CHƢƠNG 2 : CÁCH TIẾP CẬN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN
2.3 Bài toán đảo điện tâm đồ
Bài toán trong đó điện trƣờng và bộ dẫn điện đã biết trƣớc nhƣng nguồn điện lại không đƣợc biết thì đƣợc gọi là bài toán đảo (xem hình 2.10). Trong các ứng dụng y tế đối với các hiện tƣợng điện sinh học thì bài toán đảo có tầm quan trọng nhất định trong khám và điều trị bệnh. Ví nhƣ, trong chẩn đoán bệnh hàng ngày thì các bác sĩ chuyên khoa tim và các bác sĩ chuyên khoa thần kinh luôn phải tìm cách xác định nguồn gốc của các tín hiệu từ sinh học hoặc các tín hiệu điện sinh học đo đƣợc. Các bệnh lý tác động tới nguồn tạo nên nền tảng cho các nghiên cứu chẩn đoán của họ - đó là những trạng thái chẩn đoán của các bộ phận tƣơng ứng.
Hình 2.10. Mô hình hóa bài toán thuận và đảo điện trường sinh học
2.3.2 Xác định hàm mục tiêu
Vấn đề đầu tiên trƣớc khi giải bài toán đảo điện trƣờng sinh học là phải xây dựng đƣợc hàm mục tiêu cho bài toán. Về mặt lý thuyết, bài toán chỉ đúng nếu toàn bộ sự phân bố của điện thế trên bề mặt đều đƣợc biết, nhƣng điều này là không thể. Thực tế, các tín hiệu vào cho bài toán đảo có đƣợc từ một số hữu hạn
của các điện cực trên bề mặt cơ thể ngƣời đo đƣợc bằng các máy điện tim. (R. S. Macleod và D. H. Brooks 1998) [8] đã chứng minh rằng số các điện cực trong khoảng từ 32 đến 200 là đủ để diễn tả thỏa đáng sự phân bố bề mặt điện thế và đủ để định vị nguồn lƣỡng cực.
Vì vậy, hàm mục tiêu đƣợc xây dựng để diễn tả sự khác nhau giữa các trƣờng điện thế quan sát đƣợc và các trƣờng điện thế tính toán đƣợc ở các nút. Ở đây, tôi sử dụng công thức bình phƣơng tối thiểu để đánh giá sự sai khác này và ta có công thức sau:
(2.3) Trong đó, là số hữu hạn các nút đƣợc chọn trên biên. là điện thế tính đƣợc và điện thế đo đƣợc tại các nút đó. Vấn đề của chúng ta là tìm lƣỡng cực có các trƣờng điện thế làm giảm thiểu hàm đánh giá này.
Khi đó, bài toán đảo trở thành tìm nguồn điện trong tim sao cho điện thế phát sinh làm tối thiểu hóa hàm f.
2.3.3 Nguồn lƣỡng cực tƣơng đƣơng tối ƣu
Nhƣ đã trình bày ở trên, mô hình nguồn điện đƣợc giả sử là một nguồn lƣỡng cực đơn hay còn gọi là nguồn lƣỡng cực tƣơng đƣơng vì nó đƣợc xem nhƣ là mô hình đại diện của các nguồn điện thật trong tim.
Với mô hình này, nguồn đƣợc đặc trƣng bởi năm tham số : vị trí tâm (x, y), góc quay , độ lớn của nguồn IV và khoảng cách nguồn d. Tại mỗi vị trí, có thể có nhiều lƣỡng cực khác nhau (khác nhau về góc quay, độ lớn). Lƣỡng cực tƣơng đƣơng tối ƣu là lƣỡng cực có cùng vị trí với các lƣỡng cực khác nhƣng có hƣớng và độ lớn làm tối thiểu hóa hàm mục tiêu của thuật toán tối ƣu toàn cục. Các lƣỡng cực tối ƣu này gọi là lƣỡng cực tƣơng đƣơng tối ƣu cục bộ [5]. Tại mỗi vị trí, luôn có ít nhất một lƣỡng cực tƣơng đƣơng tối ƣu cục bộ.
