Mục này dành cho việc trình bày về ideal, lọc trên một tập M, các tính chất cơ bản của nó và mối liên hệ giữa ideal và lọc trên tập hợp M. Định nghĩa 2.1.1 ([5]). Giả sử A = 2M là họ gồm tất cả các tập con của M và I ⊂ A. Khi đó,
1) I được gọi là một ideal trên M nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau. (a) Nếu B ⊂ A ∈ I, thì B ∈ I;
(b) Nếu A, B ∈ I, thì A∪B ∈ I.
3) Một idean không tầm thường I trên M được gọi là ideal chấp nhận được nếu {{x} : x ∈ M} ⊂ I;
4) Giả sử I là một ideal không tầm thường trên M. Ta ký hiệu FI = {A⊂ M : M \A∈ I}.
5) Ta ký hiệu
If = {A ⊂ M :A hữu hạn}.
Nhận xét 2.1.2 ([5]). 1) Nếu M là một tập hợp vô hạn, thì If là ideal chấp nhận được;
2) Nếu I là một ideal chấp nhận được trên M, thì I chứa mọi tập con hữu hạn của M.
Thật vậy, giả sử M là tập vô hạn. Khi đó, ta có
Bởi vì M vô hạn nên M /∈ I.
Với mỗix ∈ M, tập hợp{x}là hữu hạn nên {x} ∈ If. Suy ra If 6= ∅, do đó {{x} : n∈ X} ⊂ If.
Như vậy, If là ideal chấp nhận được và (1) thỏa mãn.
Bây giờ, giả sử I là một ideal chấp nhận được trên M và F là tập con hữu hạn của M. Bởi vì I là ideal chấp nhận được nên {x} ∈ I với mọi x ∈ F. Do đó, theo Định nghĩa 2.1.1 (1a) ta suy ra F ∈ I.
Định nghĩa 2.1.3 ([5]). Một họ F ⊂ 2M được gọi là một lọc trên M nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau.
1) ∅∈ F/ và F 6= ∅;
2) Nếu A, B ∈ F, thì A∩B ∈ F; 3) Nếu A ∈ F, B ⊃A, thì B ∈ F.
Ví dụ 2.1.4 ([5]). Giả sử (X, τ) là một không gian topo, x ∈ X và Ux là họ gồm tất cả các lân cận của x. Khi đó, Ux là một lọc trên X.
Thật vậy, ta có
Bởi vì x /∈ ∅ nên ∅ không là lân cận của x, do đó ∅ ∈ U/ x. Mặt khác, vì X ∈ τ nên X là lân cận của x. Suy ra X ∈ Ux, do đó Ux 6= ∅.
Giả sử A, B ∈ Ux, khi đó tồn tại U, V ∈ τ sao cho x ∈ U ⊂ A, x ∈ V ⊂ B.
Bởi vì U ∩V ∈ τ và x ∈ U ∩V ⊂ A∩B nên A∩ B ∈ Ux.
Giả sử A ∈ Ux và B ⊃ A. Khi đó, tồn tại U ∈ τ sao cho x ⊂ U ⊂A, kéo theo x ∈ U ⊂ B. Do đó, B ∈ Ux.
Như vậy, Ux là một lọc trên X.
Bổ đề 2.1.5 ([5]). I là một ideal không tầm thường trên M khi và chỉ khi FI là lọc trên M.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử I là một ideal không tầm thường trên M. Khi đó,
• ∅ ∈ F/ I và FI 6= ∅.
Thật vậy, vì I là không tầm thường nên I 6= ∅và M /∈ I. Bởi vìI 6= ∅ nên tồn tại A ∈ I. Suy ra M \A ∈ FI, và FI 6= ∅. Mặt khác, vì M /∈ I nên ∅∈ F/ I.
• Giả sử A, B ∈ FI. Khi đó, M \A, M \B ∈ I, kéo theo M \(A∩B) = (M \A)∪(M \B) ∈ I. Như vậy, A∩B ∈ FI.
• Giả sử A ∈ FI và B ⊃ A. Khi đó, M \A ∈ I và M \B ⊂ M \A. Bởi vì I là một ideal trên M nên M \B ∈ I, nghĩa là B ∈ FI.
Điều kiện đủ. Giả sử FI là một lọc trên M. Khi đó,
• Bởi vì FI 6= ∅ nên tồn tại A∈ FI. Suy ra M \A ∈ I, và I 6= ∅. • Bởi vì ∅ ∈ F/ I nên M = M \ ∅ ∈ I/ .
• Giả sử A, B ∈ I, khi đó
M \A, M \B ∈ FI. Bởi vì FI là lọc trên M nên
M \(A∪B) = (M \A)∩(M \B) ∈ FI. Như vậy, A∪B ∈ I.
