1.3. ĐẠI SỐ GIA TỬ
1.3.1. Đại số gia tử của biến ngơn ngữ
Định nghĩa 1.4. [50] Giả sử X là một biến ngơn ngữ cĩ miền giá trị là Dom(X). Một ĐSGT AX tương ứng của X là một bộ 5 thành phần AX = (X, C, G, H, ≤), trong đĩ: (X, ≤) là cấu trúc dựa trên quan hệ thứ tự, X là một tập giá trị ngơn ngữ của X với X
Dom(X) và ≤ là quan hệ thứ tự được cảm sinh bởi ngữ nghĩa vốn cĩ của các từ ngơn ngữ trên X; G = {c-, c+} là tập các phần tử sinh cĩ quan hệ ngữ nghĩa c- ≤ c+, trong đĩ c- và c+ tương ứng là phần tử sinh nguyên thủy âm và dương; C = {0, W,
1} là tập các hằng thỏa quan hệ ngữ nghĩa 0 ≤ c- ≤ W ≤ c+ ≤ 1, trong đĩ 0 và 1 tương ứng là phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất trong cấu trúc (X, ≤), W là phần tử trung hịa; H là tập các gia tử của biến ngơn ngữ X. □
Khi tác động gia tử hH vào giá trị ngơn ngữ x X \ C thì sẽ cảm sinh ra giá trị ngơn ngữ mới, ký hiệu là hx. Với mỗi x X, ký hiệu H(x) là tập tất cả các giá trị ngơn ngữ u X được cảm sinh từ x bằng cách áp dụng các gia tử trong H và được biểu diễn bởi chuỗi u = hn…h1x, với hn, …, h1 H. Trong trường hợp x {c-, c+} thì chuỗi u = hn…h1c được gọi là một biểu diễn chính tắc nếu hj+1…h1c ≠ hj…h1c
với mọi j = 1, …, n - 1 và khi đĩ u cĩ độ dài n + 1, được ký hiệu là |u| hoặc l(u). Để tiện cho việc biểu diễn các tập con của miền giá trị của biến ngơn ngữ theo độ dài, ta cĩ các ký hiệu sau: Xk là tập tất cả các giá trị ngơn ngữ cĩ độ dài đúng bằng k và
X(k) là tập tất cả các giá trị ngơn ngữ cĩ độ dài nhỏ hơn hoặc bằng k.
Ví dụ 1.3. Giả sử X là tuổi của người. Tập các phần tử sinh G = {“trẻ”, “già”}, tập các gia tử H = {ít, rất}, tập các hằng C = {0, W, 1} với W = ”trung niên”, 0 = “cực kỳ trẻ” và 1 = ”cực kỳ già”. Miền giá trị của biến ngơn ngữ Dom(X) = {“trẻ”, “già”,
“rấttrẻ”, “ít trẻ”, “ít già”, “rất già”, “rất rất già”, …} {0, W, 1}. Độ dài của các giá trị ngơn ngữ “già”, “rất già”, “rất rất già” lần lượt là 1, 2 và 3. □
Trong ĐSGT AX = (X, C, G, H, ≤) nếu X, G và H là tập sắp thứ tự tuyến tính thì AX được gọi là ĐSGT tuyến tính. Vì luận án chỉ quan tâm đến ĐSGT tuyến tính nên từ đây trở đi khi nĩi ĐSGT cũng cĩ nghĩa là ĐSGT tuyến tính.
Cấu trúc AX được xây dựng dựa trên cấu trúc quan hệ thứ tự ≤ trên miền giá trị của biến ngơn ngữ bởi một số tính chất của các phần tử ngơn ngữ. Ta cĩ thể quan sát thấy một số tính chất như sau [50]:
- Hai phần tử sinh c- và c+ của biến ngơn ngữ cĩ khuynh hướng ngữ nghĩa trái ngược nhau. Để thuận tiện, c+ được quy ước cĩ khuynh hướng đi lên hay hướng dương và cĩ dấu dương được ký hiệu là sign(c+) = +1, c- cĩ khuynh hướng đi xuống hay hướng âm và cĩ dấu âm được ký hiệu là sign(c-) = -1. Theo quan hệ ngữ nghĩa, ta cĩ: c- ≤ c+. Ví dụ: “già” cĩ hướng dương và cĩ dấu sign(“già”) = +1, “trẻ” cĩ hướng âm và cĩ dấu sign(“trẻ”) = -1, và theo quan hệ ngữ nghĩa thì “trẻ” ≤ “già”.
