C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
5.Phương pháp quy nạp
3.6. Khai thác một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất
Ký hiệu sqrt là căn bậc 2 và cbb là căn bậc 3 Ta hãy bắt đầu từ 1 bài toán đơn giản:
Bài 1: Cho .Tìm Min của:
Giải: Rõ ràng ko thể áp dụng Cosi ngay để vì dấu = xảy ra khi a=1, mâu thuẫn với đk
Ta dự đoán từ đề bài rằng P sẽ nhỏ nhất khi a=3 và đây chính là "điểm rơi" của bài toán.Khi a=3
thì và
Ta áp dụng Cosi như sau: ta có
Khi đó kết hợp với đk ta có
Dễ thấy khi a=3 thì .Vậy khi
a=3
Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR:
Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra khi
a=b=c=1.Lúc này và 1+b=2.Ta áp dụng
Cosi như sau:
Tương tự cho 2 BĐT còn lại.Khi đó ta có .Tiếp tục áp dụng Cosi cho 3 số ta có
.Thay vào ta có
Bài 3:
Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1.CMR:
P= + + >=
Giải:
Đầu tiên ta thấy trong căn có dạng nên
nghĩ ngay đến sử dụng Bunhi dạng .Ở đây dễ
thấy .Vậy còn a và b.Ta sẽ sử
dụng PP "điểm rơi". Ta hãy cứ viết
và dấu "=" đạt được khi .Ta chú ý tiếp đk x+y+z=1 và "dự đoán" dấu = xảy ra ở bài toán
khi .Khi đó ta có 9a=b.Cho a=1
và b=9 ta được ngay:
Tương tự cho y và z.Cuối cùng ta sẽ có 1 bài toán đơn giản hơn rất nhiều và chỉ là TH đặc biệt của bài toán 1.
Cuối cùng là 1 bài toán mình xin dành lời giải cho các bạn
Bài 4: Cho a,b,c dương và a+b+c=3.Tìm Min:
P= + +
3.6. Khai thác một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất nhất
"Cho . Tìm GTNN của "
Đối với dân chuyên Toán và có thể nhiều bạn khác nữa, bài toán này tương đối dễ. Còn đối với dân không phải dân chuyên Toán, việc giải và mở rộng bài toán này đã đưa đến nhiều kết quả thú vị. Hãy thử xem? Trước hết chúng ta xem xét lời giải của bài toán trên:
Cộng 2 BĐT trên ta có
. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
Tuy nhiên vấn đề đặt ra là tại sao nghĩ ra được số để thêm vào BĐT? Để giải quyết vấn đề này, sử dụng ý tưởng dùng BĐT như trên, nhưng tôi sẽ thêm vào 1 số nào đó:
Cộng hai BĐT trên ta có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
Giả sử đã tồn tại để dấu "=" xảy ra, khi đó
.
Thay vào F được GTNN của F là đạt được khi .
Như vậy việc đưa số vào áp dụng BĐT là hoàn toàn có cơ sở. Từ đó tôi đã nâng bài toán lên với hệ số các số hạng là các số dương:
"Cho . Tìm GTNN
của "
Mục tiêu của chúng ta là dùng BĐT Cô-si sao cho khi cộng 2 BĐT vào, ta có vế trái là 2F cộng với 1 số hạng nào đó, còn vế phải chứa biểu thức đã cho trong giả thiết. Rõ ràng việc đặt số đơn lẻ sẽ không đưa đến kết quả mà phải biến đổi số hạng cộng vào mỗi BĐT
Cách đặt số hạng cộng vào này giúp ta triệt tiêu được c bên vế trái, nhân thêm được hệ số a vào vế phải. Ta tiếp tục cộng 2 BĐT:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
. Khi đó . Giả sử đã
có alpha thỏa mãn dấu "=", tức là: (1)
Khi đó theo (1) tìm được GTNN của F là
Lần này, chúng ta phát triển bài toán theo hướng tăng dần số mũ. Để tránh phức tạp, chúng ta cho các hệ số bằng 1.
"Cho . Tìm GTNN của
Áp dụng BĐT Cô-si cho 4 số dương:
Ở đây, cộng 3 số hạng bậc 4 của x với 1 số hạng tự do. Mục đích là để khi ta áp dụng BĐT Cô-si, ta thu được một số hạng bậc 3 của x.
Cộng 2 BĐT: .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
. Khi đó (2).
Giả sử tồn tại để dấu bằng xảy ra, vậy thì:
.
Thay vào (2) ta có , đạt được khi x =
y =
Không dừng lại ở việc phát triển hệ số, chúng ta thử nâng bài toán lên với số mũ, số ẩn,và sẽ mở rộng thêm được một số kết quả sau:
Bài toán 1: "Cho
. Tìm GTNN
của "
Áp dụng BĐT Cô-si:
Cộng 3 BĐT vào:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
. Khi đó . Giả sử tồn
tại thỏa mãn dấu "=", khi đó:
. Khi đó đạt được khi
Bài toán 2: "Cho
. Tìm
GTNN của "
Áp dụng BĐT Cô-si:
Cộng 3 BĐT vào:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
.
Tiếp tục làm tương tự như các bài trên, ta thu được kết quả:
Đạt được khi
Bài toán 3: "Cho
. Tìm GTNN
của "
Cộng 2 BĐT:
Tiếp tục làm tương tự như các bài trên, ta thu được kết quả:
Đạt được khi
Các bạn hãy thử tìm lời giải cho các bài toán sau:
Bài toán 4: "Cho
. Tìm
GTNN của ."
Bài toán 5:"Cho
.
Tìm GTNN của ."
Bài toán 6: "Cho
Tìm GTNN của ." (a, b,
c, d, e, f là các số dương)
---The End---
Hy vọng tài liệu này tôi tổng hợp sẽ giúp ích được cho các bạn trong quá trình ôn thi ĐH cũng như trong học tập. Mọi ý kiến đóng góp xin vui long liên hệ theo địa chỉ
ThaoMTA@gmail.com.vn hoặc lethao257@gmail.com.vn - Mobile 0977856521