Tương tự như cách chứng minh công thức của phép chiếu đồng góc, ta triển khai chuỗi, tách phần thực và phần ảo cho bằng nhau, với mỗi cặp hiệu tọa độ ta viết được phương trình sai số dạng:
{𝜇 = 𝜉 + Δ𝑥
𝜗 = 𝜂 + Δ𝑦 (2.39)
Với điều kiện Ʃ(μ2 +ϑ2) = min, giải tìm Pi, qi sau đó tính chuyển tọa độ theo công thức: 𝑥2 = 𝑥1+ 𝑃0 + 𝑥1𝑃1 − 𝑦1𝑞1+ (𝑥12+ 𝑦12)𝑃2− 2𝑥1𝑦1𝑞2+ (𝑥13− 3𝑥1𝑦12)𝑃3− (3𝑥12𝑦1 − 𝑦13)𝑞3+ (𝑥14− 6𝑥12𝑦12+ 𝑦14)𝑃4− (4𝑥13𝑦1 − 𝑦13)𝑞4+ ⋯ 𝑦2 = 𝑦1 + 𝑞0+ 𝑦1𝑃1+ 𝑥1𝑞1+ (𝑥12− 𝑦12)𝑞2+ 2𝑥1𝑦1𝑃2+ (3𝑦1𝑥12− 𝑥13)𝑃3+ (𝑥13− 3𝑦12𝑥1)𝑞3+ (𝑥14− 6𝑥12𝑦12+ 𝑦14)𝑞4+ (4𝑥13𝑦1 − 4𝑥1𝑦13)𝑃4+ ⋯ (2.40) Tùy độ chính xác cần thiết mà ta lấy đến Pl, ql hay Pi, qi và cũng từ yêu cầu đó, cần có số lượng điểm song trùng cần thiết để xác định Pl và ql.
Sau đây ta sẽ tìm hiểu cụ thể một số phép biến đổi tọa độ phẳng giữa các hệ quy chiếu dựa vào các điểm song trùng.
2.3.1. Tính chuyển công thức Helmert
Công thức Helmert có dạng:
𝑥2𝑖 = 𝑋0+ 𝑚. 𝑥1𝑖𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑚. 𝑦1𝑖𝑠𝑖𝑛𝛼
(2.41)
𝑦2𝑖 = 𝑌0+ 𝑚. 𝑦1𝑖𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑚. 𝑥1𝑖𝑠𝑖𝑛𝛼
Trong đó :
x1i,y1i là tọa độ điểm I trong hệ I, x2i,y2i là tọa độ điểm I trong hệ II, α là góc xoay hệ trục,
m là hệ số tỷ lệ chiều dài giữa hai hệ tọa độ,
X0, Y0 là các giá trị dịch chuyển gốc tọa độ, chính là tọa độ gốc của hệ II trong hệ I.
Hình 2.1: Quan hệ giữa hai hệ tọa độ phẳng
Trong thực tế chúng ta phải xác định 4 tham số chuyển đổi tọa độ dựa vào một số điểm song trùng (là các điểm có tọa độ trong cả 2 hệ ), 4 tham số chuyển đổi là độ lệch gốc tọa độ X0, Y0 góc xoay α và tỷ lệ dài m.
Từ công thức (2.41) chúng ta có các phương trình số hiệu chỉnh sau:
𝑉𝑥2𝑖 = 𝑋0 + 𝑚. 𝑥1𝑖𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑚. 𝑦1𝑖𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑥2𝑖
(2.42)
𝑉𝑦2𝑖 = 𝑌0+ 𝑚. 𝑦1𝑖𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑚. 𝑥1𝑖𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑦2𝑖
Trong đó x’
I, y’i là tọa độ trọng tâm của điểm i tính trong hệ I:
𝑥𝑖′ = 𝑥1𝑖 − 𝑥𝑡𝑏
(2.43)
𝑦𝑖′ = 𝑦1𝑖 − 𝑦𝑡𝑏
Với xtb, ytb là tọa độ trọng tâm (hay tọa độ trung bình), được tính theo công thức:
𝑥𝑡𝑏 =[𝑥1]
𝑛 ; 𝑦𝑡𝑏 = [𝑦1]
𝑛 (2.44)
Trong đó n là số điểm tham gia tính.
