Mục này dành cho việc trình bày về không gian Fréchet-Urysohn , không gian I-Fréchet-Urysohn , không gian dãy, không gian I-dãy. Nghiên cứu tính di truyền lên không gian con, không gian thương, không gian tổng cũng như mối liên hệ của các không gian đó.
Định nghĩa 2.4.1 ([5]). Giả sử (X, τ) là một không gian topo. Khi đó, 1) X được gọi là không gian Fréchet-Urysohn nếu với mỗi x ∈ A, tồn
tại dãy {xn} ⊂ A sao cho xn →x.
2) X được gọi là không gian I-Fréchet-Urysohn nếu với mỗi x ∈ A, tồn tại dãy {xn} ⊂ A sao cho xn →I x.
Định nghĩa 2.4.2 ([5]). Cho (X, τ) là một không gian topo. Khi đó, 1) X được gọi là không gian dãy nếu mọi tập con đóng dãy trong X đều
là tập đóng.
2) X được gọi là I-dãy nếu mỗi tập con I-đóng là đóng trong X. Định lí 2.4.3 ([5]). Đối với không gian topo (X, τ), các khẳng định sau là đúng.
1) Nếu I là ideal chấp nhận được và X là không gian Fréchet-Urysohn , thì X là không gian I-Fréchet-Urysohn ;
2) NếuX là không gian I-Fréchet-Urysohn , thìX là không gian I-dãy; 3) Không gian con của không gian I-Fréchet-Urysohn là không gian
Chứng minh. (1) Giả sử X là không gian Fréchet-Urysohn , A ⊂ X và x ∈ A. Khi đó, tồn tại dãy {xn} ⊂ A sao cho xn → x. Bởi vì I là ideal chấp nhận được nên nhờ Nhận xét 2.2.2 ta suy ra xn →I x. Như vậy, X là không gian I-Fréchet-Urysohn .
(2) Giả sử A là tập con I-đóng trong X. Ta chứng minh rằng A là tập con đóng trong X. Thật vậy, giả sử ngược lại A không đóng trong X. Khi đó, tồn tại x ∈ A\A. Bởi vì X là không gian I-dãy nên tồn tại dãy {xn} ⊂ A sao cho xn →I x. Mặt khác, vì A là tập đóng dãy nên ta suy ra x ∈ A. Điều này mâu thuẫn với x /∈ A. Như vậy, A đóng trong X.
(3) Giả sử Y là không gian con của không gian I-Fréchet-Urysohn
(X, τ), A⊂ Y và x ∈ AY. Khi đó, vì
AY = Y ∩A
nên ta suy ra x ∈ A. Bởi vì X là I-Fréchet-Urysohn nên ta suy ra tồn tại dãy {xn} ⊂ A sao cho xn →I x trong X. Bây giờ để hoàn thành chứng minh ta chỉ cần chứng tỏ rằng xn →I x trong Y. Thật vậy, giả sử U là lân cận mở của x trong Y. Khi đó, tồn tại lân cận mở V của x trong X sao cho U = Y ∩ V. Bởi vì xn →I x trong X nên
{n ∈ N : xn ∈/ V} ∈ I. Mặt khác, vì {xn} ⊂ A ⊂Y nên ta suy ra {n ∈ N : xn ∈/ U} = {n ∈ N : xn ∈/ V} ∈ I. Như vậy, xn I → x trong Y.
Định lí 2.4.4 ([5]). Giả sử I và J là hai ideal của N thỏa mãn I ⊂ J. Khi đó, nếu X là không gian I-Fréchet-Urysohn , thì X là không gian J-Fréchet-Urysohn .
Chứng minh. Giả sử rằng A ⊂ X và x ∈ A. Khi đó, vì X là không gian I-Fréchet-Urysohn nên tồn tại dãy {xn} ⊂ A sao cho xn →I x. Kết hợp
với I ⊂ J, ta suy ra với mọi lân cận U của x trong X ta có {n∈ N : xn ∈/ U} ∈ I ⊂ J.
