tại các điểm nghiệm (xk) trong bước lặp thứ k.
Gill, Murray và Wright (1981) đưa ra một thuật toán chiếu Lagrange đơn giản hóa như sau:
Bước 0 Với k = 0, chon các đánh giá ban đầu của điểm nghiệm xk, các nhân tử Lagrange k
g
cho các ràng buộc đẳng thức g(x) và kˆ h
cho các ràng buộc bất đẳng thức có hiệu lực hˆ x . Đặt số các bước lặp lớn nhất bằng J.
Bước 1 Kiểm tra để xem liệu xk có thỏa mãn các điều kiện tối ưu hay không hoặc k > J hay không. Nếu thế, ngừng thuật toán.
Bước 2 Sử dụng xk và giải bài toán sau
Minimize k T kˆ T ˆ h T k kˆ T kˆg h g g h h g h g g h h f x g x h x A x A x với ràng buộc ˆ ˆ k k k k g g k k k h x x A g x A x A h x x
với mức an toàn gần đúng để đối phó với tính không bị chặn.
Bước 3 Đặt nghiệm tối ưu tìm thấy trong Bước 2 là xk+1 và cập nhật các nhân tử Lagrange cho k 1
g
và khˆ1. Đặt k = k + 1 và quay trở lại Bước 1.
Việc thực hiện thuật giải trên là có tính nhậy với nghiệm khởi tạo ban đầu. Sự thành công của thuật giải để hội tụ đến cực tiểu địa phương đòi hỏi rằng nghiệm khởi tạo ban đầu x0 và 0
tương đối gần với các giá trị tối ưu. Để cải thiện việc thực hiện mô hình, Gill, Murray và Wright (1981) trình bày các hướng tiếp cận để tìm một nghiệm khởi tạo tốt, một trong những cách tiếp cận
157
đó là thay thế hàm mục tiêu phương trình (4.8.1) trong Bước 1 bằng hàm số gia Lagrange, được trình bày trong Mục 4.7, với tham số pê-nan-ti 0.
4.9. Các chương trình máy tính quy hoạch phi tuyến tuyến
Mục này giới thiệu vắn tắt các chương trình máy tính quy hoạch phi tuyến được áp dụng để giải các bài toán quy hoạch phi tuyến. Đó là: (1) GRG2 (Generalized Reduced Gradient 2) được xây dựng bởi Lasdon và các đồng nghiệp của ông (Lasdon et al., 1978; Lasdon and Waren, 1978); (2) GINO (Liebman et al., 1986); (3) MINOS (Modular In-core Nonlinear Optimization System) được xây dựng bởi Murtagh và Saunders (1980, 1983); và (4) GAMS- MINOS.
Chương trình máy tính GRG2. Chương trình máy tính GRG2 ứng dụng tư tưởng căn bản của thuật toán gradient suy giảm tổng quát đã trình bày trong Mục 4.6. GRG2 yêu cầu rằng người sử dụng cung cấp một chương trình con GCOMP xác định hàm mục tiêu và các ràng buộc của bài toán quy hoạch phi tuyến (NLP-Nonlinear Programming Problem). Nó cung cấp cho người sử dụng lựa chọn việc cung cấp chương trình con chứa các đạo hàm của hàm mục tiêu và các ràng buộc. Nếu không cung cấp, các sai phân sẽ được xấp xỉ số học bằng hoặc sai phân hữu hạn tiến hoặc sai phân hữu hạn trung tâm.
GRG2 cung cấp một số phương án mà có thể được sử dụng để xác định hướng tìm kiếm. Chúng gồm có BFGS, phương pháp giả Newton và nhiều phương pháp gradient liên hợp khác. (xem trong Mục 4.4.3). Phương pháp mặc định là phương pháp BFGS.
Chương trình MINOS. MINOS là một chương trình máy tính trên ngôn ngữ Fortran được thiết kế để giải các bài toán tối ưu hóa quy mô lớn. Chương trình này giải một bài toán quy hoạch tuyến tính bằng việc thực thi phương pháp đơn hình căn bản. Khi một bài toán có một hàm mục tiêu phi tuyến với giả thiết là các ràng buộc tuyến tính, MINOS sử dụng thuật toán gradient suy giảm kết hợp với một thuật toán giả Newton. Trong trường hợp mà bài toán có các ràng buộc phi tuyến, thuật toán chiếu Lagrange (mục 4.8) được tiến hành. Tương tự như GRG2, MINOS đòi hỏi người sử dụng cung cấp chương trình con FUNOBJ để xác định hàm mục tiêu và gradient của nó. Chương trình con FUNOBJ cũng được cung cấp bởi người sử dụng để nhập vào các ràng buộc và các gradient của chúng.
