CHƢƠNG I MÔ HÌNH KÊNH MIMO
2.3. Vùng dung năng kênh quảng bá (BC)
2.3.1. Dung năng tổng BC có thể đạt đƣợc và đối ngẫu UL/DL
Có thể dễ dàng thấy rằng hàm mục tiêu cho vùng dung năng tổng cộng DPC không phải là một hàm lồi của các ma trận tương quan. Như vậy, việc tìm kiếm con số tối đa không phải là một vấn đề dễ dàng và đòi hỏi một sự tìm kiếm lớn trên toàn bộ không gian của các ma trận tương quan đáp ứng các hạn chế công suất. Tuy nhiên, bằng cách thiết lập các tính đối ngẫu giữa đường lên và đường xuống, ta thấy rằng nó có thể để có được dung năng tổng tối đạt được của các kênh BC từ kênh đường lên đối ngẫu.
Dung năng kênh là khác nhau cho các đường lên và đường xuống do sự khác biệt cơ bản giữa các kênh này. Tuy nhiên, thực tế là các kênh đường xuống và các kênh đường lên trông giống như hình ảnh phản chiếu của nhau hàm ý rằng có một sự đối ngẫu giữa các kênh cho phép các vùng dung năng của một trong hai kênh được lấy từ vùng dung năng của kênh khác.
Sự tương đương giữa việc thực hiện các chiến lược thu và phát khi vai trò của các máy phát và máy thu nghịch đảo ngược cho vector kênh Gauss đã được tiến hành trong nhiều tình huống khác nhau. Trong giao tiếp điểm-điểm, dung năng là không thay đổi khi vai trò của máy phát và máy thu đổi chổ cho nhau. Trong trường hợp đường xuống xử lý tuyến tính bởi bộ thu đơn người dùng (SU) tại các đầu cuối người dùng (UT), sự lựa chọn các ma trận truyền và nhận có liên quan chặt chẽ đến vấn đề đường lên ảo. Cuối cùng, vùng dung năng của các kênh Gauss suy biến tương tự như
vùng dung năng của MAC tương ứng với các giới hạn công suất phát của BC chuyển đổi tới tổng công suất trong MAC.
