CHƢƠNG 4 : TÍNH TOÁN – SO SÁNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỐ
4.2. Tính toán số với mô hình lục giác đều
4.2.1. Xây dựng mô hình
- Mô hình vật liệu tuần hoàn hai pha cốt liệu elip phân bố theo hình lục giác đƣợc xây dựng nhƣ sau trên phần mềm ANSYS:
Hình 4.10. Mô hình vật liệu tuần hoàn cốt liệu elip phân bố hình lục giác
- Không mất tính tổng quát, ta tách một phân tố ra để tính toán:
Hình 4.11. Phân tố tính toán cốt liệu elip mô hình lục giác
Hình 4.12. Mô hình vật liệu tính toán tương đương hình lục giác
- Chia lƣới mô hình để áp dụng PPPTHH: phần tử đƣợc chọn là phần tử tam giác, đảm bảo đƣợc độ mịn cho mô hình:
b. Cốt liệu tròn
Hình 4.13. Chia lưới mô hình vật liệu lục giác
4.2.2. Kết quả tính toán phƣơng pháp số
Các bƣớc tính toán phƣơng pháp số đối với mô hình lục giác tƣơng tự mô hình vuông đã tính ở trên. Tuy nhiên, do vật liệu mô hình này là đẳng hƣớng hoàn toàn nên Modun trƣợt μ chỉ có một thành phần là μ11. Các ký hiệu trên biểu đồ nhƣ đã trình bày ở đầu chƣơng:
- FEM E: Đƣờng kết quả tính theo phƣơng pháp số với vật liệu cốt liệu elip - FEM C E: Đƣờng kết quả tính theo phƣơng pháp số với vật liệu tƣơng
đƣơng cốt liệu tròn
- HS: Đƣờng đánh giá Hashin – Strikman, đƣờng phía trên là đánh giá trên, đƣờng phía dƣới là đánh giá dƣới.
a. TH1: KM = 10; KI = 1 ; μM = 2 ; μI = 0.4; KI’ = 0,8212 ; μI’ = 0,3629
a. Biểu đồ quan hệ giữa Keff – vI
b. Biểu đồ quan hệ giữa μeff – vI
b. TH2: KM = 1; KI = 10 ; μM = 2 ; μI = 0.4; KI’ = 6,9577 ; μI’ = 0,4289
a. Biểu đồ quan hệ giữa Keff – vI
b. Biểu đồ quan hệ giữa μeff
– vI
c. TH3: KM = 10; KI = 1 ; μM = 0.4; μI = 2; KI’ = 1,0463 ; μI’ = 1,9283
a. Biểu đồ quan hệ giữa Keff – vI
b. Biểu đồ quan hệ giữa μeff
– vI
d. TH4: KM = 1; KI = 10 ; μM = 0,4 ; μI = 2; KI’ = 12,8297 ; μI’ = 2,1166
a. Biểu đồ quan hệ giữa Keff – vI
b. Biểu đồ quan hệ giữa μeff – vI
KẾT LUẬN CHƢƠNG 4
Nội dung chính của chƣơng 4 là xây dựng mô hình tính toán để áp dụng tính toán phƣơng pháp số, nhằm đồng nhất hóa vật liệu và kiểm tra quá trình tính toán lý thuyết ở chƣơng 2. Việc xây dựng mô hình đƣợc thực hiện trên phần mềm Ansys 14, tính toán số thực hiện trên phần mềm Matlab. Kết quả của chƣơng 4 đã thu đƣợc là xác định đƣợc hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu đẳng hƣớng hai chiều cốt liệu elip trong hai mô hình vật liệu vuông và lục giác, đồng thời kiểm chứng đƣợc công thức xác định hệ số đàn hồi của cốt liệu tròn trong mô hình vật liệu tƣơng đƣơng ở chƣơng 2 là tốt. Kết quả này sẽ là cơ sở để xây dựng bài toán tƣơng tự với các mô hình vật liệu khác, cũng nhƣ là cơ sở để phát triển bài toán này ở mức độ cao hơn.
