1.4.1 Đinh lý Cook-levin
Trong lý thuyết về độ phức tạp tính toán, các lớp bài toán được con người xem xét và xử lý chủ yếu thuộc lớp các bài toán NP được quan tâm và dành rất nhiều nghiên cứu từ khi khoa học máy tính phát triển, trong đó các bài toán loại này được chia thành hai lớp:
1. lớp bài toán P: là các bài toán kiểm tra hiệu quả trong thời gian đa thức,
2. lớp bài toán NP-complete: là các bài toán còn lại không thuộc lớp P và mọi bài toán NP khác đều có thể rút gọn về bài toán đó thông qua phép biến đổi xấp xỉ.
Bài toán thỏa mãn biểu thức logic (SAT) là bài toán đầu tiên được chứng minh là bài toán NP-complete, dựa vào 2 định lý được đưa ra trong [4].
Định lý 1.1 Nếu một tập xâu S là chấp nhận được bởi một số máy Turing
phi tất định trong thời gian đa thức, thì S là rút gọn được trong thời gian đa thức về bài toán DNF tautologies.
Định lý 1.2 Các bài toán sau là rút gọn được trong thời gian đa thức cho
nhau (và do vậy mỗi bài toán đều có chung độ mức độ khó đa thức): tautologies, DNF tautologies, D3, subgraph pairs.
Ngay sau khi định lý được đưa ra, tập hợp 21 bài toán quan trọng nhất của lớp bài toán NP-complete được trình bày bởi R.Karp [9]. Trong các bài toán đó
có các bài toán tập phủ, bài toán người đưa thư, bài toán quy hoạch nguyên, bài toán đỉnh phủ là một trong số chúng. Các bài toán tập phủ và đỉnh phủ có mối quan hệ khá gần gũi với bài toán tập đỉnh thống trị. Cho đến bây giờ, một câu hỏi nổi tiếng được đặt ra liệu tập P, NP là một vẫn chưa được giải quyết và đây là một câu hỏi chưa được giải quyết quan trọng nhất của ngành khoa học máy tính.
1.4.2 Định lý không có bữa trưa miễn phí
Các nhà nghiên cứu đã cố gắng tìm ra giải quyết lớp bài toán NP- complete bằng các phương pháp xấp xỉ, với các công bố khác nhau so sánh các thuật toán xem thuật toán nào tốt hơn thuật toán nào để giải quyết vấn đề này. Trong một khoảng thời gian dài, rất nhiều nghiên cứu ứng dụng các thuật toán metaheursitic để giải quyết các bài toán tối NP-complete.
Họ luôn so sánh xem thuật toán nào là tốt nhất, chẳng hạn việc so sánh tối ưu giữa các thuật toán tối ưu bầy đàn, tối ưu đàn kiến, giải thuật di truyền. Để chứng minh thuật toán nào tốt nhất, họ sử dụng một lượng hữu hạn các bộ dữ liệu mà họ tạo ra hoặc thu được từ các đo đạc trong thực tế. Cuộc tranh luận kéo dài cho đến khi định lý không có bữa trưa miễn phí cho tìm kiếm và tối ưu ra đời vào năm 1995 và 1997 [28], [29].
Định lý 1.3 hai thuật toán bất kỳ có hiệu suất trung bình như nhau cho
toàn bộ các vấn đề có thể có.
Đinh lý trên cho chúng ta biết bất kỳ thuật toán nào có hiệu suất tốt trên một số tập dữ liệu sẽ phải trả một cái giá về sự giảm hiệu năng trên các tập dữ liệu còn lại. Cuộc tranh luận về các thuật toán nào tốt hơn chấm dứt. Bên cạnh đó, các công bố trên còn cho phép cách áp dụng định lý bữa trưa miễn phí vào để ước lượng hiệu năng của thuật toán cho một số vấn đề nhất định.