Dạy học phương pháp vectơ nhằm phát triển tư duy cho HSTHPT

M A B  I  a.

5. Một số kinh nghiệm về sử dụng phương pháp vectơ nhằm phát triển tư duy cho HSTHPT

5.1.2. Dạy học phương pháp vectơ nhằm phát triển tư duy cho HSTHPT

Dạy học để phát triển tư duy cho HS là mục đích của dạy học, nhằm tạo ra cho người học sinh có tính linh hoạt để tạo ra những người lao động đáp ứng được yêu cầu sự phát triển của xã hội. Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh là việc làm rất quan trọng và cần thiết trong quá trình dạy học, giáo dục học sinh. Phát triển tư duy sáng tạo sẽ giúp học sinh tự tin vào bản thân để không ngừng khám phá, tìm tòi, phát hiện cái mới; sáng tạo sẽ giúp học sinh chủ động tiếp thu kiến thức, có nghị lực và niềm tin để chinh phục những khó khăn trong học tập. Cao hơn tư duy sáng tạo sẽ giúp học sinh tìm ra con đường ngắn nhất, nhanh nhất để đạt thành công trong học tập, trong cuộc sống. Khái niệm tư duy được hiểu là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng. Tư duy có nhiều đặc điểm đặc trưng như: tính có vấn đề của tư duy, tính gián tiếp của tư duy, tính trừu tượng hóa-khái quát hóa, tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ, tư duy quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính. Đối với con người tư duy đóng vai trò vô cùng quan trọng vì tư duy giúp ích rất nhiều cho việc mở rộng giới hạn nhận thức; nâng cao khả năng nhìn nhận sâu sắc vào bản chất của sự vật, hiện tượng và tìm ra các mối quan hệ có tính qui luật giữa chúng với nhau. Bên cạnh đó, tư duy không chỉ giải quyết được những nhiệm vụ trước mắt mà còn có thể thấy được những nguyên nhân sâu xa, hậu quả của vấn đề do nắm được qui luật vận động của tự nhiên, xã hội và con người. Tư duy giúp ta vận dụng những kiến thức đã tích lũy được để giải quyết những vấn đề liên quan nhờ đó tiết kiệm được công sức. Nhờ tư duy, trình độ hiểu biết của con người cũng nâng cao hơn và làm việc có kết quả tốt hơn. Xuất phát từ đặc thù của bộ môn toán với sự khái quát và trừu tượng cao, sự liên kết liên tục các kiến thức toán học theo từng năm học, từng cấp học. Điều đó đòi hỏi học sinh không chỉ cần phải tích cực, chủ động tiếp thu, lĩnh hội kiến thức mới mà còn phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức đã học, biết kết nối những kiến thức cũ để chiếm lĩnh kiến thức mới… Vì lẽ đó việc đổi mới phương pháp dạy học trong dạy học môn Toán càng trở nên quan trọng, bức thiết và đó cũng chính là nhiệm vụ của những người giáo viên dạy Toán. Các thao tác tư duy cần chú trọng cho HS đó là:

+ Phân tích, tổng hơp: Phân tích là thao tác tư duy để phân chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các mặt, các thành phần khác nhau. Còn tổng hợp là các thao tác tư duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt, các thành phần đã tách rời nhờ sự phân tích.

+ So sánh, tương tự: So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau

giữa các đối tượng nhận thức. So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích, tổng hợp. Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu rút ra kết luận hai đối tượng đó giống nhau ở một số dấu hiệu khác.

+ Khái quát hóa, đặc biệt hóa: Khái quát hóa là thao tác tư duy nhằm hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính những liên hệ hay quan hệ chung giống nhau và những thuộc tính chung bản chất.

+ Trừu tượng hóa: Trừu tượng hóa là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ các thuộc tính, những liên hệ quan hệ thứ yếu không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho tư duy.

+ Phân tích ngược: Đứng trước bất kì bài toán nào, HS cần đặt câu hỏi tại sao đến các vấn đề liên quan đến bài toán đó để từ đó có thể phân tích và tìm ra cách giải nhanh nhất. Thường khi làm bài GV có thể hướng dẫn HS suy luận ngược để tìm ra lời giải. Trong sự phát triển tư duy ta cần chú ý đến tư duy sáng tạo. Tư duy sáng tạo gồm các thành phần: Tư duy mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo.. Trong quá trình dạy học giải toán bằng PP vectơ để phát triển tư duy cho HS, người GV cần chú ý các biện pháp sau đây:

Biện pháp 1: Kỹ thuật chèn điểm và chọn điểm đặc biệt

Ví dụ 1: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho A(-1; 0), B(0; 3), C(-3; -5). Tìm tọa độ

điểm M thuộc trục Ox sao cho 2MA3MB2MC nhỏ nhất.

