Bài 1 Bài 2 Tính chung Đúng Sai Đúng Sai 46 59,74% 31 40,26% 23 29,87% 54 70,13% Loại 1: 59,74% Loại 2: 29,87%
Nhận xét: Các kết quả thăm dò bằng các bài kiểm tra cho thấy:
Nhiều học sinh chưa nắm vững các công thức nguyên hàm, tích phân; chưa xác định đúng cận của tích phân, giá trị của hàm số trên các đoạn. Ở phần b bài 1, một số HS chưa biết cách giải phương trình để tìm cận, dẫn đến không tìm được đáp số cho bài toán và làm sai chiếm 40,26%.
Ở bài toán 2, số học sinh không giải được chiếm tỷ lệ cao (70,13%) trong đó:
- Không biết cách xây dựng phương trình, giải để tìm t. - Sai sót khi không loại nghiệm, dẫn đến xác định cận sai.
- Không xác định được hàm số liên quan từ bài toán thực tiễn. Từ đó, việc thiết lập được nguyên hàm, tích phân cần tính để giải bài toán thực tiễn chưa chính xác.
- Tốc độ làm còn chậm, một số em xác định được hướng đi đúng nhưng chưa làm xong, vì vậy bài làm không đạt được điểm tối đa.
Chúng ta thấy rằng cần phải kiên trì, thường xuyên luyện tập cho học sinh khả năng tính toán cũng như tư duy Toán học cho các bài toán thực tiễn trong suốt quá trình dạy học ở trường phổ thông.
Qua kết quả phiếu điều tra đối với giáo viên và bài kiểm tra đánh giá đối với học sinh 12. Chúng tôi thấy kết quả thăm dò bằng các bài kiểm tra đối với học sinh phù hợp với ý kiến đánh giá của các giáo viên.
Nói chung, qua khảo sát chúng tôi thấy: Giáo viên đã nhận thức đúng, đầy đủ về vai trò của các bài tập có nội dung thực tiễn nói chung, bài tập về nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn nói riêng trong việc thực hiện
mục tiêu dạy học. Tuy nhiên, mức độ sử dụng các bài toán có nội dung thực tiễn chưa nhiều. Do đó chưa tạo được cho học sinh khả năng, thói quen vận dụng kiến thức vào thực tiễn trong học tập môn Toán, cũng như học tập các môn học khác và trong thực tiễn cuộc sống.
Phân tích nguyên nhân
Từ kinh nghiệm thực tiễn kết hợp với các ý kiến của giáo viên qua cuộc thăm dò, chúng tôi thấy thực trạng trên của học sinh có thể do những nguyên nhân chính sau đây:
Thứ nhất: Mặc dù trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông, các bài toán ứng dụng của tích phân, các bài toán thực tiễn đã được quan tâm, nhưng cần rèn luyện thêm kĩ năng giải quyết tốt các bài tập thuộc dạng này. Trên thực tế các bài toán nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn được đề cập một cách không thường xuyên, thiếu tính hệ thống, chưa tạo thành một chuỗi kiến thức rõ nét, xuyên suốt. Các bài tập trong sách giáo khoa chủ yếu là các bài tập tìm diện tích và thể tích ở dạng cơ bản nhất, chứ chưa đề cập tới nhiều các bài tập có nội dung thực tiễn có tư duy cao.
Thứ hai: Trong điều kiện sách giáo khoa và tài liệu tham khảo như vậy, sự quan tâm của giáo viên về chủ đề này cũng không thường xuyên và nếu có cũng chỉ là các bạng bài tập tính diện tích và thể tích thông thường.
Thứ ba: Sự hạn hẹp của quỹ thời gian dạy học đối với một khối lượng lớn kiến thức và kĩ năng trong dạy học môn toán ở nhà trường cũng là một nguyên nhân làm cho các bài toán thực tiễn chưa được đề cập một cách sâu rộng.