• Giả sử A ∈ I và B ⊂ A. Khi đó, M \A ∈ FI và M \A ⊂ M \B. Bởi vì FI là một lọc trên M nên M \B ∈ FI. Do đó, B ∈ I.
Như vậy, I là một ideal không tầm thường trên M. 2.2. Tính chất của dãy I-hội tụ
Mục này dành cho việc trình bày khái niệm và các tính chất của dãy I-hội tụ. Chứng minh mối liên hệ giữa tính chất của dãy I-hội tụ với một số tính chất của các loại hội tụ khác. Trong mục này ta quy ước I là một ideal nào đó trên N.
Định nghĩa 2.2.1 ([5]). Cho (X, τ) là một không gian topo, {xk} ⊂ X, x ∈ X và Ux là họ gồm tất cả các lân cận của x. Khi đó, {xk} được gọi là I-hội tụ đến x ∈ X nếu với mọi U ∈ Ux, ta có
AU = {k ∈ N : xk ∈/ U} ∈ I.
Lúc này, ta ký hiệu I-limxk = x hoặc xk →I x, và x được gọi là điểm I-giới hạn của dãy {xk}.
Nhận xét 2.2.2 ([5]). Giả sử I là một ideal trên N. Khi đó,
limxk = x, thì I-limxk = x;
2) Nếu I là ideal không tầm thường, thì khẳng định trên nói chung là không đúng.
Thật vậy, ta có
(1) Giả sử I là ideal chấp nhận được, limxk = x và U ∈ Ux. Khi đó, vì {xk} hội tụ đến x nên tập hợp
AU = {k ∈ N : xk ∈/ U}
là hữu hạn. Như vậy, theo Nhận xét 2.1.2 ta suy ra rằng AU ∈ I, do đó I-limxk = x.
(2) Giả sử I = {1} và (X, τ) là một không gian topo thô khác rỗng, nghĩa là τ = {∅, X}. Khi đó, vì I 6= ∅ và N ∈ I/ nên ta suy ra rằng I là một ideal không tầm thường của N. Bây giờ, ta xét dãy {xk} ⊂ X với xk = x với mọi k ∈ N. Khi đó,
◦ limxk = x.
Giả sử U là lân cận bất kỳ của x trong X. Khi đó, xk = x ∈ U với mọi k ∈ N. Suy ra limxk = x.
◦ {xk} không là dãy I-hội tụ đến x trong X.
Giả sử U = X, khi đó U là lân cận của x trong X. Hơn nữa,
AU = {n∈ N :xn ∈/ U} = {n∈ N : x /∈ X} = ∅ ∈ I/ . Như vậy, {xk} không là dãy I-hội tụ đến x.
Bổ đề 2.2.3 ([5]). Giả sử I là một ideal trên N, và (X, τ) là một không gian topo. Khi đó,
1) I = ∅ khi và chỉ khi với mọi dãy hằng {xk = x : k ∈ N} không là I-hội tụ đến x ∈ X.
2) NếuN ∈ I, thì I = 2N, và mọi dãy trong X là I-hội tụ đến mọi điểm của X.
3) NếuI là ideal không tầm thường trênNvàX là không gian Hausdorff, thì mỗi dãy I-hội tụ có duy nhất một điểm I-giới hạn.
Chứng minh. (1) Điều kiện cần. Giả sử I = ∅ và {xk = x : k ∈ N} là một dãy hằng trong X. Khi đó, vì I = ∅ nên AU ∈ I/ với mọi lân cận U của x. Như vậy, {xk} không là dãy I-hội tụ đến x ∈ X.
Điều kiện đủ. Giả sử rằng với mọi dãy hằng {xk = x : k ∈ N} không là I-hội tụ đến x ∈ X. Ta chứng minh I = ∅. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng I 6= ∅. Khi đó, tồn tại A ∈ I. Bởi vì I là một ideal và ∅ ⊂ A nên ∅ ∈ I. Ta lấy x ∈ X và dãy hằng {xk = x : k ∈ N}. Bởi vì {xk} không là I-hội tụ đến x nên tồn tại lân cận U ∈ Ux sao cho
∅ = {k ∈ N : xk ∈/ U}∈ I/ , đây là một mâu thuẫn.
(2) Rõ ràng rằng I ⊂ 2N. Bây giờ, giả sử N ∈ I và A ∈ 2N. Khi đó, A ⊂N. Bởi vì N ∈ I và I là một ideal nên A ∈ I. Như vậy, 2N ⊂ I.
Tiếp theo, giả sử {xk} là một dãy trong X, x ∈ X và U ∈ Ux. Khi đó, {k ∈ N : xk ∈/ U} ∈ 2X = I.
Suy ra {xk} là dãy I-hội tụ đến x trong X.
