Không ít mô hình đã đề cập đến tr−ớc đây không thể đ−ợc sử dụng để tạo ra số liệu hàng tháng hay số liệu trong khoảng thời gian ngắn hơn. Ví dụ nh− mô hình phân đoạn Gaus, mô hình này trên cơ sở thừa nhận tính ổn định, không thể giữ lại sự thay đổi theo mùa. Một số quá trình tự hồi quy quan tâm đến sự thay đổi theo mùa bằng sự chuẩn hóa trên cơ sở số liệu hàng mùa hay hàng tháng. Các quá trình ARIMA có thể chuyển tới dao động mùa bằng cách sử dụng số liệu khác nhau. Nh−ng thông th−ờng các mô hình đ−a ra cách tính hiệu quả nhất cả đặc tr−ng hạn dài và đặc tr−ng hạn ngắn của quá trình thủy văn không giữ lại bảo toàn sự thay đổi theo mùa. Mô hình phân rã là một mô hình tự hồi quy tổng quát của tất cả các mô hình tự hồi quy khác là một tr−ờng hợp đặc biệt đ−ợc đ−a ra d−ới đây cho khả năng sử dụng đầu ra của mô hình bất kỳ làm đầu vào và đồng thời lập ra chuỗi phụ thuộc theo mùa mà tập hợp thành chuỗi ban đầu. Hơn nữa, mô hình có thể tự cung cấp để tách các chuỗi thành các sự kiện hàng tháng, hàng tuần, hàng ngày và hàng giờ. Cấu trúc của chuỗi đầu ra hoàn toàn dựa trên đặc điểm vật lý của tập số liệu ban dầu. Vì vậy mô hình không phải xử lý lại đ−ợc các đặc tr−ng vật lý của chuỗi số liệu dòng chảy hàng ngày. Tuy nhiên, nó có thể đ−ợc sử dụng khi lập số liệu l−ợng m−a hàng giờ.
Về cơ bản, mô hình tách chuỗi số liệu hàng năm thành các giá trị hàng mùa bằng cách sử dụng số liệu thống kê. Số liệu này chỉ ra phần nào của chuỗi số liệu hàng năm là thuộc về mỗi mùa. Nó đ−ợc tạo thành từ hai thành phần, một nhân tố quyết định, nó t−ơng xứng với t−ơng quan của mỗi mùa với các giá trị hàng năm và một nhân tố tùy ý.
Mô hình phân rã đ−a ra công thức (Valencia và Shacke, 1973)
) t ( BV ) t ( AX ) t ( Y = − (2.75)
trong đó: Y(t) là một véc tơ (n x 1) chiều của các giá trị hàng mùa của năm thứ t; n là số mùa trong 1 năm. (ví dụ nó sẽ bằng 12, nếu các giá trị hàng tháng đ−ợc lập ra). X(t) là giá trị của chuỗi số liệu hàng năm của năm thứ t, V(t) là 1 véc tơ (n x 1) chiều của các độ lệch chuẩn có phân bổ độc lập; A là một véc tơ (n x 1) chiều của các hệ số; và B là ma trận vuông cỡ n của các hệ số. Vectơ A và ma trận B tìm đ−ợc bằng cách phân tích số liệu lịch sử của N năm, số liệu này kết hợp với các giá trị hàng mùa → số liệu hàng năm.