KẾT LUẬN
Trong kỹ thuật vật liệu, đồng nhất hóa các vật liệu không đồng nhất là công việc rất cần thiết để xác định các tính chất vĩ mô của vật liệu, từ đó xác định các ứng xử của vật liệu khi chịu tác dụng của các lực, nhằm ứng dụng vật liệu đó phù hợp trong thực tế. Vì vậy việc đơn giản hóa quá trình tính toán đồng nhất hóa vật liệu bằng cách đƣa các mô hình phức tạp về các mô hình đơn giản hơn là rất quan trọng. Tính toán bằng phƣơng pháp số với việc áp dụng các phần mềm nhƣ Matlab, Mapple, Ansys…trên cơ sở Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một bƣớc tiến quan trọng trong kỹ thuật tính toán. Phƣơng pháp này cho phép tính đƣợc các phép tính phức tạp, quy mô lớn với độ chính xác cao hơn, từ đó cho phép so sánh kiểm tra phƣơng pháp tính truyền thống. Luận văn này đã xây dựng đƣợc công thức xác định các hệ số đàn hồi của cốt liệu hình tròn trong mô hình vật liệu tƣơng đƣơng với mô hình vật liệu hai pha đẳng hƣớng cốt liệu elip. Từ đó làm đơn giản hóa quá trình tính toán. Kết quả đã đƣợc kiểm tra bằng tính toán bằng phƣơng pháp số. Kết quả này có thể ứng dụng trong việc đồng nhất hóa các vật liệu cốt liệu elip trong thực tế. Đồng thời có thể sử dụng làm cơ sở để xây dựng công thức xác định các mô hình tƣơng đƣơng cho các mô hình khác. Với những kết quả đã đạt đƣợc, hiện nay chúng tôi đang phát triển bài toán này ở mức độ cao hơn, cũng nhƣ áp dụng để tính toán các loại vật liệu có cốt liệu khác, kết quả sẽ đƣợc công bố trong thời gian tới.
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt:
1. Trần Anh Bình (2014), Xấp xỉ phân cực cho các mô đun đàn hồi vật liệu 3D đa
thành phần đẳng hướng, Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc
Kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học, Hà Nội.
2. Phạm Đức Chính (1995), Đánh giá các tính chất cơ lý vĩ mô của vật liệu đẳng hướng nhiều pha, Luận án Phó tiến sĩ khoa học toán lý, Hà Nội.
3. Phạm Đức Chính (1996), Đánh giá các tính chất cơ lý của vật liệu tổ hợp đẳng
hướng và đa tinh thể, Luận án Tiến sĩ khoa học toán lý, Hà Nội.
4. Ngô Hƣơng Nhu (2001), Phương pháp phần tử hữu hạn trong cơ học vật rắn
biến dạng, Viện Cơ học, Hà Nội.
5. Chu Quốc Thắng (1997), Phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Khoa học và
Kỹ thuật, Hà Nội.
Tiếng Anh:
6. Beran, M.J, (2005), Statistical Continuum Theories, NewYork, Wiley.
7. Christensen, R.M,(1979), Mechanics of Composite Materials, Newyork, Wiley. 8. Pham Duc Chinh (2013), Essential Solid Machanics, Institute of Mechanics,
VAST, Hanoi.
9. Eshelby, J.D. (1957): The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion and related problems. Proc. R. Soc. Lond. A 241, 376–396
10. Erwin Stein, René de Borst, Thomas J. R. Hughes (2004), Encyclopedia of computational mechanics Volume 1,2,3, John Wiley & Sons.
11. Hashin Z. (1962), The elastic moduli of heterogeneous materials, J. Appl.
Mech. 29,143-150.
12. Hashin Z. (1965), On elastic behaviour of fiber reinfoeced materials of arbitrary transverse phase geometry. J. Mech. Phys. Solids 13, 119.
13. Hashin Z., Strikman S(1963). A variational approach to the theory of elastic behaviour of multiphase materials. J. Mech. Phys. Solids 11, 127-140.
14. Hashin Z., Rosen W., (1964), The elastic moduli of fiber reinforced materials, J.Appl.Mech.31, 223.
15. Hill R(1952), The elastic behaviour of a crystalline aggregate, Proc. Phys. Soc. A65,349-354.
16. Hill R. (1965), Self-consistent mechanics of composite materials. J. Mech.
Phys. 13, 213-222
17. G. R. LiuS. S. Quek (2003), The Finite Element Method: A Practical Course,
18. Miller, M.N, (1969), Bounds for the effective elastic bulk modulus of heterogeneous materials, J.Math. Phys.10, 2005 – 2013.