(3) Giả sử I là ideal không tầm thường và X là không gian Hausdorff, I-limxk = x và I-limxk = y. Khi đó, vì X là không gian Hausdorff nên tồn tại U ∈ Ux và V ∈ Uy sao cho U ∩V = ∅. Mặt khác, vì I-limxk = x và I-limxk = y nên
Bởi vì I là một ideal nên ta có AU ∪AV ∈ I. Mặt khác, vì {k ∈ N : xk ∈ X \(U ∩V)}
= {k ∈ N :xk ∈ (X \U)∪(X \V)}
⊂ {k ∈ N : xk ∈ X \U} ∪ {k ≤ n :xk ∈ X \V}
= AU ∪AV ∈ I. Bởi vì I là một ideal trên N nên
{k ∈ N : xk ∈ X \(U ∩V)} ∈ I.
Hơn nữa, vì U ∩V = ∅ nên N ∈ I. Điều này mâu thuẫn với I không là ideal tầm thường.
Định lí 2.2.4 ([5]). Giả sử I là ideal không tầm thường trên N và (X, τ)
là T0-không gian có ít nhất hai điểm. Khi đó,
1) I-hội tụ trên X trùng với hội tụ thông thường khi và chỉ khi I = If; 2) I-hội tụ trên X trùng với hội tụ thống kê khi và chỉ khi I = Iδ.
Chứng minh. Ta lấy a, b ∈ X sao cho a 6= b. Bởi vì X là T0-không gian nên không giảm tổng quát ta giả sử rằng tồn tại U ∈ Ua sao cho b /∈ U.
(1) Điều kiện cần. Giả sử I-hội tụ trùng với hội tụ thông thường. Ta chứng minh If = I. Thật vậy,
• If ⊂ I.
Giả sử F ∈ If, khi đó F là tập con hữu hạn của N. Ta xác định dãy {xn} trong X như sau.
xk =
b, nếu k ∈ F;
a, nếu k ∈ N\F.
Bởi vì xk 6= b chỉ hữu hạn phần tử nên hiển nhiên rằng {xk} hội tụ thông thường đến a. Mặt khác, theo giả thiết điều kiện cần, I-hội tụ trùng với
hội tụ thông thường nên {xk} là I-hội tụ đến a. Bởi vì b /∈ U nên F = {k ∈ N :xk ∈/ U}.
Như vậy, F ∈ I, và If ⊂ I. • I ⊂ If.
Giả sử A ∈ I, ta chứng minh A ∈ If, nghĩa là A là tập con hữu hạn của N. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng A là tập vô hạn của N. Bởi vì I là ideal không tầm thường nên I 6= ∅ và N ∈ I/ . Nếu N \A là tập hữu hạn, thì theo chứng minh trên ta có If ⊂ I, kéo theo N\ A ∈ I. Bởi vì I là ideal nên
N = A∪(N\A) ∈ I.
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ rằng N \A là tập vô hạn. Bây giờ ta định nghĩa dãy {xk} như sau:
xk = a nếu k ∈ N\A b nếu k ∈ A Khi đó, ◦ {xk} là dãy I-hội tụ đến a.
Thật vậy, giả sử W ∈ Ua, kéo theo U ∩ W ∈ Ua. Bởi vì b /∈ U nên b /∈ U ∩ W. Do đó,
{k ∈ N : xk ∈/ U ∩W} = A ∈ I. Mặt khác, vì I là ideal và
{k ∈ N : xk ∈/ W} ⊂ {k ∈ N : xk ∈/ U ∩W}
nên {k ∈ N : xk ∈/ W} ∈ I. Như vậy, {xk} là dãy I-hội tụ đến a trong X. ◦ {xk} không hội tụ thông thường đến a trong X.
Thật vậy, vì U là lân cận của a,A vô hạn vàxk = b /∈ U với mọik ∈ A.
• Nếu {xk} hội tụ đến x, thì với với mọi V ∈ Ux ta có AV = {k ∈ N : xk ∈/ V}
là tập hữu hạn. Do đó, AV ∈ If = I, và {xk} là dãy I-hội tụ đến x. • Nếu {xk} là dãy I-hội tụ đến x, thì với mọi V ∈ Ux ta có
{k ∈ N : xk ∈/ V} ∈ I.
Bởi vì I = If nên AV hữu hạn. Như vậy, {xk} hội tụ đến x.
(2) Điều kiện cần. Giả sử rằng I-hội tụ trùng với hội tụ thống kê. Ta chứng minh rằng I = Iδ.
Thật vậy, giả sử A∈ Iδ, ta xét dãy {xk} như sau. xk =
a nếu k ∈ N\A b nếu k ∈ A. Khi đó,
◦ {xk} là dãy hội tụ thống kê đến a.
