CHƢƠNG 2 : CÁCH TIẾP CẬN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN
2.1 Cách tiếp cận chung để giải bài toán
2.1.3 Tạo lƣới phần tử hữu hạn
Phƣơng pháp phần tử hữu hạn là phƣơng pháp số để giải các bài toán đƣợc mô tả bởi các phƣơng trình vi phân riêng phần cùng với các điều kiện biên cụ thể. Cơ sở của phƣơng pháp này là làm rời rạc hóa các miền liên tục phức tạp của bài toán. Các miền liên tục đƣợc chia thành nhiều miền con (phần tử). Các miền này đƣợc liên kết với nhau tại các điểm nút. Để đảm bảo độ chính xác cho mô hình miền nghiệm cũng nhƣ tỷ lệ giữa các miền khác nhau, mô hình vật dẫn đƣợc xây dựng từ các bức ảnh thực về lát cắt cơ thể ngƣời. Từ đó, việc xây dựng miền nghiệm cho bài toán đƣợc thực hiện bằng cách tạo lƣới các phần tử cơ bản. Có rất nhiều chiến lƣợc để rời rạc hóa một miền nghiệm bất kỳ thành các phần tử cơ bản,ở đây, tôi sử dụng lƣới tam giác Delaunay. Các giải thuật xây dựng lƣới tam giác Delaunay đƣợc chia thành các hƣớng tiếp cận sau:
Hướng tiếp cận chia để trị: Đầu tiên, tập điểm đầu vào đƣợc chia thành các tập con, thực hiện xây dựng lƣới tam giác cho mỗi tập con rồi hợp nhất lại để tạo ra lƣới tam giác kết quả cuối cùng. Tuy nhiên, phần hợp nhất các kết quả con thƣờng cài đặt khá phức tạp.
Hướng tiếp cận thêm từng điểm tuần tự [4]: Các giải thuật thuộc hƣớng tiếp cận này khá đơn giản để cài đặt.Giả sử chúng ta có lƣới tam giác Delaunay đƣợc xây dựng từ i-1 điểm. Điểm thứ i sẽ đƣợc thêm vào lƣới tam giác theo cách sau:
• Phân rã tam giác đó thành các tam giác con thuộc lƣới và hiệu chỉnh thỏa điều kiện Delaunay.
Tam giác Delaunay: Với một tập cho trƣớc các điểm xác định bề mặt của khối vật dẫn, ngƣời ta sẽ lát các đám mây điểm vào một lƣới tối ƣu các tam giác hoặc tứ diện. Ƣu điểm chính của thuật toán này là nó có thể tạo lƣới phù hợp với một khối vật dẫn bất kỳ bao gồm các bề mặt con khi biết các điểm xác định bề mặt này và sau đó sẽ thêm các điểm bên trong để tối ƣu hệ số mặt. Đối với tam giác, hệ số mặt đƣợc xác định là tỷ lệ giữa chiều ngang cực đại và chiều dọc cực đại của thành phần, hoặc hệ số giữa đƣờng kính đƣờng tròn ngoại tiếp và khoảng cách cực đại giữa các đỉnh. Đối với tứ diện, hệ số mặt có thể đƣợc định nghĩa bằng trong đó kí hiệu đƣờng kính hình cầu ngoại tiếp và là khoảng cách lớn nhất hai đỉnh. Giá trị của công thức này bằng 1 đối với một tứ diện (tam giác) cân và bằng 0 đối với một thành phần suy thoái. Thuật toán cố gắng tạo ra các phần tử làm cho giá trị công thức càng gần 1 càng tốt.
Hình 2.8. Chia lưới tam giác Delaunay
Vì cấu trúc của miền nghiệm (cấu trúc mặt cắt cơ thể) là rất phức tạp, bao gồm nhiều miền có hình dạng, suất dẫn điện khác nhau (tim, phổi, lồng ngực,…) và công thức xác định nghiệm không thể áp dụng đối với các miền nghiệm không đồng nhất, do đó, để tạo lƣới các phần tử đồng nhất (tức là chia miền nghiệm thành nhiều miền con khác nhau có suất dẫn điện trong toàn bộ miền con là nhƣ nhau).
Hình vẽ 2.9 mô tả một ví dụ về cách tạo các phần tử cơ bản (các tam giác) cho miền nghiệm theo thuật toán tam giác Delaunay từ mô hình thu đƣợc. Số lƣợng nút và các phần tử tùy theo các tham số đầu vào.
Hình 2.9. Lưới các phần tử hữu hạn