CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ MÃ MẠNG
2.1.2. Một số cấu trúc đại số
2.1.2.1. Nhóm: ,∗〈 〉
Nhóm G,∗〈 〉 là một tập hợp G gồm các phần tử với một phép tốn 2 ngơi, ký hiệu * (là một ánh xạ từ tập G × G → G) thỏa mãn các tính chất sau:
-Phần tử nghịch đảo: Với mỗi phần tử ∈ G tồn tại một phần tử−1, gọi là phần tử nghịch đảo của a, sao cho:−1 ∗ = ∗−1
= ;
-Tính kết hợp: ( ∗ ) ∗ = ∗ ( ∗ ) với ∀ , , ∈ G
Nếu ∗=∗ thì nhóm được gọi là nhóm giao hốn.
Ví dụ: Tập các số nguyên ℤ với phép tốn cộng (+) tạo nên một nhóm giao hốn với phần tử đơn vị là 0.
Nhóm G gọi là hữu hạn nếu như tập G có số lượng phần tử hữu hạn và trường hợp cịn lại gọi là vơ hạn.
Số lượng phần tử của tập hữu hạn G được gọi là bậc của G, được ký hiệu là |G|. Nếu H ∈ G và H,∗〈 〉 tạo nên một nhóm thì
H được gọi là nhóm con của G. Cấp
của H là ước của cấp của G.
2.1.2.2. Nhóm cyclic
Nói một cách đơn giản, nhóm có biểu diễn vành thì được gọi là nhóm vành. Nhóm G được gọi là nhóm cyclic, nếu như tồn tại phần tử ∈ G, sao cho đối
với ∀ ∈ tồn tại số nguyên ≥ 0, thỏa mãn điều kiện = . Phần tử a gọi là phần tử sinh của nhóm . Nếu nhóm G sinh ra bởi a, thì ký hiệu =< >.
Ví dụ: Xét nhóm nhân: ℤ∗
Ta có:
Ta có thể viết: ℤ11∗ = {2imod11}.
Phần tử được gọi là có cấp k nếu n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn ≡ 1mod .
Ở ví dụ trên ta có ord(2) = ord(8) = ord(7) = ord(9) = 10.
2.1.2.3. Vành: , +,∗〈〉
Vành R là một tập hợp các phần tử với hai phép tốn trong hai ngơi (Phép cộng (+), phép nhân (*)) thỏa mãn các tính chất sau:
-, +〈 〉R là một nhóm giao hốn đối với phép cộng. Phần tử đơn vị đối với phép cộng (khơng) được ký hiệu 0;
-,∗〈 〉R có tính phân phối đối với phép cộng:
∀ , ,∈R:∗( + )=∗+∗
(+)∗=∗+∗
- R,∗〈 〉 có tính kết hợp: ∀ , ,∈ R: ( ∗ ) ∗=∗ ( ∗ )
-Đối với phép * vành R phù hợp theo các tiên đề đóng kín, kết hợp. Phần tử đơn vị đối với phép nhân (đơn vị) được ký hiệu 1, với 1 ≠ 0.
Vành giao hốn là vành R trong đó phép nhân có tính chất giao hốn. Vành trong đó phép nhân có phần tử đơn vị được gọi là vành có đơn vị. Tập con A của R được gọi là vành con của R nếu chính A là một vành với hai phép cộng và nhân trên R.
2.1.2.4. Trường , +,∗〈〉
Nếu các phần tử khác không của vành tạo thành nhóm tương ứng với phép nhân thì gọi vành đó là trường [11, 63].
Trường F là một tập hợp các phần tử với hai phép tốn trong hai ngơi thỏa mãn:
-, +〈 〉F là một nhóm cộng;
-〈F∗,∗〉 là một nhóm đối với phép nhân.
Trong đó: F∗ = \{0}.
Ví dụ: Trường nhị phân GF(2): Trường này chỉ có hai phần tử 0 và 1.