Lời giải : Lấy điểm I thỏa mãn: 2IA3IB2IC0

11 1 2 3 2 2.( 1) 3.0 2.( 3) 8 ( 8; 19) 2 3 2 2.0 3.3 2.( 5) 19 A B C A B C x x x x I y y y y                          . Ta có:       2MA3MB2MC  2 IA IM 3 IBIM 2 ICIM  2IA3IB2ICIM IM 2MA 3MB 2MC

   nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I lên trục Ox. Vì vậy: M( 8; 0)

Nhận xét: Sau bài tập này GV có thể tổng quát cách chèn điểm và chọn điểm đối với bài toán sau: “ Cho các điểm A, B, C. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho: xMAyMBzMC đạt giá trị nhỏ nhất”. GV yêu cầu HS chọn điểm I đặc biệt sao cho: xIAyIBzIC0, khi đó:

     

xMAyMBzMC  x IA IM y IBIM z ICIM

(xIA yIB zIC) (x y z IM) (x y z IM)

        

Ví dụ 2:Cho tứ diện ABCD.

a) Tìm điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho biểu thức P 2MA3MCMD đạt giá trị nhỏ nhất.

b) Tìm điểm N trong không gian sao cho 2 2 2 2

X MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải. a) Ta có:

     

Bây giờ ta chọn điểm I cố định sao cho

2IA3ICID 0 2IA3(IAAC)IAAD 0 6IA3ACAD0.

Suy ra 1 1 .

2 6

AI  AC AD Biểu thức này chứng tỏ I luôn tồn tại và duy nhất. Khi đó 2MA3MCMD6MI P 6 MI 6MI.

Suy ra P nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất. Mà M thuộc đường thẳng AB nên MI nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I trên đường thẳng AB.

b) Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD, suy ra. GA GB GC GD   0.

Ta có 2 2  2 2 2 2 . . MA MA  GA GM GA  GM GA GM Tương tự, ta cũng có 2 2 2 2 2 2 2 . ; 2 . ; MB GB  GM GB GM MC GC  GM GC GM 2 2 2 2 . . MD GD  GM GD GM Suy ra 2 2 2 2   2 2 4 X GA GB GC GD  GM GA GB GC GD    GM 2 2 2 2 2 4 . GA GB GC GD GM      Vì 2 2 2 2

GA GB GC GD không thay đổi nên X nhỏ nhấtMG nhỏ nhất M G. Vậy M G là điểm cần tìm.

Nhận xét: Sau khi làm bài tập này, HS nhớ đến tính chất có liên quan đến độ dài vectơ và tích vô hướng. Để làm được bài tập này, HS cần phải nắm được kĩ năng “ chèn” điểm và chọn điểm đặc biệt đó là trọng tâm của tứ diện. GV có thể hướng dẫn HS cách chèn điểm này để giải bài toán tổng quát sau: “ Trong mặt phẳng cho n điểm: A1; A2….; An và n số thực k1; k2…….. kn. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d

sao cho: k MA1 1 k MA2 2 .... k MAn n đạt giá trị nhỏ nhất”.

Hướng dẫn: Đối với bài tập này, HS sẽ sử dụng biện pháp này để giải bài tập trên. Chọn điểm I sao cho: k IA1 1k IA2 2 .... k IAn n 0. Khi đó điểm I được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm Ai ứng với bộ số: k1; k2…….. kn. Ta có:

1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 .... ( .... ). .... ( .... ). .... ( .... ). ( .... ) n n n n n n n n n n k MA k MA k MA k k k MI k IA k IA k IA k k k MI k IA k IA k IA k k k MI k k k MI                           

Khi đó để k MA1 1k MA2 2 .... k MAn n đạt giá trị nhỏ nhất thì M là hình chiếu của I lên đường thẳng d. GV có thể thay đổi dự kiện bài toán đường thẳng d bởi đường tròn… sẽ có thêm bài toán mới cho HS rèn luyện.