Sự khác biệt giữa kênh đường lên và đường xuống mà trên đường xuống có số hạng tạp âm kèm theo với mỗi thiết bị đầu cuối người dùng, trong khi trên đường lên không tạp âm. Một khác biệt quan trọng là trên đường xuống có một giới hạn công suất đơn kèm theo với máy phát, trong khi trên đường lên có một giới hạn công suất khác nhau kèm theo với mỗi người dùng. Cuối cùng, trên đường xuống cả tín hiệu và nhiễu kèm theo với mỗi người dùng di chuyển thông qua cùng một kênh, trong khi trên đường lên các tín hiệu di chuyển thông qua các kênh khác nhau.
Chúng ta nói rằng, kênh đường xuống và đường lên đối ngẫu với nhau nếu đáp ứng xung của kênh cho mỗi người dùng đều giống nhau ở đường xuống và đường lên, mỗi bộ thu trong đường xuống có cùng thống kê tạp âm và những thống kê này cũng giống như những tạp âm của bộ thu ở đường lên, và giới hạn công suất PT trên đường xuống bằng tổng của giới hạn công suất thành phần 𝑃𝑇𝑘, k = 1, … , K, trên đường lên. Tập các ma trận tương quan BC 𝐹𝑘𝐹𝑘𝐻, k = 1, … , K , được căn cứ vào nguyên tắc đối ngẫu từ kênh MAC đối ngẫu sử dụng cùng một giới hạn công suất tổng. Chúng tôi cho rằng trong các đường lên người dùng đầu tiên thì được giải mã đầu tiên, sau đó lần lượt thứ hai, v…v Trong đường xuống, chúng tôi giả định rằng người dùng được mã trước theo thứ tự ngược lại, nghĩa là người dùng thứ 𝐾 được mã trước trước, sau đó lần lượt thứ (𝐾 − 1), v…v. Khi đó, tốc độ đạt được bởi người dùng thứ 𝑘 trong các đường lên được cho bởi :
𝑅𝑘𝑈𝐿 = log det 𝐼𝑀𝑇 + 𝜎𝑛2𝐼𝑀𝑇 + 𝐻𝑖𝑇𝑄𝑖𝑄𝑖𝐻𝐻𝑖∗
𝑖>𝑘
−1
𝐻𝑘𝑇𝑄𝑘𝑄𝑘𝐻𝐻𝑘∗ (2.20)
Và đối với đường xuống :
𝑅𝑘𝐷𝐿 = log det 𝐼𝑀 𝑅𝑘 + 𝜎𝑛2𝐼𝑀 𝑅𝑘 + 𝐻𝑘 𝐹𝑖𝐹𝑖𝐻 𝑖<𝑘 𝐻𝑘𝐻 −1 𝐻𝑘𝐹𝑘𝐹𝑘𝐻𝐻𝑘𝐻 (2.21) Dưới đây là ma trận phụ trợ : 𝐴𝑘 = 𝜎𝑛2𝐼𝑀 𝑅𝑘 + 𝐻𝑘 𝐹𝑖𝐹𝑖𝐻 𝑖<𝑘 𝐻𝑖𝐻 𝐵𝑘 = 𝜎𝑛2𝐼𝑀𝑇 + 𝐻𝑖𝐻 𝑖>𝑘 𝑄𝑖∗𝑄𝑖𝐻𝐻𝑖 (2.22)
Phương trình 2.21 bây giờ có thể viết lại : 𝑅𝑘𝐷𝐿 = log det 𝐼𝑀 𝑅𝑘 + 𝐴𝑘−1𝐻𝑘𝐹𝑘𝐹𝑘𝐻𝐻𝑘𝐻 = log det 𝐼𝑀 𝑅𝑘 + 𝐴𝑘−1/2𝐻𝑘𝐹𝑘𝐹𝑘𝐻𝐻𝑘𝐻𝐴𝑘−1/2 = log det 𝐼𝑀 𝑅𝑘 + 𝐴𝑘−1/2𝐻𝑘𝐵𝑘−1 2𝐵𝑘1 2𝐹𝑘𝐹𝑘𝐻𝐵𝑘1 2𝐵𝑘−1 2𝐻𝑘𝐻𝐴−1/2𝑘 (2.23) Và phương trình 2.20 sử dụng tính chất det 𝑋 = det 𝑋𝑇 thì :
𝑅𝑘𝑈𝐿 = log det 𝐼𝑀𝑇 + 𝐵𝑘−1𝐻𝑘𝐻𝑄𝑘∗𝑄𝑘𝑇𝐻𝑘
= log det 𝐼𝑀𝑇 + 𝐵𝑘−1/2𝐻𝑘𝐻𝑄𝑘∗𝑄𝑘𝑇𝐻𝑘𝐵𝑘−1/2
= log det 𝐼𝑀𝑇 + 𝐵𝑘−1/2𝐻𝑘𝐻𝐴𝑘−1 2𝐴𝑘1 2𝑄𝑘∗𝑄𝑘𝑇𝐴𝑘1 2𝐴𝑘−1 2𝐻𝑘𝐵𝑘−1/2 (2.24) Định nghĩa của ma trận căn bậc hai tương tự mục (1.2.1).