Thứ tư: Giáo viên còn gặp khó khăn trong việc sưu tầm, chọn lọc, sử dụng các bài tập có nội dung thực tiễn phù hợp với chương trình môn Toán lớp 12.
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Một trong những xu hướng dạy học hiện nay là kết hợp thực tiễn vào trong quá trình giảng dạy, giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với tri thức mới thông qua đời sống hàng ngày.
Qua nghiên cứu lý luận và thực tiễn, chương 1 đã thu được một số kết quả sau: Làm nổi bật lên vài trò và tầm quan trọng của bài toán nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn trong dạy học; khảo sát thực trạng từ đó rút ra được nguyên nhân dẫn đến thực trạng việc thực hiện bài toán thực tiễn chưa được liên tục, thường xuyên. Từ đó cho thấy việc cần thiết phải xây dựng hệ thống bài tập nguyên hàm - tích phân có nội dung thực tiễn để phục vụ, hỗ trợ việc dạy học Giải tích.
CHƢƠNG 2: HỆ THỐNG BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN
2.1. Một số nguyên tắc xây dựng hệ thống bài tập nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn có nội dung thực tiễn
2.1.1. Đảm bảo chương trình, chuẩn kiến thức, kĩ năng chủ đề môn học
Hệ thống các bài tập nguyên hàm, tích phân được xây dựng nhằm tạo thêm những tình huống để góp phần giúp học sinh nắm vững kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản, đồng thời rèn luyện cho họ khả năng và ý thức ứng dụng nguyên hàm, tích phân nói riêng và ứng dụng toán học nói chung, rèn luyện kĩ năng toán học vào lao động sản xuất và đời sống, góp phần thực hiện tốt nhiệm vụ dạy học toán một cách toàn diện.
Vì vậy, hệ thống này phải được xem xét và đặt trong hoàn cảnh của quá trình dạy học toán ở nhà trường phổ thông trên cơ sở tôn trọng chương trình và sách giáo khoa hiện hành, sử dụng tối đa tình huống và các bài tập ứng dụng nguyên hàm, tích phân đã có đồng thời phát hiện, khai thác những nội dung thích hợp để có thể bổ sung những bài tập nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn. Nói cách khác, khi lựa chọn và xây dựng hệ thống bài tập nguyên hàm, tích phân cần phải bám sát chương trình và sách giáo khoa hiện hành.
2.1.2. Đảm bảo liên hệ mật thiết với kiến thức Nguyên hàm - tích phân và các kiến thức liên quan
Nguyên hàm - tích phân có một số ứng dụng tiêu biểu trong Toán học như dùng để tính diện tích hình phẳng, hay thể tích của vật thể. Ngoài ra chúng còn được sử dụng khá nhiều trong các lĩnh vực vật lý, hóa học, sinh học. Sử dụng tích phân bất định để tính quãng đường khi biết vận tốc, tính vận tốc khi biết gia tốc. Ngoài ra còn một số ứng dụng trong điện học. Thể tích khối tròn xoay: Giải thích cách dùng tích phân để xác định thể tích của vật thể có cạnh là đường cong, như thùng rượu. Ta sẽ dùng tích phân để xác định trọng tâm của bề mặt có cạnh cong. Moment quán tính: Giải thích cách
tìm độ bền của vật thể đang quay. Ta dùng tích phân với vật thể có hình dáng cạnh cong. Công sinh ra bởi lực biến thiên: Hướng dẫn cách tìm công sinh ra của một vật khi lực không phải là hằng số. Bài này bao gồm định luật Hooke cho lò xo. Điện tích: Giữa 2 vật mang điện luôn có 1 lực, phụ thuộc vào lượng điện tích và khoảng cách giữa chúng. Ta dùng tích phân để xác định công sinh ra khi tách 2 điện tích. Giá trị trung bình: Ta có thể tính giá trị trung bình của đường cong bằng tích phân. Lực của áp suất chất lỏng: Lực này phụ thuộc vào hình dạng và độ sâu của vật thể. Ta dùng tích phân để tính lực.