Điều này chứng tỏ rằng tồn tại dãy {xn} ⊂ A sao cho xn →J x. Như vậy, X là không gian J-Fréchet-Urysohn .
Bổ đề 2.4.5 ([5]). Giả sử (X, τ) là một không gian dãy. Khi đó, 1) Mỗi tập con I-đóng là đóng dãy;
2) Mỗi tập con I-mở là mở dãy.
Chứng minh. (1) Giả sửF là tập conI-đóng và{xn} ⊂ F sao cho xn → x trong X. Khi đó, theo Nhận xét 2.2.2(1) ta suy ra xn →I x. Bởi vì F là tập I-đóng nên x ∈ F, do đó F là tập đóng dãy.
(2) Giả sử rằng U là tập I-mở. Khi đó, X \U là tập I-đóng. Theo (1) ta suy ra X \U là tập đóng dãy, do đó U là tập mở theo dãy.
Bổ đề 2.4.6 ([5]). Không gian topo (X, τ) là I-dãy khi và chỉ khi mỗi tập con I-mở là mở trong X.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử X là không gian I-dãy và U là tập I-mở của X. Ta cần chứng minh rằng U là tập mở. Thật vậy, vì U là tập I-mở nên X \U là tập I-đóng. Bởi vì X là không gian I-dãy nên X \U là tập đóng. Do đó, U là tập mở trong X.
Điều kiện đủ. Giả sử mỗi tập I-mở trong X là mở. Ta cần chứng minh rằng X là không gian I-dãy. Thật vậy, giả sử U là tập I-đóng trong X. Khi đó, X \U là tập I-mở trong X. Theo giả thiết điều kiện đủ ta suy ra X \U là mở trong X. Do đó, U là tập đóng trong X.
Bổ đề 2.4.7 ([5]). Cho I,J là hai ideal trên N sao cho I ⊂ J và (X, τ)
là một không gian topo. Khi đó, nếu X là không gian I-dãy, thì X cũng là không gian J-dãy.
Chứng minh. Giả sử U ⊂ X là tậpJ-mở. Khi đó, theo Bổ đề 2.2.6 ta suy ra U cũng là tập I-mở. Hơn nữa, vì X là không gian I-dãy nên U là tập mở trong X. Bởi thế, X là một không gian J-dãy.
Định lí 2.4.8 ([5]). Mọi không gian dãy là không gian I-dãy.
Chứng minh. Giả sử (X, τ) là không gian dãy và U là tập I-đóng trong X. Khi đó, theo Bổ đề 2.4.5 ta suy ra U là tập đóng dãy. Mặt khác, vì X là không gian dãy nên U là tập đóng trong X. Như vậy, X là không gian dãy.
Định lí 2.4.9 ([5]). Không gian I-dãy là di truyền lên không gian con I-đóng và di truyền lên không gian con I-mở.
Chứng minh. Giả sử (X, τ) là không gian I-dãy và Y ⊂ X. Khi đó, (1) Nếu Y là tập con I-mở của X, thì do X là không gian I-dãy nên theo Bổ đề 2.4.5 ta suy ra Y mở trong X. Ta chứng minh rằng Y là không gian I-dãy.
Giả sử U là tập con I-mở trong Y. Khi đó, vì X là không gian I-dãy nên theo Bổ đề 2.4.6, để chứng minh U mở trong Y ta chỉ cần chứng minh rằng U là tập I-mở trong X. Thật vậy,
◦ Nếu U = Y, thì do Y là tập I-mở trong X nên ta suy ra U là tập I-mở trong X.
◦ Nếu U 6= Y, thì tồn tại y ∈ Y \U. Bây giờ, giả sử rằng x ∈ U và dãy {xn} ⊂ X sao cho xn →I x. Bởi vì Y mở trong X và x ∈ Y nên
{n ∈ N : xn ∈/ Y} ∈ I. Với mọi n ∈ N, ta đặt yn = xn nếu xn ∈ Y y nếu xn ∈/ Y.