- Mỗi gia tử h khơng phải là gia tử đặc biệt (hai gia tử đặc biệt là gia tử đơn vị
I [52, 53] và gia tử h0 được dùng để sinh lõi ngữ nghĩa được đề xuất trong luận án này) cĩ khuynh hướng làm tăng hoặc làm giảm ngữ nghĩa của phần tử sinh nguyên thủy c- hoặc c+. Gia tử h được gọi là gia tử dương nếu hc+ > c+ (hay hc < c) và được gọi là gia tử âm nếu hc+ < c+ (hay hc > c). Tập các gia tử dương được ký hiệu là H+ = {hj: 1 ≤ j ≤ p} và cĩ dấu sign(hj) = +1, tập các gia tử âm được ký hiệu là H- = {hj: -q ≤ j ≤ -1} và cĩ dấu sign(hj) = -1 và ta cĩ H = H+ H-. Khơng mất tính tổng quát, ta luơn giả thiết rằng h-q < h-2 < ... < h-1 < h1 < h2 < ... < hp. Nếu cả hai gia tử h và k cùng thuộc H+ hoặc H−, thì ta nĩi h và k sánh được với nhau. Ngược lại, nếu h và k khơng đồng thời thuộc H+ hoặc H−, khi đĩ ta nĩi h và k ngược nhau. Ví dụ, ta cĩ: “rất già” > “già” và “rất trẻ” < “trẻ”, điều này cĩ nghĩa gia tử
rất làm mạnh thêm ngữ nghĩa của cả hai phần tử sinh “già” và “trẻ”. Nhưng “ít già” < “già” và “ít trẻ” > “trẻ” vì thế gia tử ít làm yếu đi ngữ nghĩa của cả hai phần tử sinh “già” và “trẻ”. Như vậy, rất là gia tử dương và ít là gia tử âm.
- Mỗi gia tử khơng thuộc các gia tử đặc biệt đều cĩ khuynh hướng làm tăng hoặc làm giảm ngữ nghĩa của các gia tử khác. Gia tử k là dương đối với gia tử h nếu
k làm tăng ngữ nghĩa của h và khi đĩ dấu sign(k, h) = +1. Ngược lại, k là âm đối với
h nếu k làm giảm ngữ nghĩa của h và cĩ dấu sign(k, h) = -1. Tính âm, dương của các gia tử đối với các gia tử khác khơng phụ thuộc vào phần tử ngơn ngữ mà chúng tác động. Ví dụ: nếu gia tử V là dương đối với gia tử L thì với bất kỳ phần tử ngơn ngữ
x ta cĩ: nếu x ≤ Lx thì Lx ≤ VLx hay nếu x ≥ Lx thì Lx ≥VLx. Từ tính chất này, dấu của một hạng từ x với x = hmhm-1…h2h1c, trong đĩ c {c-, c+} và hj H, được tính như sau:
Sign(x) = sign(hm, hm-1) × … × sign(h2, h1) × sign(h1) × sign(c). (1.16) Ý nghĩa của dấu của từ ngơn ngữ là: nếu sign(hx) = +1 thì x ≤ hx, và nếu
sign(hx) = -1 thì hx ≤ x.
- Tính kế thừa trong cảm sinh các giá trị ngơn ngữ của các gia tử. Tính chất này thể hiện ở chỗ, khi một giá trị ngơn ngữ hx được cảm sinh từ x bằng việc tác động gia tử h vào x thì ngữ nghĩa của hx thay đổi nhưng vẫn truyền đạt ngữ nghĩa gốc của x. Điều này cĩ nghĩa là với mỗi gia tử h, giá trị ngơn ngữ hx kế thừa ngữ nghĩa từ x. Tính chất này gĩp phần bảo tồn quan hệ thứ tự ngữ nghĩa: nếu hx ≤ kx
thì h’hx ≤ k’kx, hay h’ và k’ bảo tồn quan hệ ngữ nghĩa của hx và kx một cách tương ứng.
Hai từ ngơn ngữ x và y được gọi là độc lập nếu xH(y) và yH(x).
Một ĐSGT AX được gọi là tự do nếu với mọi xH(G) thì hx ≠x. Nghĩa là AX là tự do nếu và chỉ nếu chỉ cĩ các hằng là các phần tử bất động.
Định lý 1.1. [50] Cho tập H- và H+ là các tập sắp thứ tự tuyến tính của ĐSGT AX = (X, C, G, H, ≤). Khi đĩ ta cĩ các khẳng định sau:
(1) Với mỗi uX thì H(u) là tập sắp thứ tự tuyến tính.
(2) Nếu X được sinh từ G bởi các gia tử và G là tập sắp thứ tự tuyến tính thì X
cũng là tập sắp thứ tự tuyến tính. Hơn nữa nếu u < v, và u, v là độc lập với nhau, tức là uH(v) và vH(u), thì H(u) H(v). □