19. Milton G.W (2001), The theory of composite, Cambridge University Press. 20. Mori, T., Tannaka, K. ,(1973), Average stress in matrix and averege elastic
energy of materials with misfitting inclusions, Acta Metall.21 571 – 574.
21. Norris, A.N.,(1985), A differential scheme for effective moduli of composites,
Mech. Mater.4, 1-16.
22. Norris, A.N.,(1989), An examination of the Mori – Tanaka effective medium approximation for multiphase composites, ASME J.Appl. Mech.56 83 – 88.
23. S. Nemat-Nasser, M. Hori, Micromechanics,(1993): Overall properties of heterogeneous materials. North-Holland, Amsterdam.
24. Paul B, (1960), Prediction of elastic constans of multiphase materials,
Trans.ASME 218,36.
25. Pham.D.C (2013), Strong-contrast expansion correlation approximations for the effective elastic moduli of multiphase composites, Archive of Aplied
Mechanic.82,377-389.
26. Pham.D.C (1997), Estimations for the overall properties of some isotropic locally-ordered composites, Acta Mech. 121 177-190.
27. D.C. Pham , A.B. Tran, Q.H. Do (2013), On the effective medium approximations for the properties of isotropic multicomponent matrix-based composites, International Journal of Engineering Science 68 (2013) 75–85
28. Pham.D.C (2012), Bounds on the elastic moduli of statistically isotropic multicomponent materials and random cell polycrystals, International Journal
of Solids and Structures 49 2646 – 2659.
29. Pham.D.C (2000), Weighted self-consistent approximations for elastic completely random mixtures, Mechanics of Materials 32 463- 470.
30. Pham D.C. (1996), On macroscopic conductivity and elastic properties of perfectly – random cell composites, Int.J.Solids Struct.33, 1745 -1755.
31. Pham D.C,(1993), Bounds on the effective shear modulus of multiphase materials, Int.J.Eng.Sci.31,11-13.
32. Pham D.C,(1994), Bounds the effective conductivity and elastic moduli of fully-disordered multicomponent materials, Arch.Ration.Mech.Anal.127, 191 - 198.
33. Pham D.C,(1994), Estimations for the overall properties of some isotropic locally – ordered composites, Acta Mech.121, 177-199.
34. Phan – Thien, N., Pham, D.C, (1997), Differential multiphase models for polydispersed suspensions and particulate solids, J. Non – Newtonion Fluid
Mech.72, 305 – 318.
35. Phan Thien, N., Milton, G.W.,(1983), New third-oder bounds on the effective moduli of N-phase composites, Q.Appl.Math.41, 59-74.
36. Reuss, A. (1929). Berechnung der Fliebgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizitatzsbedingung fur Einkristalle. ZAMM, 9, 49
37. Torquato,S.,(2002), Random Heterogenenous Materials, Springer.
38. Tran, A.B., Yvonnet, J., He, Q-C., Toulemonde, C., Sanahuja, J. (2011): A multiple level set approach to prevent numerical artefacts in complex microstructures with nearby inclusions within XFEM. Int. J. Numer.
Meth.Eng., 85:14361459.
39. Voigt, W. (1928). Lehrbuch der Krystallphysik . Leipzig: Teubner
40. Yvonnet, J., He, Q-C., Toulemonde, C. , (2008): Numerical modelling of the
effective conductivities of composites with arbitrarily shaped inclusions and highly conducting interface. Compos. Sci. Technol., 68:28252828.
41. O.C. Zienkiewicz; R.L. Taylor,(2000), The Finite Element Method,
Butterworth – Heinmann.
42. Weng, G.J, (1984), Some elastic properties of reinforce solids, with special reference to isotropic ones containing spherical inclusion,Int.J Eng.Sci.22,
845.
43. Willis,J.R, (1981), Variational and related methods for the overall properties of composite materials, In:Yih,C.S, (Ed), Advances an
Appl.Mech.Academic Press, 2-78.
44. Wolpole L.J (1966), On bounds for the overall elastic moduli of inhomogeneous systems, J.Mech.Phys.Solids.14 , 152-162.
Tiếng Pháp:
45. Anh Binh TRAN, (2008), Modélisation numérique du comportement viscoélastique du béton par la méthode ”Level-Set” et la méthode des éléments finis étendus, Master de Recherche (M2), Université Paris-Est Marne-La-Valée.