Xem 𝐴𝑘−1 2𝐻𝑘𝐵𝑘−1 2 là hiệu ứng kênh của hệ thống, chúng ta lưu ý rằng khi chúng ta lấy Hermitian của kênh này chúng ta có hiệu ứng kênh của kênh đường lên
𝐵𝑘−1 2𝐻𝑘𝐻𝐴𝑘−1 2. Điều này cho thấy trong trường hợp này chúng ta có thể sử dụng cùng một logic như trong trường hợp hệ thống điểm-điểm mà dung năng kênh trên đường lên và đường xuống là giống như với các điều kiện trên đây, tức là, chúng ta có thể viết rằng 𝑅𝑘𝐷𝐿 = 𝑅𝑘𝑈𝐿. Do đó, bây giờ chúng ta có thể sử dụng cùng phép biến đổi các ma trận tương quan như đối với các hệ thống điểm-điểm để biến đổi ma trận tương quan kênh MAC thành các ma trận tương quan kênh BC. Chúng ta hãy định nghĩa SVD của kênh hiệu dụng như 𝐴𝑘−1 2𝐻𝑘𝐵𝑘−1 2 = 𝑈𝑒𝑘 𝑉𝑒𝐻𝑘
𝑒𝑘 . Khi đó:
𝐹𝑘𝐹𝑘𝐻 = 𝐵𝑘−1/2𝑉𝑒𝑘𝑈𝑒𝐻𝑘𝐴𝑘1 2𝑄𝑘∗𝑄𝑘𝑇𝐴1 2𝑘 𝑈𝑒𝑘𝑉𝑒𝐻𝑘𝐵𝑘−1/2 (2.25) Như vậy, dung năng tổng đạt được của BC bằng với dung năng tổng của kênh MAC đối ngẫu, tức là
𝐶𝑀𝐴𝐶 = max
𝑡𝑟 𝑄𝑖 𝑖𝑄𝑖𝐻 ≤𝑃𝑇log det 𝐼𝑀𝑇 + 𝜎𝑛−2 𝐻𝑖𝑇𝑄𝑖𝑄𝑖𝐻𝐻𝑖∗
𝐾
𝑖=1
(2.26)
Ở đây, tối ưu hóa được thực hiện đối với các ma trận tương quan đường lên
𝑄𝑘𝑄𝑘𝐻, k = 1, … , K, tùy thuộc vào cùng giới hạn công suất tổng 𝑃𝑇. Điều này cho phép chúng ta thay thế hàm tốc độ không lồi của kết quả tương quan người dùng từ vùng BC với MAC đối ngẫu mà có tốc độ là các hàm lồi của các ma trận hiệp phương sai. Bằng cách sử dụng biến đổi được đưa ra trong (2.25), chúng tôi ánh xạ ma trận
tương quan truyền đường lên 𝑄𝑘𝑄𝑘𝐻, k = 1, … , K tới ma trận tương quan truyền đường xuống 𝐹𝑘𝐹𝑘𝐻, k = 1, … , K mà đạt được tốc độ như nhau dưới cùng một giới hạn công suất tổng.
Thuật toán đổ nước lặp đã được đề xuất trong phần trước để tính toán ma trận tương quan của một kênh MAC đối ngẫu. Thuật toán này được dựa trên các thuật toán đổ nước lặp cho vấn đề MAC thông thường, mà nhận được dung năng tổng của MAC với những giới hạn tốc đố riêng trên mỗi người dùng. Sự khác biệt từ (2.26) chỉ trong cấu trúc của các giới hạn công suất. Trong tình huống như vậy, tối ưu hóa được thực hiện bằng cách sử dụng thuật toán nâng khối rằng buộc, ví dụ, bằng cách tối ưu đối với các biến đầu tiên trong khi các biến số khác không đổi, sau đó tối ưu hóa đối với biến thứ hai, v…v để đạt được một điểm tối ưu toàn cục. Nói cách khác, tại mỗi bước của một thuật toán tối ưu hóa người dùng ma trận tương quan của mình trong khi xử lý các tín hiệu từ tất cả người dùng khác như bao gồm tạp âm của cả những người dùng với các ma trận tương quan được cập nhật trước đó. Trong trường hợp của MAC đối ngẫu có một giới hạn công suất tổng, tức là, mực nước của tất cả người dùng phải bằng nhau. Không giống như trong MAC thông thường, với giới hạn tốc độ tổng chúng ta phải cập nhật tất cả các ma trận tương quan đồng thời duy trì mực nước liên tục.
Thuật toán này rất phức tạp và đòi hỏi nhiều tính toán của SVD và các thuật toán đổ nước. Bằng cách sử dụng bất đẳng thức Hadamard chúng ta tìm thấy một giới hạn cận trên mà không phải lúc nào cũng chặt chẽ như trước đó nhưng đòi hỏi nỗ lực tính toán ít hơn.
