138với các ràng buộc là:

x (4.4.2) Hướng tiếp cận này được nhìn nhận gián tiếp theo cảm nhận rằng nó rút

138với các ràng buộc là:

với các ràng buộc là: gi(x) = 0 i = 1, 2,..., m (4.5.1b) và j j j x x x j = 1, 2, ..., n (4.5.1c)

trong đó phương trình (4.5.1c) là một ràng buộc biên cho biến quyết định thứ j là xj với xjvà xj tương ứng là biên trên và biên dưới.

Trong một bài toán tối ưu hóa có ràng buộc, không gian khả thi không được mở rộng vô hạn như một bài toán không ràng buộc. Như một hệ quả, nghiệm thỏa mãn điều kiện tối ưu của bài toán tối ưu hóa có ràng buộc không bảo đảm là khả thi trong các bài toán ràng buộc. Nói cách khác, một tối ưu địa phương cho một bài toán có ràng buộc có thể được đặt trên biên hay một góc của không gian khả thi mà tại đó vector gradient không bằng 0, Do đó, phải tiến hành những sự hiệu chỉnh các điều kiện tối ưu cho bài toán không ràng buộc.

Hình 4.4.3

Dạng tìm kiếm của phương pháp hướng dốc nhất (theo Edgar và Himmelblau, 1988).

Những kết quả lý thuyết quan trọng nhất cho sự tối ưu hóa ràng buộc phi tuyến là các điều kiện Kuhn-Tucker. Những điều kiện này phải được thỏa mãn tại bất kỳ điểm tối ưu có ràng buộc nào, địa phương hay toàn cục, của bất kỳ bài toán quy hoạch tuyến tính và phi tuyến nào. Chúng hình thành nên cơ sở cho sự phát triển của nhiều thuật toán tính toán.

Không mất tính tổng quát, xét một bài toán ràng buộc phi tuyến đã phát biểu trong phương trình (4.5.1) mà không có các ràng buộc về biên. Chú ý rằng phương trình ràng buộc (4.5.1b) đều là các ràng buộc đẳng thức. Theo

139

điều kiện này, phương pháp nhân tử Lagrange chuyển bài toán quy hoạch phi tuyến có ràng buộc sang một bài toán không ràng buộc bằng việc thiết lập thêm một hàm mục tiêu, gọi là hàm Lagrange. Với một sự tối ưu hóa, hàm Lagrange L(x,) được xác định bằng:

 ,    T  

L x   f x  g x (4.5.2) trong đó  là vector của các nhân tử Lagrange và g(x) là một vector của các phương trình ràng buộc. Về mặt đại số, phương trình (4.5.2) có thể được viết thành:  1 1   1   1  1 ,..., , ,... ,..., ,..., m n m n i i n i L x x   f x x g x x    (4.5.3)

trong đó L(x,) là hàm mục tiêu với m + n biến cần được cực tiểu hóa. Các điều kiện cần và đủ để x* là nghiệm của cực tiểu hóa là:

1. f  *