. J. Math, V.35(4), 339 - 372.
[3] P. K. Anh, N. H. Dư, L. C. Loi (2004),"Conections between implicit difference equations and differential - algebraic equations",Acta Math- ematica Vietnamica, 1, 23-39.
[4] P. K. Anh, D. S. Hoang (2006), "Stability of a class of singular difference equations", Int. J. Difference Eqns, 1, 181 - 193.
[5] D. J. Bender and A. J. Laub (1987), "The linear-quadratic optimal regulator for discriptor systems: discrete-time case", Automatica, 23. No. 1, 71-85.
[6] L. C. Loi (2013), "Subadjoint equation of index-1 linear singular difference equations", Viet. J. Math, V. 41(1), 89 - 96.
[7] L. C. Loi, N. H. Dư, P. K. Anh (2002), "On linear implicit non - autonomous systems of difference equations",J. Diff. Eq. Appl.8 (12): 1085-1105.
[8] D. G. Luenberger (1986), "Control of linear dynamic market systems", J. Econ. Dyn. Control 10, 339 - 351.
[9] A. P. Sage (1977), Optimum Systems Control, Prentice - Hall, Engle- wood Cliffs, New Jersey, 07632.