Phương trình (2.26) có thể được viết lại như sau :
𝐶𝑀𝐴𝐶 = max
𝑡𝑟 𝑄𝑖𝑄𝑖𝐻 ≥0, 𝑡𝑟 𝑄𝑖 𝑖𝑄𝑖𝐻 ≤𝑃𝑇
log det 𝐼𝑟 + 𝜎𝑛−2𝑄𝐻𝐻∗𝐻𝑇𝑄 (2.27)
Các biểu thức trong phương trình (2.27) có thể được viết trong một dạng ma trận khối như sau:
𝑄𝐻𝐻∗𝐻𝑇𝑄 =
𝑄1𝐻𝐻1∗𝐻1𝑇𝑄1 ⋯ 𝑄1𝐻𝐻1∗𝐻𝐾𝑇𝑄𝐾
⋮ ⋱ ⋮
𝑄𝐾𝐻𝐻𝐾∗𝐻1𝑇𝑄1 ⋯ 𝑄𝐾𝐻𝐻𝐾∗𝐻𝐾𝑇𝑄𝐾
(2.28)
Bằng cách sử dụng bất đẳng thức Hadamard det 𝐴 ≤ 𝑎𝑖 𝑖,𝑖, trong đó 𝑎𝑖,𝑖 là những nhân tố đường chéo của A, chúng ta có thể viết :
log det 𝐼𝑟 + 𝜎𝑛−2𝑄𝐻𝐻∗𝐻𝑇𝑄
≤ log det 𝐼𝑟𝑘 + 𝜎𝑛−2𝑄𝑘𝐻𝐻𝑘∗𝐻𝑘𝑇𝑄𝑘
𝐾
= log det 𝐼𝑟𝑘 + 𝜎𝑛−2𝑄𝑘𝐻𝐻𝑘∗𝐻𝑘𝑇𝑄𝑘
𝐾
𝑘=1
(2.29)
Đẳng thức có 𝑄𝑘 = 𝑈𝑘∗Φ𝑘, ở đây cột 𝑈𝑘 là cơ sở của không gian cột của
𝐻𝑘 = 𝑈𝑘Σ𝑘𝑉𝑘𝐻 và Φ𝑘 là ma trận đường chéo tải công suất.
Việc so sánh các việc so sánh giới hạn dung năng tổng DPC của BC và giới hạn dung năng tổng của BC rất đơn giản (VS) được giới thiệu trước đây được thể hiện trong hình 2.3 và 2.4. Giới hạn dung năng tổng của VS BC đầu tiên thu được bằng cách sử dụng phương trình (2.29) tương ứng với dung năng của kênh MU-MIMO nơi mà tất cả người dùng là trực giao trong không gian. Tuy nhiên, ảnh hưởng của MUI được bỏ qua là quá lớn và kết quả giới hạn này là quá nhỏ. Các tùy chọn khác là để thay thế các ma trận mã trước 𝑄𝑘 thu được bằng cách tối đa hóa (2.29) trong biểu thức MAC đối ngẫu trong (2.27). Vì nó có thể được nhìn thấy từ hình 2.3, trong trường hợp của MUI thấp, tức là, khi tổng số anten tại thiết bị đầu cuối người dùng là ít hơn hoặc bằng số lượng anten của trạm cơ sở, thứ hai là xấp xỉ giới hạn VS, khi nhiễu giữa người dùng cũng được đưa vào tính toán khi tính toán dung năng hệ thống, cũng giống như giới hạn DPC. Trong trường hợp MUI cao, tức là, khi số lượng anten của thiết bị đầu cuối người dùng lớn hơn nhiều anten tại trạm gốc, xấp xỉ giới hạn dung năng tổng VS BC là rất gần với giới hạn DPC và SNR cao, nó ngang bằng với giới hạn DPC. Cấu hình anten của hệ thống trong hình 2.3 và 2.4 là: tại các trạm cơ sở chúng ta có 6 anten, và có ba người dùng trong hệ thống. Trong hình đầu tiên tất cả ba người dùng được trang bị 2 anten và trong con hình thứ hai tất cả người dùng được trang bị 4 anten.
Hình 2.3: Giới hạn cận trên của BC, dung năng tiêu hao 10%. Trường hợp MR < MT
Hình 2.4: Giới hạn cận trên của BC, dung năng tiêu hao 10%. Trường hợp MR > MT