Khi đó,
{n ∈ N : xn 6= yn} = {n ∈ N : xn ∈/ Y} ∈ I.
Nhờ Bổ đề 2.2.5, ta suy ra rằng yn →I x. Mặt khác, vì y /∈ U nên |{n ∈ N : xn ∈/ U}| = |{n ∈ N : yn ∈/ U}|.
Do đó, theo Bổ đề 2.3.6 ta suy ra U là tập I-mở.
(2) Nếu Y là tập con I-đóng của X, thì theo Bổ đề 2.4.5 ta suy ra Y đóng trong X. Ta chứng minh rằng Y là không gian I-dãy.
Giả sử F là tập con I-đóng trong Y. Khi đó, vì X là không gian I-dãy nên theo Bổ đề 2.4.6, để chứng minh F mở trong Y ta chỉ cần chứng minh rằng F là tập I-đóng trong X.
Thật vậy, giả sử {xn} ⊂ F thỏa mãn xn I
→ x trong X. Bởi vì Y là đóng nên ta có x ∈ Y. Như vậy, xn →I x trong Y. Bởi vì F là tập I-đóng trong Y nên ta suy ra x ∈ F. Do đó, F là tập I-đóng của Y.
Định lí 2.4.10 ([5]). Giả sử I là một ideal chấp nhận được và (X, τ) là một không gian topo. Khi đó, X là không gian I-Fréchet-Urysohn khi và chỉ khi mọi không gian con của X đều là không gian I-dãy.
Chứng minh. Điều kiện cần. GIả sử X là không gian I-Fréchet-Urysohn . Khi đó, theo Định lí 2.4.3 (3) ta suy ra mọi không gian con của X là I-Fréchet-Urysohn . Lại theo Định lí 2.4.3 (2) ta suy ra mọi không gian con của X là không gian I-dãy.
Điều kiện đủ. Giả sử mọi không gian con của X đều là không gian I-dãy. Ta chứng minh X là không gian I-Fréchet-Urysohn . Thật vậy, giả sử A ⊂ X và x ∈ A. Khi đó,
◦ Nếu x ∈ A, thì ta lấy xn = x với mọi n∈ N. Khi đó, ta thu được dãy {xn} ⊂ A. Bởi vì I là ideal chấp nhận được nên ta có
Như vậy, xn →I x trong X.
◦ Nếu x /∈ A, thì x ∈ A\A, kéo theo A không đóng trong X. Bây giờ, ta đặt Y = A∪ {x}, khi đó Y là không gian con của X. Bởi vì A ⊂ Y và A không đóng trong X nên A không đóng trong Y. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng A đóng trong Y. Khi đó, tồn tại F đóng trong X sao cho
A = Y ∩F = (A∪ {x})∩F = (A∩F)∪({x} ∩F). (2.1) Nhờ (2.1) ta suy ra A ⊂ F, kéo theo x ∈ A ⊂ F = F. Do đó, từ (2.1) ta có A = A∪ {x}, đây là một mâu thuẫn.
Bởi giả thiết ta suy ra Y là không gian I-dãy. Do đó, tồn tại dãy {xn} ⊂ A sao cho xn →I x.
Như vậy, X là không gian I-Fréchet-Urysohn .
Định lí 2.4.11 ([5]). Giả sử {(Xα, τα)}α∈Λ là họ gồm các không gian topo và X = L
α∈ΛXα. Khi đó,
1) Nếu (Xα, τα) là không gian I-Fréchet-Urysohn với mọi α ∈ Λ, thì X cũng là không gian I-Fréchet-Urysohn ;
2) Nếu(Xα, τα) là không gian I-dãy với mọiα ∈ Λ, thìX cũng là không gian I-dãy.
