n xn Sai số 0 1 2 3 4 5 2 1,545454545 1,359674916 1,325601345 1,324719049 1,324717950 0,0000024 2.10-8
Áp dụng công thức cùng với ví dụ nêu trên, ta có thể đưa ra thuật toán đối với phương pháp NewTon như sau:
Bước 1: Cho phương trình f(x) = 0
Bước 2: Ấn định sai số cho phép hoặc số lần lặp n
Bước 3: Tìm khoảng phân li nghiệm [a, b] trong đó f’ và f” không đổi dấu Bước 4: Chọn xấp xỉ đầu x0
Bước 5:
Hình 2.3. Lưu đồ phương pháp NewTon.
Sai số là : - x1≤ f(x1) / m
32
ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
2.1.4. Phương pháp dây cung
Giả sử [a, b] là khoảng phân li nghiệm của phương trình f(x) = 0
Hình 2.4. Đồ thị biểu diễn phương pháp dây cung.
Gọi A, B là 2 điểm trên đồ thị f(x) có hoành độ, tung độ là a, b.
Phương trình thẳng qua 2 điểm A(a,f(a)), B(b, f(b)) có dạng:
[y – f(a) ]/ [f(b) –f(a) ] = ( x – a)/ (b – a)
Dây cung AB cắt trục Ox tại điểm có toạ độ (x1, 0)
Nếu f(a).f(x1) <0, thay b=x1 ta có khoảng nghiệm mới là (a, x1)
Nếu f(b).f(x1) <0, thay a=x1 ta có khoảng nghiệm mới là (x1, b)
Do đó : [– f(a) ]/ [f(b) –f(a) ] = ( x1 – a)/ (b – a) x1 = 𝑎.𝑓(𝑏)−𝑏.𝑓(𝑎)
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) (2.10)
Tiếp tục áp dụng vào khoảng nghiệm mới ta được giá trị x2, x3, x4, … càng tiến gần với giá trị nghiệm phương trình. Phương pháp trên gọi là phương pháp dây cung.
Thừa nhận công thức đánh giá saisố: |𝛼 − x| ≤ |𝑓(𝑥)|
𝑚 (2.11)
0< m ≤ f’(x), x [a, b]
Ví dụ 1: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x3 – x – 1 = 0 bằng phương
pháp dây cung với khoảng phân li nghiệm là [1, 2], tính đến x2. Giải:
33 ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG a = 1, b = 2 f(a) = f(1) = -1 f(b) = f(2) = 5 Áp dụng công thức (2.10) ta có: x1 = 1∗5−2∗(−1) 5−(−1) = 1,167; f(x1) = - 0,58 < 0
Theo phương pháp dây cung ta lại có: f(x1).f(a) > 0
Nên khoảng phân li mới của nghiệm là [1,167; 2]
Như vậy, với a = 1,167 và b = 2 ta tìm được: x2 = 1,253. Sai số tính theo công
thức (2.11) là 0,14.
Ví dụ 2: Giải phương trình x3 + x - 5 = 0 bằng phương pháp dây cung, tính x5.
Giải: - Tìm khoảng phân li nghiệm của phương trình có 1 nghiệm x [1, 2]
- Chính xác hoá nghiệm: f(1) = -3 < 0, f(2) = 5 > 0