Trong một số trường hợp đặc biệt, đường thẳng và mặt phẳng song song nên không có điểm p giao nhau, hay nói cách khác véc tơ � và n trực giao �/�=0 khi này cũng xảy ra trường hợp đường thẳng L nằm trong mặt phẳng P Do vậy, trong bài toán này, chúng ta chỉ xét trong trường hợp véc tơ � và n không trực giao thỏa mãn điều kiện: �/� 0 khi đó giao của đường thẳng L và mặt phẳng P luôn có một giao điểm p Vì điểm p nằm trên đường thẳng L nên ta có thể viết � = �< + ��, và cần xác định giá trị của � Mặt khác, điểm p cũng nằm trên mặt phẳng cho nên giá trị � cần thỏa mãn phương trình tuyến tính:
�� !� − ��" = �� !�� + �� − ��" = 0 Và giá trị � được xác định rút ra từ công thức (2-55)
(2-55)
� = �/ { �G − � < | �/�
(2-56)
Như đã nói ở trên, công thức (2-57) chỉ đúng trong điều kiện đường thẳng L và mặt phẳng P không song song hay nói cách khác �/� 0 Trong thực thế sẽ có một tập hợp các giao điểm p trên bề mặt vật, chúng ta cần xác định các điểm p đó trong điều kiện hẹp, nghĩa là p là giao điểm của 2 đường thẳng giao nhau trong không gian 3D theo hình 2-20
Hình 2-20 Tam giác đạc bởi giao điểm giữa 2 đường thẳng (nguồn: [79])
Giá sử ta có đường thẳng L1 chứa điểm q1 là gốc của hệ chiếu sáng và p nằm trên vật, đường thẳng L2 chứa điểm q2 là gốc của hệ thu ảnh và điểm p Như vậy biểu diễn 2 đường thẳng L1 và L2 dưới dạng:
�( = {� = �( + �(�( ∶ �( ∈ ℝ}
�! = {� = �! + �!�! ∶ �! ∈ ℝ}
(2-57)
(2-58) Xét trong một số trường hợp, véc tơ �( và véc tơ �! có thể là phụ thuộc tuyến tính
(nếu một trong hai véc tơ là bội số vô hướng của véc tơ còn lại) hoặc độc lập tuyến tính Hai véc tơ �( và véc tơ �! phụ thuộc tuyến tính trong trường hợp hai đường thẳng song song, trong trường hợp này chúng không cắt nhau và không trùng nhau Trong trường hợp khác nếu chúng độc lập tuyến tính thì véc tơ �( và véc tơ �! có thể cắt nhau hoặc không
Xét trong trong trường hợp chúng cắt nhau thì giao điểm p đó là giao điểm duy nhất thỏa mãn điều kiện cần và đủ để khi véc tơ �( và véc tơ �! là độc lập tuyến tính và các giá trị vô hướng �( �à �! sao cho:
�( + �(�( = �! + �!�! (2-59)
Hoặc tương tự véc tơ �( − �! là phụ thuộc tuyến tính vào véc tơ �( và véc tơ �! Xét trường hợp hai đường thẳng không chắt nhau, ta có xác định giao điểm gần đúng là “điểm gần nhất với 2 đường thẳng” Hay nói cách khác, cho dù hai đường thẳng cắt nhau hay không thì vẫn có thể xác định được giao điểm gần đúng là điểm p thỏa mãn điều kiện tổng bình phương khoảng cách nhỏ nhất đến cả 2 đường thẳng:
�(�, �(, �! ) = ‖�( + �(�( − �‖! + ‖�! + �!�! − �‖! (2-60) Để xác định giá trị của p, hàm �(�, �(, �! ) được coi là một hàm không âm, 5 biến số bao gồm: Giá trị tọa độ 3 chiều của điểm p và hai biến số vô hướng �( và �!