GAMS-MINOS. GAMS-MINOS là một phiên bản vi tính kết nối GAMS và MINOS. Một minh họa file đầu vào GAMS-MINOS cho ví dụ 4.6.1 được chỉ ra trong hình 4.9.1. Những điểm tương đồng có thể được tìm thấy bằng việc so sánh file đầu vào này với file đầu vào GAMS cho lời giải quy hoạch tuyến tính của bài toán sản xuất, xử lý rác thải trong Phụ lục 3.A.
158
GINO. GINO (Liebman et al., 1986) là một bản của GRG2 cho máy vi tính.
tài liệu tham khảo
Buys,J.D.:Dual Algorithms for Constrained Optimization Problems, Ph.D.Thesis, University of Leiden, Netherlands,1972.
Cooper,L.L.and M.W.Cooper: Introduction to Dynamic Programming, Pergamon Press, Elmsford, N.Y..1981.
Chow, V.T.,D.R.Maidment and G.W.Tauxe: “Computer Time and
Memory Requirements for DP and DDDP in Water Resource System Analysis” Water Resources Research, vol.11, no. 5, pp.621-628, Oct.1971.
Denardo, E.V.: Dynamic Programming Theory and Applications, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J..1982.
Dennis, J.E. and R.B. Schnable: Numerical Methods for Unconstrained Optimization, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J..1983.
Dreyfus, S.and A.Law: The Art and Theory of Dynamic Programming, Academic Press, New York, 1977.
Edgar, T.F.and D.M.Himmelblau: Optimization of Chemical Processes, McGraw-Hill, Inc.,New York.1980,
Gill, P.E.W.Murray and M.H.Wright: Practical Optimization, Academic Press, London and New York, 1981.
Himmelblau, D.M.: Applied Nonliear Programming, McGraw-Hill, Inc..1972.
Lasdon, L.S.,R.L.Fox and M.W.Ratner: “Nonlinear optimization using the generalized reduced gradient method” Revue Francaise d’ Automatique, Informatique et Recherche Operationnelle, vol. 3, pp. 73-104, November 1974.
Lasdon, L.S.,A.D.Waren, A.Jain, and M.Ratner: “ Design and Testing of a Generalized Reduced Gradient Code for Nonlinear Programming” ACM Transations on Mathematical Soffware, vol. 4, pp.34-50, 1978. Lasdon, L.S. and A.D.Waren: “ Generalized Reduced Gradient Software
for Linearly and Nonlinearly Constrained Problems” in Design and Implementation of Optimization Software, H.J.Greenberg(ed.), Sijthoff and Noordhoff, pp. 363-397,1978.
Liebman, J.S.,L.S.Lasdon, L.Schrage and A.Waren: Modeling and Optimization with GINO, The Scientific Press, Palo Alto, Calif., 1986.
Luenberger, D.G.: Introduction to Linear and Nonlinear Programming, Addison-Wesley, Reading, Mass.,1984.
159
McCormick, G.P.: Nonlinear Programming: Theory, Algorithms, and Applications, Wisley, New York, 1983.
Murtaugh, B.A. and M.A. Saunders: “Large-Scale Linearly Constrained Optimization” Mathematical Programming, vol. 14, pp. 41-72, 1978. Murtaugh, B.A. and M.A.Saunders: “MINOS/AUGMENTED User’s
Manual” Syst.Optimiz. Lab, Tech.Rep. 80-14,51 pp.,Department of Operations Research, Stanford University, Stanford, Calif.,1980, Murtaugh,B.A. and M.A.Saunders: “MINOS 5.0 User’s Guide” Syst ,
Optimiz. Lab.Tech.Rep. 83-20, 118 pp., De partment of Operations Research, Stanford University, Stanford, Calif.,1983.
Rockafellar, R.T.: “ A Dual Approach to Solving Nonlinear Programming Problems by Unconstrained Optimization” Math, Prog..vol. 5, 354- 373, 1973a.
Rockafellar, R.T.: “The Multiplier Method of Hestenes and Powell Appliec to Convex Programming” SIAM, J.Control and Optimization, vol. 12, 268-285, 1973b.
Rockafellar, R.T.: “Augmented Lagrange Multiplier Functions and Duality in Nonconvex Programming” SIMA, J.Applied Math, vol. 12, 555-562, 1974.