Biện pháp 2: Kỹ thuật chọn hệ vectơ cơ sở

Để giải toán hình học bằng PP vectơ việc chọn hệ vectơ cơ sở là rất cần thiết. Thông thường đối với bài toán hình học phẳng ta chọn hệ vectơ cơ sở là các vectơ không cùng phương và chung điểm đầu, còn đối với bài toán hình học trong không gian ta thường chọn hệ vectơ cơ sở là ba vectơ không đồng phẳng và chung điểm đầu và nếu biết góc giữa các vectơ lại càng thuận lợi.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 2 . Lấy M N P, , lần lượt nằm trên ba cạnh BC CA AB, , sao cho: BM 2MC AC; 3AN AP; x. Tìm x để AM vuông góc vớiNP.

A. 56 6 x . B. x1 . C. 8 5 x . D. 7 6 x . Lời giải :

+ Bước 1 : Chọn hệ vectơ cơ sở : {A B A C; } uuur uuur

+ Bước 2 : Biến đổi các vectơ qua các vectơ cơ sở : Đặt AB b AC c       , ta có 0 . 2.2. 60 2 b c cos  Ta có 2 2  1  2 3 3 3 AM  ABBM  b BC b c b  b c   1 1 1 3 3 3 3 x x PN AN AP AC AB b c xb ac a a a           x P N M C B A

+ Bước 3: Chuyển sang ngôn ngữ vectơ: Ta có:

. 0 AM PNAM PN  b 2c3xb ac 0 2     2 3 .x b a b c. 6x b c. 2 .a c 0       3 2 2 2 3 3 .2 3 .2 2.2 0 2 x x       5 6 x  

Nhận xét: Khi giải trắc nghiệm, có thể kết hợp nhiều phương pháp giải. GV cần hướng dẫn cho HS khi giải bài. Bài tập này mức độ vận dụng, GV gọi HS khá lên bảng chữa bài. Nhìn vào đề ra thông thường HS không nghĩ ra sẽ dùng PP vectơ để giải vì lí do trong đề ra không xuất hiện yếu tố vectơ, tuy nhiên GV cần hướng dẫn HS xuất hiện giả thiết vectơ từ đó chuyển điều cần chứng minh sang ngôn ngữ vectơ. Ở bài tập này, HS sẽ nắm được thêm cách tìm điều kiện để hai đường thẳng vuông góc bằng PP vectơ. GV cho HS tổng quát kết quả bài toán sau:

Bài toán: Hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ khi

. 0

AB CD .

Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’.

Chứng minh rằng đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.

Lời giải:

+ Bước 1: Chọn hệ vectơ cơ sở: ABa AD, b AA, 'c. + Bước 2: Biến đổi các vectơ theo các vectơ cơ sở: Vì

G’ là trọng tâm của tứ diện BCC’D’ nên

 

1

' ' ' .

4

AG  ABACAC AD Vì G là trọng tâm của tứ diện A’D’MN nên:

a b M N C' D' B' A' D C B A   1 ' ' . 4 AG AA AD AMAN Từ đó: 1  ' ' ' ' ' ' 4 GG AG AG A BD CMC ND

 1 1 1 1 1 1 1 1 5 . 4 a c a c 2a c 2c 8 a c             

+ Bước 3: Chuyển sang ngôn ngữ vectơ:

Ta có 1 

' 5 ' .8 8

GG  ABAA Điều này chứng tỏ AB AA GG, ', ' đồng phẳng. Mặt khác G không thuộc mặt phẳng (ABB’A’) nên đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.

Biện pháp 3: Từ bài toán vectơ trong mặt phẳng phát triển bài toán tương tự trong không gian

Việc phát triển bài toán hình học phẳng sang hình hình học không gian rất quan trọng trong dạy học qua đó phát triển tư duy cho HS THPT. Các kết quả tổng quát hóa và tương tự hóa trong việc giải toán hình học là rất quan trọng.

Ví dụ 1 : Khi dạy học về sự biểu diễn vectơ theo hai vectơ không cùng phương ta xét bài toán sau trong mặt phẳng:

Bài toán 1:“ Cho điểm O cố định và đường thẳng d đi qua A và B cố định. Chứng minh rằng: điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi có số k sao cho:

(1 )