1
XX
YXSˆ
Sˆ
Aˆ = − (2.76)
trong đó: Â là véc tơ −ớc l−ợng của véc tơ A; là ma trận chéo cỡ (n x 1) (t−ơng xứng với một ma trận t−ơng quan), giữa n quan trắc theo mùa, Y và các giá trị hàng năm, X lấy tổng theo N năm của số liệu quan trắc để xác định các hệ số. là ma trận nghịch đảo của tổng ma trận vuông của N năm quan trắc đ−ợc, các giá trị hàng năm X. YX Sˆ 1 XX Sˆ − XY XX YX YY T Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ B Bˆ = − −1 (2.77)
trong đó là −ớc l−ợng tốt nhất của ma trận B và ma trận chuyển của nó, là tổng của ma trận vuông theo N năm của n giá trị theo mùa Y. và nh− đã mô tả ở trên; và là tích của các ma trận giữa các giá trị hàng năm, X và n giá trị theo mùa Y đ−ợc lấy tổng trên N năm. Ma trận có thể tìm đ−ợc từ bằng các ph−ơng pháp phân tích thành phần (Matalas, 1967)
T B Bˆ YY Sˆ SˆYY 1 XX Sˆ − SˆXY Bˆ T B Bˆ
Valencia và Shaake (1973) chỉ ra rằng các ma trận tham số A và B duy trì liên tục giữa các giá trị hàng mùa và giá trị hàng năm.
∑ = = n 1 j ji i Y X (2.78)
Các quá trình (2.76) và (2.77) đ−ợc sử dụng với số liệu lịch sử để lần l−ợt giải các ma trận A và B. Các ma trận này đ−ợc dùng trong ph−ơng trình (2.75) cùng với một số l−ợng tùy ý mẫu và chuỗi số liệu để phát triển các giá trị hàng mùa cho chuỗi số liệu hàng năm. Các giá trị này có thể tiếp tục đ−ợc chia ra thành các dạng các chuỗi nối tiếp nhau của khoảng thời gian đ−ợc đ−a ra. Ví dụ: các giá trị l−ợng m−a hàng giờ.
Mô hình đã đ−ợc sử dụng lập số liệu l−ợng m−a ở Pueto Rico, cho việc lập ra số liệu dòng chảy sông ngòi ở Argentina và ở Hoa Kỳ và sử dụng cho việc lập ra nhu cầu n−ớc hàng giờ trong hệ thống phân bố n−ớc ở Boston.
Ph−ơng trình(2.75) đã mô tả cho mô hình phân rã cho một trạm đơn đã đ−ợc mở rộng bằng sự lập ra số liệu nhiều trạm (Tao và Delleur, 1976b). Trong tr−ờng hợp này các véc tơ X và Y lần l−ợt trở thành các ma trận của các giá trị hàng năm và giá trị hàng mùa, mở rộng với nhiều trạm nh− theo yêu cầu. Véc tơ A trở thành một ma trận của các hệ số phân rã chuỗi số liệu hàng năm của mỗi trạm thành các giá trị trung bình mùa. Ma trận B là một ma trận hệ số, ma trận này giữ lại t−ơng quan và t−ơng quan kết hợp cấu trúc của các véc tơ còn lại V. Tao và Delleur (1976b) chỉ ra rằng tính liên tục đ−ợc giữ lại của mô hình đúng nh− trong mô hình đầu trên của Valencia và Shaake (1973). Họ đã sử dụng mô hình cho sự phân rã của cả trạm đơn và nhiều trạm và đánh giá việc xây dựng mô hình liên quan tới việc giữ lại cả mô men cấp 1 và mô men cấp 2. Các ông đã tìm đ−ợc các mô men này hoàn toàn đ−ợc giữ lại. Tuy nhiên, đã tìm thấy đ−ợc sự sai lệch của 1 số liệu đ−ợc lập ra và khuynh h−ớng tạo lập đ−ợc xác định. Tao và Delleur cũng đã chỉ ra có thể sử dụng mô hình để lập ra số liệu dòng chảy hàng năm và hàng tháng từ số liệu m−a hàng năm nh− thế nào? Mejia và Rousselle (1976) đã biến đổi mô hình phân rã để duy trì các t−ơng quan cuả mùa cuối cùng của 1 năm với các mùa của năm tiếp theo.
Vì mô hình có thể sử dụng cả mô hình lập số liệu hàng năm bất kỳ nên nó có nhiều ứng dụng trong việc làm mô hình l−u vực sông. Đặc biệt quan tâm tới các đặc tr−ng dài hạn của chuỗi số liệu hàng năm. Nh−ợc điểm chính của mô hình là cần phải tính một số l−ợng lớn các thông số của các ma trận A và B.