Hình 2.1 Luôn tồn tại lưỡng cực tối ưu cục bộ tại mỗi vị trí xác định
Mỗi lƣỡng cực đƣợc xem là một vector có hƣớng từ đơn cực âm đến đơn cực dƣơng. Khi đó, vector momen lƣỡng cực đƣợc xác định bởi công thức :
.
V
P I d
(2.4) Trong đó, d là khoảng cách nguồn và IV là độ lớn của các đơn cực. Khi đó, lƣỡng cực đƣợc đặc trƣng bởi momen lƣỡng cực và vị trí tâm.
Theo công thức tính trong chƣơng 1, các điện thế này tỷ lệ tuyến tính với momen lƣỡng cực, P, theo công thức
Φ = A(r).P (2.5)
Trong đó, A(r) gọi là ma trận chuyển tƣơng ứng với mỗi vị trí r cũng nhƣ moment của lƣỡng cực. Gọi Popt là momen của lƣỡng cực tối ƣu cục bộ, khi đó ta cũng có:
Popt = [At(r) A(r)]-1 At(r) Φopt (2.6) Gọi Φobs=(Φ1
obs,Φ2
obs,…,ΦN
obs) là điện thế đo đƣợc thực tế đƣợc xác định tại N vị trí trên lồng ngực thông qua các điện cực (electrode). Khi đó, Hàm mục tiêu của thuật toán tối ƣu toàn cục đƣợc xác định theo công thức bình phƣơng tối thiểu giữa điện thế đo đƣợc thực tế và điện thế phát sinh bởi lƣỡng cực. Ta có công thức:
S(r,P) = (Φobs-Φ)t(Φobs-Φ) (2.7) Khi đó, sai số của lƣỡng cực tối ƣu cục bộ sẽ đƣợc xác định nhƣ sau :
S(r,Popt) = (Φobs-Φopt)t(Φobs-Φopt)
= Φtobs{E-A(r)[At(r)A(r)]-1At(r)}Φobs (2.8) Trong đó, E là ma trận đơn vị, ký hiệu t là ký hiệu chuyển vị ma trận. Từ công thức trên ta thấy, hàm mục tiêu S(r, Popt) chỉ phụ thuộc duy nhất vào vị trí của lƣỡng cực chứ không phụ thuộc vào các tham số khác nhƣ hƣớng và độ lớn của lƣỡng cực. Và việc xác định lƣỡng cực tƣơng đƣơng tối ƣu toàn cục có thể đƣợc xác định bằng thuật toán tối ƣu toàn cục.
2.3.4 Giải quyết bài toán
Trong bài toán đảo điện tim đồ, ta cần xác định nguồn điện phát sinh trong tim. Đối với bài toán điện trƣờng sinh học, việc xác định nghiệm là rất khó do độ phức tạp của miền nghiệm cũng nhƣ sự không ổn định của dữ liệu đầu vào. Ở đây nguồn điện đƣợc đặc trƣng bởi các tham số: vị trí (x, y), góc quay , độ lớn của nguồn IV và khoảng cách nguồn d. Nghiệm của bài toán đảo là nghiệm mà giá trị hàm mục tiêu là nhỏ nhất. Mô hình giải quyết bài toán đảo nhƣ sau:
Hình 2.12. Sơ đồ quy trình giải quyết bài toán
Thuật toán tối ƣu
Điện thế đo đƣợc Nguồn dự kiến Vị trí (x,y) Hƣớng Độ lớn m FEM Hàm mục tiêu Điện thế tính toán
CHƢƠNG 3: ĐÁNH GIÁ CÁC PHƢƠNG PHÁP TỐI ƢU
Bài toán cục bộ hóa nguồn năng lƣợng điện tâm đồ đƣợc coi nhƣ một bài toán tối ƣu. Ở phần trƣớc đã trình bày, lời giải cho bài toán đảo điện tâm đồ có thể thu đƣợc bằng việc sử dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn kết hợp với một phƣơng pháp tối ƣu trong việc đánh giá các tham số của các nguồn năng lƣợng lƣỡng cực. Trong luận văn này, sẽ giới thiệu ba phƣơng pháp tối ƣu: thuật toán di truyền, mô phỏng luyện kim, phƣơng pháp downhill simplex, sau đó so sánh ba phƣơng pháp trên trong việc giải bài toán đảo điện tâm đồ.