Sự đa dạng đó làm cho học sinh thấy được ứng dụng rộng rãi và sâu sắc của bài tập nguyên hàm, tích phân trong nhiều lĩnh vực khác nhau, làm nổi bật ứng dụng của nguyên hàm, tích phân.
2.1.3. Đảm bảo tính vừa sức cho các đối tượng học sinh
Ta thấy rằng, mỗi học sinh đều có năng lực, trình độ nhận thức và khả năng tư duy khác nhau. Chính vì vậy, cần lựa chọn các bài tập có mức độ phù hợp với trình độ nhận thức chung của học sinh.
Đây cũng chính là một yêu cầu quan trọng để có thể xây dựng được hệ thống bài tập một cách hiệu quả và thành công. Các bài tập nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, nhất là những bài tập đầu tiên nhằm giúp người học dễ đạt được thành công khi giải các bài tập đó. Sự trải nghiệm thành công ở những bài tập đầu tiên tạo cho học sinh thêm tự tin phấn khởi, hào hứng thực hiện những yêu cầu luyện tập tiếp theo đạt kết quả cao hơn.
2.1.4. Đảm bảo tính khả thi trong điều kiện dạy học hiện nay
Hệ thống các bài tập nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn cần phải được xem xét và đặt trong hoàn cảnh, điều kiện dạy học hiện nay.
Việc xây dựng và đưa vào giảng dạy hệ thống bài tập nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn nhằm giúp các em có một kiến thức chắc chắn để giải quyết các bài toán dễ cũng như khó, đồng thời giúp các em có cái nhìn sâu hơn về thực tế và tầm quan trọng của toán học trong thực tiễn. Nhưng không vì thế mà làm thay đổi tới hệ thống chương trình, sách giáo khoa cũng như kế
hoạch dạy học hiện hành. Đây là một trong những điều kiện cơ bản để có thể đảm bảo tính khả thi của hệ thống.
Không thể đạt được mục đích đặt ra cho hệ thống các bài tập nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn nếu ta chỉ đưa vào một số ít các bài tập thực tiễn. Trái lại, nếu bổ sung quá nhiều các bài tập thực tiễn sẽ dẫn tới tình trạng quá tải, không đủ thời gian để thực hiện, ảnh hưởng tới kế hoạch dạy học chung của môn học. Nói cách khác, hệ thống các bài tập thực tiễn như vậy không có tính khả thi.
Chính vì vậy, cần đưa ra một hệ thống bài tập giúp các em vừa nắm bắt được kiến thức, vận dụng tốt vào bài tập mà không gây nhàm chán cho các em. Dưới đây là hệ thống bài tập nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn sẽ giải quyết được các nhiệm vụ và các nguyên tắc nêu trên.
2.2. Hệ thống bài tập nguyên hàm, tích phân có nội dung thực tiễn
Trong chương trình Giải tích 12, nguyên hàm - tích phân và các ứng dụng của chúng là nội dung quan trọng. Đó chính là công cụ hiệu lực giúp ta tìm được diện tích, thể tích,… Ngoài việc đáp ứng các mục đích chung của Toán học trong nhà trường phổ thông (phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng toán học, cung cấp những kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông cơ bản, thiết thực,…) hệ thống bài tập nguyên hàm - tích phân có nội dung thực tiễn cần phải đáp ứng được việc kích thích hứng thú học tập, phát huy tính tích cực của học sinh. Cần đảm bảo tính vừa sức cho các đối tượng học sinh, đảm bảo tính khả thi trong điều kiện dạy học hiện nay, cũng như đảm bảo sự phát triển tiềm năng sáng tạo giải toán cho người học,… Vì vậy trong khóa luận này chúng tôi nghiên cứu đưa ra các dạng bài tập khác nhau trên hệ thống bài tập nguyên hàm - tích phân có nội dung thực tiễn. Giúp các em có hứng thú hơn trong học tập.