Chứng minh. (1) Giả sử A ⊂ X và x ∈ A. Khi đó, tồn tại α ∈ Λ sao cho x ∈ Xα. Trước tiên ta chứng minh rằng
Xα ∩A= Xα∩ AXα. (2.2) ◦ Ta có Xα∩AXα là tập đóng nhỏ nhất trong Xα chứa Xα∩A. Bởi vì A đóng trong X chứa A nên Xα∩A là tập đóng trong Xα chứa Xα∩A. Do đó,
◦ Xα∩AXα là tập đóng trong Xα nên tồn tại F đóng trong X sao cho Xα∩AXα = Xα∩F.
Bởi vì Xα∩A ⊂ Xα nên ta có
Xα∩A ⊂ Xα∩ AXα = Xα∩F.
Suy ra Xα ∩ A ⊂ F, kéo theo Xα∩A ⊂ F = F. Mặt khác, vì Xα đóng trong X nên
Xα∩A ⊂ Xα = Xα. Do đó, ta có
Xα ∩A ⊂Xα∩F = Xα ∩FXα. (2.4) Nhờ (2.3) và (2.4) ta suy ra (2.2) là đúng.
Tiếp theo, bởi vì
x ∈ Xα ∩A= Xα∩ AXα
và Xα là không gian I-Fréchet-Urysohn nên tồn tại dãy {xn} ⊂ Xα ∩A sao cho xn →I x trong Xα. Bởi vì {xn} ⊂ A nên để hoàn thành chứng minh ta chỉ cần chứng tỏ rằng xn →I x trong X.
Thật vậy, giả sử U là lân cận mở của x trong X. Khi đó, vì Xα mở trong X nên U ∩Xα là lân cận mở của x trong Xα. Mặt khác, vì xn →I x trong Xα nên tồn tại m ∈ N sao cho
{n∈ N :xn ∈/ U ∩Xα} ∈ I. Hơn nữa, vì {xn} ⊂ Xα nên ta có
{n ∈ N : xn ∈/ U} = {n∈ N :xn ∈/ U ∩Xα} ∈ I. Điều này chứng tỏ rằng xn →I x trong X.
(2) Giả sử F là tập con I-đóng trong X. Khi đó, với mỗi α ∈ Λ, ta có • F ∩Xα là I-đóng trong X.
Thật vậy, giả sử {xn} ⊂ F ∩ Xα sao cho xn →I x trong X. Bởi vì Xα đóng trong X nên theo Bổ đề 2.3.2 ta suy ra Xα là I-đóng trong X. Mặt khác, vì {xn} ⊂ Xα và xn →I x trong X nên x ∈ Xα. Hơn nữa, vì {xn} ⊂ F, xn →I x trong X và F là tập I-đóng nên x ∈ F. Như vậy, x ∈ F ∩ Xα, do đó F ∩Xα là tập I-đóng trong X.
• F ∩Xα là I-đóng trong Xα.
Thật vậy, giả sử {xn} ⊂ F ∩Xα sao cho xn →I x trong Xα và U là lân cận bất kỳ của x trong Xα. Khi đó, tồn tại lân cận V của x trong X sao cho U = Xα∩V. Bởi vì F ∩Xα ⊂ Xα nên
{n ∈ N : xn ∈/ V} = {n∈ N : xn ∈/ U} ∈ I.
Do đó, xn →I x trong X. Bởi vì F ∩ Xα đóng trong X nên ta suy ra x ∈ F ∩Xα. Bởi thế, F ∩Xα là tập I-đóng trong Xα. Hơn nữa, vì Xα là không gian I-dãy nên F ∩Xα là tập đóng trong Xα.
Như vậy, F ∩ Xα là đóng trong Xα với mọi α ∈ Λ. Theo định nghĩa topo tổng ta suy ra F đóng trong X. Do đó, X là không gian I-dãy. Bổ đề 2.4.12 ([5]). Dãy I-hội tụ bất biến qua ánh xạ liên tục.