Như vậy các biểu thức (2.41) sẽ có dạng:
𝑥2𝑖 = 𝑋0 + 𝑚. 𝑥𝑖′𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑚. 𝑦𝑖′𝑠𝑖𝑛𝛼
(2.45)
Nếu số lượng điểm song trùng là tối thiểu (tức là chỉ có hai điểm song trùng) thì chúng ta sẽ xác định được 4 tham số chuyển đổi theo công thức sau:
𝑚. 𝑠𝑖𝑛𝛼 = (𝑥11− 𝑥12). (𝑦21 − 𝑦22) − (𝑦11 − 𝑦12). (𝑥21 − 𝑥22) (𝑥11 − 𝑥12)2+ (𝑦11 − 𝑦12)2 (2.46) 𝑚. 𝑐𝑜𝑠𝛼 = (𝑥11 − 𝑥12). (𝑥21 − 𝑥22) + (𝑦11 − 𝑦12). (𝑦21 − 𝑦22) (𝑥11 − 𝑥12)2+ (𝑦11 − 𝑦12)2 𝑋0 = 𝑥21 − 𝑚. 𝑥11𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑚. 𝑦11𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑌0 = 𝑦21 − 𝑚. 𝑦11𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑚. 𝑦11𝑐𝑜𝑠𝛼
Nếu số lượng điểm song trùng lớn hơn 2, và giả sử chúng ta có n điểm song trùng khi đó ta sẽ lập được 2.n phương trình số hiệu chỉnh dạng (2.42).
Nếu coi các điểm đo nối có độ chính xác như nhau ta sẽ giải hệ phương trình (2.42) theo điều kiện [Vx2 + Vy2] = min.
Trong các phương trình (2.42) ta kí hiệu:
𝑚. 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑃
(2.47)
𝑚. 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑄
Với các ký hiệu như trên ta có các công thức tính:
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑄
𝑃 𝑣à 𝑚 = √𝑃
2+ 𝑄2 (2.48)
Với các ký hiệu (2.48) ta sẽ viết được các phương trình số hiệu chỉnh (2.31) ở dạng:
𝑉𝑥2𝑖 = 𝑋0+ 𝑥𝑖′𝑃 − 𝑦𝑖′𝑄 − 𝑥2𝑖
(2.49)
𝑉𝑦2𝑖 = 𝑌0+ 𝑦𝑖′𝑃 + 𝑥𝑖′𝑄 − 𝑦2𝑖
Với cách ghép ẩn số như vậy, chúng ta sẽ lập hệ phương trình chuẩn có 4 ẩn số là X0, Y0, P, Q.
Hệ phương trình chuẩn có dạng:
𝐶𝑇. 𝐶. 𝑋 + 𝐶𝑇. 𝐿 = 0 (2.50)
Trong đó C là ma trận hệ số phương trình số hiệu chỉnh, X là vec tơ ẩn số, L là vecto số hạng tự do:
𝐴 = ( 1 0 𝑥1′ −𝑦1′ 0 1 𝑦1′ 𝑥1′ . . . . 1 0 𝑥𝑛′ −𝑦𝑛′ 0 1 𝑦𝑛′ 𝑥𝑛′ ) ; 𝑋 = [ 𝑋0 𝑌0 𝑃 𝑄 ] ; 𝐿𝑎 = [ −𝑥21 −𝑦22 ⋯ −𝑥2𝑛 ]
Sau khi giải hệ phương trình chuẩn (2.50) ta nhận được vecto ẩn số X, từ đó sẽ được 4 tham số chuyển đổi giữa hai hệ.
Độ chính xác của các ẩn số được tính trên cơ sở sai số trung phương đơn vị trọng số μ, tính theo công thức:
𝜇 = √ [𝑉𝑉]
2. 𝑛 − 4 (2.51)
Và ma trận nghịch đảo của ma trận hệ số phương trình chuẩn
𝑄 = (𝐶𝑇. 𝐶)−1
Ma trận Q sẽ được sử dụng để đánh giá độ chính xác các ẩn số và hầm của các ẩn số.
Sai số vị trí điểm trong tính chuyển tọa độ xác định theo công thức:
𝜇𝑥 = √[𝑑𝑥𝑑𝑥]
𝑛 ; 𝜇𝑦 = √
[𝑑𝑦𝑑𝑦]
𝑛 ; 𝑀𝑃 = √𝜇𝑥2 + 𝜇𝑦2
Trong đó dx, dy là sai lệch tọa độ của các điểm song trùng khi sử dụng công thức.