Trong khóa luận này, chúng tôi sẽ phân hệ thống bài tập theo các dạng bài tập, bài tập tính diện tích hình phẳng, dạng tính thể tích vật thể, bài toán chuyển động, các bài toán kinh tế và bài toán sinh học. Trong các dạng toán
này chúng tôi đưa ra các hướng đi cho từng dạng giúp người học dễ lĩnh hội tri thức. Dưới đây là hệ thống bài tập.
2.2.1. Bài tập thực tiễn quy về tính diện tích hình phẳng
Đây là các bài tập mà việc giải nó quy về việc xác định hàm số và tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số. Để giải các bài toán dạng này, trong bước 1, ta cần:
- Dựa vào dữ kiện bài toán mà ta có thể chọn trục tọa độ sao cho phù hợp - Từ hệ tọa độ vừa lập ta sẽ đi tìm hàm số liên quan tới bài toán
Ta đi phân tích ví dụ sau:
VD1: Một quán café muốn làm cái bảng hiệu là một phần của Elip có kích thước, hình dạng giống như hình vẽ và có chất lượng bằng gỗ. Diện tích gỗ bề mặt bảng hiệu là? (Làm tròn đến hàng phần chục)
Phân tích bài toán
- Để tính diện tích của phần gỗ ta cần dùng ý nghĩa hình học của tích phân. - Đầu tiên ta cần lập phương trình đường Elip biểu thị bảng gỗ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho bảng gỗ này đối xứng qua 2 trục Oxvà Oy.
Hướng dẫn giải
Theo số liệu đề cho ta có được các độ dài CD1 ,m MN 1,5 ,m NP0,75 .m
- Tìm hàm số cho bài toán
Đường Elip
2 2
2 2 1
x y
a b có trục nhỏ CD1m và đi qua điểm 3 3; , 4 8
N
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 7 1 7 2 3 3 4 1 1 9 9 2 9 4 8 1 7 b b x y y x a a b
- Lập và giải tích phân để tính diện tích
Diện tích gỗ cần có được tính theo công thức:
0,75 0,75 2 2 2 2 0,75 0,75 1 7 1 7 1 7 1 1 2 1 1, 4 2 9 2 9 2 9 S x x dx x dx m - Sai lầm của các em là:
Khi rút y theo x chỉ cho ra một nghiệm dẫn đến giải sai
Đưa ra công thức để tính diện tích chưa đúng hoặc do tính toán sai
VD 2: Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh đất được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong Toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là 2 2 2
16y x 25x như hình vẽ bên. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy tương ứng
với chiều dài 1 .m
Hướng dẫn giải
Hoàng độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là x0;x 5;x5
Ta có: 2 2 2 2 2
16 25 4 25 25 ;
4
x
y x x y x x y x x 0;5
Dễ thấy diện tích mảnh đất Bernoulli bao gồm diện tích bốn mảnh đất nhỏ bằng nhau
Xét diện tích S1 của mảnh đất nhỏ trong góc phần tư thứ nhất ta có: 5 2 2 1 0 125 25 4 12 x S x dx m Vậy diện tích mảnh đất cần tìm là: 125 125 2 4. . 12 3 S m
VD 3:Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5 m . Trên đó người thiết kế hai phần để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản. Phần trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu) cách nhau một khoảng bằng 4m, phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 200000 đồng/ 2
m . Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)
Hình 1 Hình 2
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình 2
Ta có tung độ điểm của ,A B là 2 2
2 5 2 4
A B
y y
Parabol đi qua các điểm O 0;0 ,A 2;4 , B 2;4 nên có phương trình là 2
yx Phương trình của đường tròn tâm O 0;0 đường kính 4 5 là:
2
2 2 2
2 5 20
x y y x
Vậy S1là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
20 ,
y x 2
,
yx
2 S là diện tích nửa hình tròn có bán kính bằng 2 5