Đó là:
Xác suất của một tiến trình đến trong khoảng thời gian t đƣợc định nghĩa là t o( t), với t 1 và là hằng số tỷ lệ lý thuyết.
Xác suất không có tiến trình đến nào trong khoảng thời gian t là
) t ( o t 1
Tiến trình đến không có nhớ: một tiến trình đến trong khoảng thời gian t
là độc lập với các tiến trình trƣớc đó và các tiến trình trong tƣơng lai.
Nếu lấy một chu kỳ T, tìm xác suất p(k) của k tiến trình đến trong thời gian T đƣợc cho bởi: ! ) ( k e T k p T k với k = 0, 1, 2, 3…
Nó đƣợc gọi là phân bố Poisson. Đây là một phân bố chuẩn ( ) 1 0 k k p và giá trị kỳ vọng là : 0 ) ( ) ( k T k kp k E
Phƣơng sai : k2 E(k2) E2(k) hay: T k E k2 ( )
Tham số là hằng số tỷ lệ, đƣợc xem là tham số tốc độ:
T k
E( )
Phƣơng trình (2-25) mô tả tốc độ đến trung bình của tiến trình Poisson. Bình thƣờng giá trị trung bình E(k) tiến tới không tƣơng đƣơng với T lớn:
T k
E
k / ( ) 1/ . với nghĩa là T lớn, phân bố có quan hệ chặt chẽ với giá trị trung bình T. Do đó nếu một thông số (ngẫu nhiên) số các tiến trình đến n trong khoảng thời gian T lớn („lớn‟ theo nghĩa T >>1, hoặc T >> 1/ ), n/T có thể đánh giá . Cũng chú ý là p(0) e T. Khi T tăng với phân bố đỉnh E (k) = T, xác suất không có tiến trình đến nào trong khoảng thời gian T tiến đến không với e mũ T.
3.1.3. Tiến trình Markov
Tiến trình (quá trình) Markov là một quá trình ngẫu nhiên với đặc tính nhƣ sau: trạng thái ck tại thời điểm k là một giá trị trong tập hữu hạn {1,..,M}. Với giả thiết rằng quá trình chỉ diễn ra từ thời điểm 0 đến thời điểm N và rằng trạng thái đầu tiên và cuối cùng là đã biết, chuỗi trạng thái sẽ đƣợc biểu diễn bởi một vectơ hữu hạn C = (c0,...,cN).
Nếu P(ck | c0,c1,...,ck − 1) biểu diễn xác suất (khả năng xảy ra) của trạng thái ck tại thời điểm k khi đã trải qua mọi trạng thái cho đến thời điểm k − 1. Giả sử trong quá trình đó thì ck chỉ phụ thuộc vào trạng thái trƣớc ck − 1 và độc lập với mọi trạng thái trƣớc khác. Quá trình này đƣợc gọi là quá trình Markov bậc 1. Có nghĩa là xác suất để trạng thái ck xảy ra tại thời điểm k, khi biết trƣớc mọi trạng thái cho đến thời điểm k − 1 chỉ phụ thuộc vào trạng thái trƣớc, ví dụ: trạng thái ck−1 của thời điểm k − 1. Khi đó ta có công thức:
Nói tóm lại, một hệ có thuộc tính Markov đƣợc gọi là quá trình Markov (bậc 1).
Xích Markov thời gian rời rạc
Trong toán học, một xích Markov hay chuỗi Markov (thời gian rời rạc) là một quá trình ngẫu nhiên thời gian rời rạc với tính chất Markov. Trong một quá trình nhƣ vậy, quá khứ không liên quan đến việc tiên đoán tƣơng lai mà việc đó chỉ phụ thuộc theo kiến thức về hiện tại.
Xích Markov là một dãy X1, X2, X3, ... gồm các biến ngẫu nhiên. Tập tất cả các giá trị có thể có của các biến này đƣợc gọi là không gian trạng thái S, giá trị của Xn là trạng thái của quá trình (hệ) tại thời điểm n.
Nếu việc xác định (dự đoán) phân bố xác suất có điều kiện của Xn+1 khi cho biết các trạng thái quá khứ là một hàm chỉ phụ thuộc Xn thì:
trong đó x là một trạng thái nào đó của quá trình (x thuộc không gian trạng thái S) . Đó là thuộc tính Markov.
3.1.4. Tiến trình Sinh/Tử
Trạng thái của hệ thống đƣợc biểu diễn bằng số các khách hàng n trong một hệ thống. Khi có một khách hàng mới đến thì trạng thái của hệ thống sẽ thay đổi sang n+1, khi có một khách hàng ra đi thì trạng thái hệ thống sẽ thay đổi sang n-1, ta có lƣợc đồ chuyển tiếp trạng thái là quá trình sinh tử.
0 1 2 i-1 i i+1 λ2 λ0 λ1 µ1 µ2 µ3 ... λi-2 µi-1 λi-1 λi µi µi+1