Nếu ta coi thông tin cần truyền là các điểm của nhóm cộng E ( , ) trên đường
cong elliptic, thì ý tưởng thực hiện mã mạng ta có thể xây dựng một hệ thống CR như Hình
2.2.
Giả sử nút A muốn gửi thơng tin (là 1 điểm) ( , ) cho B, và B muốn gửi điểm ( , ) cho A. Thủ tục truyền được thực hiện như
sau:
Nút A, B, C chọn một đường cong elliptic theo dạng (2.30) với , thỏa mãn (2.31) và tính ( , )
+Giai đoạn 1: A phát ( , ) cho C
+Giai đoạn 2: B phát ( , ) cho C
+Giai đoạn 3: Nút C nhận thông tin ( , ), ( , ) và tính tổng:
( , )= ( , )+ ( , )
Và C phát quảng bá ( , ) cho bên A và B.
Nút A nhận ( , ) và tính:
(,)=(,)−(,)
Nút B nhận ( , ) và tính:
(,)=(,)−(,)
Ví dụ:
Xét đường cong EC: 13(1,1) với = 13; = 1; = 1.
2= 3 + + 1 ( 13)
Xét điều kiện tồn tại theo (2.23):
ℤ13∗.
Bảng 2.5. Các phần tử là thặng dư bậc hai củaZ13* .
1
2 1
Mỗi phần tử của 13 có hai căn bậc 2 (định lý 2.10):
(Y = yes, N = no; √ 2 = ( 1,2) Từ bảng 2.4, ta có: 13(1,1) = {(0,1), (0,12), (1,4), (1,9), (4,2), (4,11), (5,1), (5,12), (7,0), (8,1), (8,12), (10,6), (10,7), (11,2), (11,11), (12,5), (12,8), O} Với tổng số 18 phần tử: |13(1,1)| = 18 Chú ý::
(a)Với = 7 thì = 0, mặc dù = 0 không phải là thặng dư bậc hai nhưng nó 1 căn bậc hai đó là: √0 = 0.
(b)Điểm O có tọa độ (∞, ∞) đây là điểm vô cùng, thỏa mãn:
(1,4)
+Giai đoạn 2: B gửi (8, 12) cho C
+Giai đoạn 3: C tính ( , ) = (1,4) + (8,12) theo (2.24) và (2.25):
=
=(32−1−8)13=0
=[(−)−]
=[3(1 − 0) − 4]13
=−1 13 = 12
Sau đó C gửi (0,12) cho cả A và B.
Chú ý: trong nhóm nhân ℤ13∗ = {1,2,3, … ,11,12} có 7 cặp số nghịch đảo như
sau: (1,1);(2,7); (3,9); (4, 10); (5,8); (6,11); (12,12).
Có nghĩa là: 2 = 7−1 (và đương nhiên 7 = 2−1) vì 2.7 13 = 1, tương tự với các cặp số nghịch đảo khác.
- Nút A khôi phục bản tin:
(,)=(,)+[− (,)]
Theo tính chất của nhóm nhân:
Nếu (1,4) thì − (1, −4) hay − (1,9) , chú ý: −4 = 13 − 413 = 9
Tọa độ điểm (,) được bên A tính như sau:
9−12
=1−013=−3=10
=(2− − ) =(102−0−1) 13=8 =[ ( − )− ] =[10(0−8)−12] 13 = −92 13 = 12
Vậy A đã khôi phục được bản tin (8,12) được gửi từ B.
Tương tự, nút B khôi phục bản tin:
(,)=(,)+[− (,)]
Do (8,12) nên − (8, −12) hay − (8,1)
Tọa độ ( ,) được khôi phục tương tự, như sau:
1−12 =8−013=10 =(102−0−8)13=1 = [10(0 − 1) − 12]13 = −22 13 = 4 Nút B khơi phục chính xác (1,4) 2.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Các nghiên cứu trong chương 2 đưa ra được các đề xuất mơ hình thực hiện mã mạng trên các cấu trúc đại số cụ thể, đó là: nhóm cộng và/hoặc nhóm nhân trên vành số, trường số. Đặc biệt, từ các nghiên cứu về vành đa thức, vành đa thức có hai lớp kề cyclic và các ứng dụng tiềm năng, NCS cũng đã đề xuất xây dựng mơ hình mã mạng trên các vành đa thức và trường đa thức.
Các nghiên cứu đề xuất này là một hướng nghiên cứu tiềm năng và là cơ sở để áp dụng được nhiều cấu trúc đại số khác nhau cho hàm mã hóa trong hệ thống mã mạng.
Về tốc độ xử lý: Khi áp dụng các đề xuất có sử dụng phép cộng trên vành số, vành đa thức có thể nói gần tương đương với phép toán được sử dụng trong mã mạng thơng thường. Cịn khi sử dụng các phép nhân thì tốc độ xử lý sẽ chậm hơn.
Phần cuối của chương 2 là các nghiên cứu về cấu trúc đại số nhóm cộng các điểm trên đường cong elliptic trên trường hữu hạn và đề xuất xây dựng mã mạng trên nhóm cộng này. Đây chính là một hướng mở để tiếp tục nghiên cứu áp dụng các hệ mật tiên tiến vào mã mạng nhằm hướng tới xây dựng các mơ hình mã mạng an tồn và hiệu quả.
CHƯƠNG 3. MƠ HÌNH MÃ MẠNG AN TỒN
Trong Chương 3, nghiên cứu sinh tập trung nghiên cứu bài toán logarit rời rạc trên trường hữu hạn, hai hệ mật khóa công khai Omura-Massey và ElGamal kết hợp với đề xuất xây dựng mã mạng trên vành số, trương số ở chương 2 để đề xuất xây dựng một mơ hình mã mạng an toàn.
Kết quả nghiên cứu ở chương 3 được thể hiện tại Bài báo 5: (2021) Phạm Long Âu, Nguyễn Bình, Ngơ Đức Thiện, “Mã mạng an tồn dựa trên hai hệ mật Omura-Masey và Elgamal trên vành số”, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Thơng tin và Truyền thông, Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thơng, số 02 (CS.01)2021, ISSN 2525- 2224.
3.1. BÀI TỐN LOGARIT RỜI RẠC
3.1.1. Bài tốn logarit trên trường số thực R
+ Bài toán thuận: Hàm số = với , ∈ , việc tính tốn hàm mũ này có thể được thực hiện dễ dàng bằng thuật tốn bình phương và nhân.
+Bài tốn ngược: như ta đã biết phép tính ngược của hàm mũ chính là hàm logarit = log , việc tính tốn hàm ngược logarit này sẽ khó khăn hơn nhiều so với hàm thuận. Tuy nhiên, cả hai phép hãm mũ và logarit đều là các hàm đồng biến cho nên có thể xác định giá trị tương đối của hàm logarit được (như Hình 3.1).
1
0 1