Chứng minh. Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là ánh xạ liên tục từ không gian topo (X, τ) vào không gian topo (Y, σ), xn →I x trong X. Ta chứng minh rằng f(xn) →I f(x) trong Y.
Thật vậy, giả sử U là lân cận bất kỳ của f(x) trong Y. Khi đó, vì f là ánh xạ liên tục nênf−1(U)là lân cận của xtrong X. Mặt khác, vì xn →I x trong X nên
{n ∈ N : xn ∈/ f−1(U)} ∈ I. Hơn nữa, vì
nên ta suy ra rằng
{n∈ N : f(xn) ∈/ U} ∈ I.
Do đó, f(xn) →I f(x) trong Y, và f bảo toàn dãy I-hội tụ.
Định lí 2.4.13 ([5]). Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là ánh xạ liên tục và
(X, τ) là không gian I-dãy. Khi đó, f bảo toàn I-dãy hội tụ.
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.4.12 ta suy ra và f bảo toàn dãy I-hội tụ. Bây giờ, giả sử rằng f bảo toàn dãy I-hội tụ. Ta chứng minh rằng f liên tục. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng f không liên tục. Khi đó, tồn tạiU ∈ σ sao cho f−1(U) ∈/ τ, kéo theo X \f−1(U) không đóng trong X. Bởi vì X là không gian I-dãy nên ta suy ra X\f−1(U) không là tập I-đóng trong X. Do đó, tồn tại {xn} ⊂ X\f−1(U) sao choxn →I x nhưng x /∈ X\f−1(U). Suy ra x ∈ f−1(U), kéo theo f(x) ∈ U. Mặt khác, vì f bảo toàn I-dãy nên f(xn) →I f(x) trong Y. Hơn nữa, vì U mở nên theo Bổ đề 2.3.2, U là tập I-mở, kéo theo X \U là tập I-đóng. Bởi vì {f(xn)} ⊂ X \U nên ta suy ra f(x) ∈ X \U. Điều này mâu thuẫn với f(x) ∈ U. Như vậy, f là ánh xạ liên tục.
Định lí 2.4.14 ([5]). Không gian thương của một không gian I-dãy là không gian I-dãy.
Chứng minh. Giả sử(X, τ) là một không gian topo,(X∗, τ∗) là không gian thương của X và A ⊂ X∗ là tập I-mở trong X∗. Ta chứng minh rằng A mở trong X∗. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng A không là tập mở trong X∗. Khi đó, nhờ định nghĩa không gian thương ta suy ra π−1(A) không mở trong X, kéo theo X\π−1(A) không đóng trong X. Bởi vì X là không gian I-dãy nên X \π−1(A) không là tập I-đóng trong X. Do đó, tồn tại dãy {xn} ⊂ X \π−1(A) sao cho
trong X. Mặt khác, vì π là liên tục nên nhờ Bổ đề 2.4.12, ta suy ra
π(xn) →I π(x) ∈ A. Như vậy, tồn tại dãy {π(xn)} ⊂ X∗ \A sao cho
π(xn) →I π(x) ∈ A.
Điều này chứng tỏ rằng X∗ \A không là tập I-đóng. Do đó, A không là tập I-mở, đây là một mâu thuẫn.
KẾT LUẬN
Sau một thời gian tìm hiểu và nghiên cứu, các kết quả của luận văn là đọc hiểu và chứng minh chi tiết một số kết quả trong các bài báo [2, 5], và đã thu được những thành quả sau đây.
(1) Trình bày về ideal, lọc trên một tập M, các tính chất cơ bản của nó và mối liên hệ giữa ideal và lọc trên tập hợp M.
(2) Trình bày khái niệm và các tính chất của dãy I-hội tụ. Chứng minh mối liên hệ giữa tính chất của dãy I-hội tụ với một số tính chất của các loại hội tụ khác.
(3) Trình bày về tậpI-mở, tậpI-đóng và các tính chất của chúng. Nghiên