- Pha thứ nhất: Truyền thông tin:
Nút C nhận thông tin 𝑎(𝑥) từ nút A và thông tin 𝑏(𝑥) từ nút B. 𝑎(𝑥), 𝑏(𝑥) ∈ ℤ2[𝑥] /(𝑥𝑛+ 1)
- Pha thứ hai: Tại nút C thực hiện phép tính:
𝑐(𝑥) = 𝑎(𝑥) + 𝑏(𝑥) (2.23)
sau đó truyền 𝑐(𝑥) cho cả nút A và nút B.
- Pha thứ ba: Tại Nút A và B khôi phục thông tin 𝑎(𝑥) và 𝑏(𝑥) sau khi giải mã 𝑐(𝑥):
Tại nút A: 𝑏(𝑥) = 𝑐(𝑥) − 𝑎(𝑥) Tại nút B: 𝑎(𝑥) = 𝑐(𝑥) − 𝑏(𝑥)
Chú ý: các phép cộng và trừ ở đây là cho các đa thức.
Ví dụ: Xét vành đa thức ℤ2[𝑥]/𝑥5+ 1, với 𝑛 = 5. Giả thiết:
𝑏(𝑥) = 1 + 𝑥2+ 𝑥4 ⟷ (024) Suy ra: 𝑐(𝑥) = 𝑎(𝑥) + 𝑏(𝑥) = 𝑥3+ 𝑥4 ⟷ (34)
Nút A và B khôi phục thông tin từ 𝑐(𝑥) bằng cách thực hiện phép tính: 𝑏(𝑥) = 𝑐(𝑥) − 𝑎(𝑥) = (34) − (023) = (024),
𝑎(𝑥) = 𝑐(𝑥) − 𝑏(𝑥) = (34) − (024) = (023)
Chú ý: Ký hiệu 𝑎(𝑥) = (023) là biểu diễn dạng số mũ của đa thức: 𝑎(𝑥) = 1 + 𝑥2+ 𝑥3, nó có nghĩa là: (023) ↔ 𝑥0 + 𝑥2+ 𝑥3 = 1 + 𝑥2+ 𝑥3. Tương tự với các đa thức khác.
Như vậy, chúng ta thấy phương pháp này hiệu quả như phương pháp của Ahlswere. Tuy nhiên, thơng tin của A, B và C được trình bày bởi các đa thức trong vành đa thức.
2.2.4.Mã mạng trên trường đa thức
Xét một đa thức nguyên thủy 𝑓(𝑥) có bậc 𝑚 với các hệ số trong GF(2), từ đó Z2[𝑥]/𝑓(𝑥) là một trường đa thức [62].
2.2.4.1.Mã mạng sử dụng phép nhân trên trường đa thức
Q trình mã mạng có thể được mơ tả như Hình 2.8 bên dưới:
Hình 2.8.Mã mạng trên trường đa thức
- Pha thứ nhất: Truyền thông tin
Trong đó, 𝑎(𝑥), 𝑏(𝑥) ∈ Z2[𝑥]/𝑓(𝑥); 𝑓(𝑥) là một đa thức nguyên thủy; deg𝑓(𝑥) = 𝑚; deg 𝑎(𝑥) < 𝑚; deg 𝑏(𝑥) < 𝑚.
- Pha thứ hai: Tại nút C thực hiện phép tính:
𝑐(𝑥) = 𝑎(𝑥). 𝑏(𝑥)𝑚𝑜𝑑 𝑓(𝑥) (2.24)
rồi sau đó phát quảng bá 𝑐(𝑥) tới cả nút A và B.
- Pha thứ ba: Tại nút A và B khôi phục được thông tin 𝑎(𝑥), 𝑏(𝑥) sau khi giải mã 𝑐(𝑥):
Tại nút A: 𝑏(𝑥) = 𝑐(𝑥). 𝑎−1(𝑥)𝑚𝑜𝑑 𝑓(𝑥) Tại nút B: 𝑎(𝑥) = 𝑐(𝑥). 𝑏−1(𝑥)𝑚𝑜𝑑 𝑓(𝑥)
Chú ý: 𝑎−1(𝑥) và 𝑏−1(𝑥) là đa thức nghịch đảo tương ứng của 𝑎(𝑥) và 𝑏(𝑥).
Ví dụ: Xét 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥2 + 𝑥5 ⟷ (025) với deg𝑓(𝑥) = 𝑚 = 5.
- Pha thứ nhất: Giả sử 𝑎(𝑥) = (023) và 𝑏(𝑥) = (024). Nút C nhận được cả 𝑎(𝑥) và 𝑏(𝑥). Sau đó chuyển sang pha 2.
- Pha thứ hai: Tại nút C thực hiện phép tính:
𝑐(𝑥) = 𝑎(𝑥). 𝑏(𝑥)𝑚𝑜𝑑𝑓(𝑥) = (023)(024) = (14) rồi sau đó phát quảng bả 𝑐(𝑥) tới cả nút A và B.
- Pha thứ ba:
Tại nút A khôi phục thông tin 𝑏(𝑥) từ 𝑐(𝑥):
𝑏(𝑥) = 𝑐(𝑥). 𝑎−1(𝑥)𝑚𝑜𝑑𝑓(𝑥) = (14)(0123) = (024) Tại nút B khôi phục thông tin 𝑎(𝑥) từ 𝑐(𝑥):
𝑎(𝑥) = 𝑐(𝑥). 𝑏−1(𝑥)𝑚𝑜𝑑𝑓(𝑥) = (014)(134) = (023)
Trong đó, 𝑎−1(𝑥) = (0123) và 𝑏−1(𝑥) = (134) là đa thức nghịch đảo tương ứng của 𝑎(𝑥) và 𝑏(𝑥).
2.2.4.2.Mã mạng Affine trên trường đa thức
Trong mơ hình mã mạng này, NCS sử dụng cả phép cộng và phép nhân đa thức trên trường đa thức để thực hiện mã mạng.