Ban đầu chỉ có một nhánh và sau 30 phút thêm nhánh ngắn hơn
2.1.2. Kiến nhân tạo
Thực nghiệm cây cầu đôi cho thấy đàn kiến tự nhiên có thể sử dụng luật di chuyển theo xác suất, dựa trên thơng tin địa phương để tìm được đường đi ngắn nhất giữa hai địa điểm. Vết mùi của đàn kiến cho phép liên tưởng tới cách học tăng cường (reinforcement learning) trong bài toán chọn tác động tối ưu [3], gợi mở mơ hình mơ phỏng cho bài tốn tìm đường đi ngắn nhất giữa hai nút (tương ứng là tổ và nguồn thức ăn) trên đồ thị, trong đó các tác tử (agent) là đàn kiến nhân tạo.
Tuy nhiên, trong các bài toán ứng dụng các đồ thị thường phức tạp hơn. Từ mỗi đỉnh có thể có nhiều cạnh, nên nếu mơ phỏng thực sự hành vi của đàn kiến tự nhiên nhiều con kiến sẽ đi luẩn quẩn và do đó hiệu quả thuật tốn sẽ rất kém. Vì vậy, người ta dùng kỹ thuật đa tác tử (multiagent) mơ phỏng đàn kiến nhân tạo, trong đó mỗi con kiến nhân tạo có khả năng nhiều hơn so với kiến tự nhiên. Kiến nhân tạo (về sau trong luận án ta sẽ gọi đơn giản là kiến) có bộ nhớ riêng, có khả năng ghi nhớ các đỉnh đã thăm trong hành trình và tính được độ dài đường đi nó chọn. Ngồi ra, kiến có thể trao đổi thơng tin với nhau, thực hiện tính tốn cần thiết, cập nhật mùi…
Sử dụng mơ hình kiến nhân tạo này, Dorigo (1991) [28] đã xây dựng thuật toán
Thuật toán này về sau được phát triển và có nhiều ứng dụng phong phú, được gọi chung là phương pháp ACO.
2.2. Phương pháp ACO cho bài toán TƯTH tổng quát
Mục này giới thiệu tóm lược phương pháp tối ưu đàn kiến. Để biết chi tiết hơn, có thể xem [31]. Trước khi mơ tả thuật tốn tổng qt, ta tìm hiểu đồ thị cấu trúc cho bài toán tối ưu tổ hợp.
2.2.1. Đồ thị cấu trúc
Xét bài toán TƯTH tổng quát được nêu trong mục 1.1 dưới dạng bài toán cực tiểu hoá , trong đó là tập hữu hạn trạng thái (lời giải tiềm năng hay phương
án), là hàm mục tiêu xác định trên , còn là các ràng buộc để xác định tập có các thành phần được lấy từ tập hữu hạn . Các tập và có các đặc tính sau:
1) Ký hiệu là tập các vectơ trong độ dài không quá { }. Khi đó, mỗi phương án trong được xác định bởi ít nhất một
vectơ trong như ở điểm 2).
2) Tồn tại tập con của và ánh xạ từ lên sao cho khơng rỗng với
mọi , trong đó tập có thể xây dựng được từ tập con của nhờ mở rộng tuần tự dưới đây.
3) Từ ta mở rộng tuần tự thành như sau:
i) Ta xem là mở rộng được với mọi
ii) Giả sử là mở rộng được và chưa thuộc . Từ tập ràng buộc , xác định tập con của , sao cho với mọi thì
iii) Áp dụng thủ tục mở rộng từ các phần tử cho phép ta xây dựng được mọi phần tử của .
Như đã nói trong chương 1, mỗi bài tốn TƯTH được xem như một bài tốn tìm kiếm vectơ độ dài khơng q trên đồ thị đầy đủ có các đỉnh được gán nhãn trong tập
. Để tìm các lời giải chấp nhận được, ta xây dựng đồ thị đầy đủ với tập đỉnh , mỗi
đỉnh của nó tương ứng với mỗi thành phần của Các lời giải chấp nhận được sẽ là các vectơ được xác định theo thủ tục mở rộng tuần tự hay mở rộng ngẫu nhiên, như đã được mô tả chi tiết trong mục 2.2.2.
Thông thường, đối với các bài tốn thuộc loại NP-khó, người ta đưa ra các phương pháp heuristic tìm lời giải đủ tốt cho bài toán. Các thuật tốn ACO kết hợp thơng tin heuristic này với phương pháp học tăng cường, mô phỏng hành vi của đàn kiến, để tìm lời giải tốt hơn.
Mỗi cạnh nối đỉnh có trọng số heuristic để định hướng chọn thành phần mở rộng là khi thành phần cuối của trạng thái hiện tại là (theo thủ tục mở rộng tuần tự đã nêu ở trên). Ký hiệu là vectơ các trọng số heuristic của cạnh (trong bài tốn TSP đó là vectơ có các thành phần là nghịch đảo của độ dài cạnh tương ứng), còn là vectơ biểu thị các thông tin học tăng cường (trong luận án từ nay về sau gọi là vết mùi, ban đầu được khởi tạo giá trị >0). Trường hợp đặc biệt và chỉ phụ thuộc vào , các thông tin này sẽ gắn với các đỉnh. Không làm mất tính tổng quát, ta xét trường hợp các thông tin này gắn vào các cạnh.
Ta gọi đồ thị là đồ thị cấu trúc của bài toán tối ưu tổ hợp, trong
đó là tập đỉnh, là tập cạnh, và là các thông tin gắn với cạnh. Từ các cạnh, xây dựng tập nhờ mở rộng tập theo thủ tục tuần tự. Nếu khơng có thơng tin heuristic thì ta xem có các thành phần như nhau và bằng 1.
Trường hợp tổng quát, là đồ thị đầy đủ. Tuy nhiên, tùy theo ràng buộc của
bài tốn, các cạnh có thể lược bớt để giảm miền tìm kiếm lời giải theo thủ tục mở rộng tuần tự. Chẳng hạn, với bài tốn tìm cực trị của hàm giải tích , với thuộc tập giá trị hữu hạn , đồ thị cấu trúc có tầng, tầng chứa các đỉnh thuộc tập , còn tập cạnh chỉ gồm các cạnh nối các đỉnh thuộc tầng với các đỉnh thuộc tầng như trong hình 2.3. Khi đó tập là tập , mỗi mở rộng tuần tự của lời giải sẽ được xây dựng từ một đỉnh thuộc tập này.