Giả sử V ∈ Ua, kéo theo V ∩U ∈ Ua. Ta có
AV = {k ∈ N : xk ∈/ V} ⊂ {k ∈ N : xk ∈/ U ∩V} = A ∈ Iδ. Do đó, δ(A) = 0, và {xk} là dãy hội tụ thống kê đến a.
◦ Bởi vì giả thiết điều kiện cần ta suy ra {xk} là dãy I-hội tụ đến a. Bởi vì U ∈ Ua nên ta có
A = {k ∈ N : xk ∈/ U} ∈ I.
Do đó, Iδ ⊂ I. Hơn nữa, vì nếu tồn tại A ∈ I \ Iδ. Khi đó, A và N\A là các tập vô hạn. Do đó, ta suy ra rằng I ⊂ Iδ.
topo, {xn},{yn} ⊂ X và x ∈ X. Khi đó, nếu xn →I x và {n∈ N : xn 6= yn} ∈ I, thì yn →I x, x ∈ X. Chứng minh. Giả sử rằng xn I →x ∈ X và U ∈ Ux. Khi đó, AU{n∈ N :xn ∈/ U} ∈ I.
Ta lấy n bất kỳ sao cho
n /∈ {n ∈ N : xn 6= yn} ∪ {n ∈ N : xn ∈/ U}. Lúc này n /∈ {n ∈ N : yn ∈/ U}. Do đó,
{n ∈ N : yn ∈/ U} ⊂ {n ∈ N : xn 6= yn} ∪ {n ∈ N : xn ∈/ U} Hơn nữa, vì I là ideal trên N nên ta có
{n ∈ N : yn ∈/ U} ∈ I. Như vậy, yn →I x.
Bổ đề 2.2.6 ([5]). Cho I ⊂ J là hai ideal trên N. Khi đó, nếu xn →I x trong không gian topo (X, τ), thì xn
J → x.
Chứng minh. Với mỗi U ∈ Ux, bởi vì {xn} là dãy I-hội tụ nên AU = {n∈ N : xn ∈/ U} ∈ I.
Bởi vì I ⊂ J nên ta suy ra rằng
AU = {n ∈ N : xn ∈/ U} ∈ J. Điều này chứng tỏ rằng xn
J → x.
Nhận xét 2.2.7 ([5]). 1) Ta gọi Γ là họ gồm tất cả các ideal chấp nhận được của N. Trên Γ ta xét quan hệ bao hàm. Khi đó, theo bổ đề Zorn ta suy ra rằng trong Γ, tồn tại một ideal cực đại J.
2) Nếu J là một ideal cực đại của N và A ⊂ N, thì A ∈ J hoặc A∈ N\ J.
3) Ta gọi Θ(I) là họ gồm tất cả các ideal cực đại của N chứaI. Khi đó, I = T
J ∈Θ(I)J.
Mệnh đề 2.2.8 ([5]). Cho dãy {xn} trong không gian topo (X, τ) và I là một ideal trên N. Khi đó, với mọi J ∈ Θ(I) ta có xn →I x khi và chỉ khi xn
J → x.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử xn →I x. Theo Nhận xét 2.2.7 ta suy ra I ⊂ J với mọi J ∈ Θ(I). Mặt khác, theo Bổ đề 2.2.6, ta thu được xn →J x với mọi J ∈Θ(I).
Điều kiện đủ. Giả sử U ∈ Ux, khi đó vì xn →J x với mọi J ∈ Θ(I) nên với mọi J ∈ Θ(I) ta có
AU = {n ∈ N : xn ∈/ U} ∈ J. Như vậy, AU ∈ T
J ∈Θ(I)J. Điều này chứng tỏ rằng xn →I x. 2.3. Tính chất của các tập I-mở, I-đóng
Mục này dành cho việc trình bày về tập I-mở, tập I-đóng và các tính chất của chúng. Nghiên cứu mối liên hệ giữa tập I-mở, tập mở dãy và tập mở; mối quan hệ giữa các tập I-đóng, tập đóng dãy và tập đóng.
Định nghĩa 2.3.1 ([5]). Cho I là một ideal trong N và (X, τ) là một không gian topo, U ⊂X. Khi đó,
1) U được gọi là I-đóng nếu với mọi dãy {xn} ⊂ U thỏa mãn xn I → x, ta đều có x ∈ U;
2) U được gọi là I-mở nếu X \U là tập I-đóng.
Bổ đề 2.3.2 ([5]). Cho (X, τ) là không gian topo, U ⊂ X và I là một ideal không tầm thường trên N. Khi đó,
1) Nếu U là tập đóng, thì U là tập I-đóng; 2) Nếu U mở, thì U là tập I-mở.
Chứng minh. (1) Giả sử U là tập đóng, {xn} ⊂ U sao cho xn →I x. Ta