Hình 2-21 Xác định giao điểm gần đúng của 2 đường thẳng (nguồn: [79])
Trước hết cần xác định hai biến số �( và �! của hàm không âm bậc 2 Giả sử điểm �( = �( + �(�( là điểm nằm trên đường thẳng �( và điểm �! = �! + �!�! nằm trên đường thẳng �! Trung điểm của đoạn thẳng nối giữa �( và �! là �(!, ta cố phương trình sau:
1 1 2 2
(2-61) Điều kiện để cho (�, �(, �! ) của hàm � là nhỏ nhất khi xét đạo hàm riêng của �
theo 5 giá trị là nhỏ nhất, theo đó ta xét đạo hàm riêng của � (công thức 2-60) theo 3 biến của tọa độ điểm p:
�
Φ
�� = (� − �() + (� − �!) = 0
(2-62)
Giá trị p là nhỏ nhất nếu nó là trở thành trung điểm �(! của đoạn thẳng nối giữa �( và �!; Như vậy cần xác định bình phương tối thiểu khoảng cách từ một điểm �( trên đoạn thẳng �( và một điểm �! trên đoạn thẳng �! Trong trường hợp này xét tìm nhỏ nhất của phương trình không âm 2 biến:
(
Ψ �(, �!) = 2�(�(!, �(, �!) = (‖ �! + �!�!) − (�( + �(�()‖! (2-63) Từ công thức (2-22) ta xác định đạo hàm riêng của từ biến số �(, �! nhỏ nhất tiến dần tới 0: � Ψ ��( � Ψ ��! = �(/(�(�( − �!�! + �( − �!) = �(‖�(‖! − �!�(/�! + �(/(�( − �!) = �!/(�!�! − �(�( + �! − �() = �!‖�!‖! − �!�!/�( + �!/(�! − �() (2-64) (2-65)
Hai phương trình tuyến tính (2-64), (2-65) biến �(, �! có thể được thu gọn và biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:
‖�(‖! −�!/�( −�(/�! ‖�!‖! � � / (�! − �() £ (2-66)
Phương trình (2-25) phụ thuộc vào tuyến tính độc lập của 2 véc tơ �( và véc tơ �!, ma trận 2x2 có thể được thu gọn lại:
�! −�!/�(
−�(/�!
‖�!‖! 8(
£ (2-67)
Phương trình (2-67) có thể viết dưới dạng:
� �! 1 ‖�‖! ‖�(‖!‖�!‖! − (�(/�!)! �!�( �(/�! ‖�!‖! � /(�! − �() �!(�! − �() £ (2-68) £ ¢ (/ ¢ /! ¢ ( £ = �!(�! − �() � /(�! − �() ¢ (/ ¢ ( £ = ¢ � ‖�(‖! £ ¢ ( £ = ¢ (/ �(! = �( + (�! − �() = �! + (�( − �!)
Theo công thức (2-68) giao điểm gần đúng p có thể xác định được sau khi tìm được giá trị của biến số �( ℎ�ặ� �!
2 4 2 Mô hình lỗ nhỏ của máy ảnh
Đối với một hệ thống đo sử dụng phương pháp ánh sáng cấu trúc, máy ảnh có vai trò thu nhận hình ảnh các tia sáng phản xạ trên bề mặt vật từ hệ chiếu sáng Để thể hiện quá trình tạo ảnh vật thể của một hệ thu ảnh người ta sử dụng mô hình lỗ nhỏ, mô hình này bao gồm một mặt phẳng ảnh I và một tâm điểm Oc, ta có thể biểu diễn mô hình như sau:
Hình 2-22 Mô hình hệ thu ảnh lỗ nhỏ (nguồn: [79])
Tuy nhiên, với mô hình như trên hình 2-22, ảnh của vật bị đảo ngược, do đó, người ta chuyển sang một mô hình tương đương để dễ dàng hơn trong quá trình tính toán Trên hình 2-23, đổi vị trí giữa mặt phẳng ảnh và mặt phẳng lỗ nhỏ
Hình 2-23 Mô hình hệ thu ảnh lỗ nhỏ chuyển đổi (nguồn: [79])
Xét mô hình lỗ nhỏ (hình 2-22) với hệ tọa độ máy ảnh gồm tâm của phép chiếu q và hệ trực chuẩn cơ sở {�(, �!, �)} và mặt phẳng ảnh tạo bởi 2 véc tơ cơ bản tại tiêu cự f =1 Với bất kỳ điểm p trong không gian 3 chiều của hệ tọa độ thực có tọa độ (�(, �!, �)) đều có mối liên hệ với tọa độ của máy ảnh Hình chiếu của điểm p lên mặt phẳng ảnh là điểm ảnh 2 chiều u được xác định bởi thông số �( và �), ta có thể viết tọa độ điểm u dưới dạng véc tơ 3 chiều � = (�(, �!, 1), giả sử ta có là một tham số vô hướng không âm, mối liên hệ giữa điểm p thực và điểm ảnh u có thể được biểu diễn như sau:
�(
¥�!¦ = � §�!¨ �) 1
(2-69) Gọi o là tâm chiếu của gốc tọa độ của hệ tọa độ thực có tọa độ (0, 0, 0)/, điểm q và véc tơ �( và �! được xác định theo:
1 [�(|�!|�] = §0 0 0 1 0 0 0¨ 1 (2-70) Với mỗi hệ thu ảnh được gắn với một hệ tọa độ ảnh, một điểm p trong hệ tọa độ
thực được biểu diễn dưới dạng véc tơ �K = (�K(, �K!, �K))/, trong hệ tọa độ ảnh cũng có dạng véc tơ �9 = (�9(, �9!, �9))/, mối quan hệ giữa 2 véc tơ �K và �9 được biến đổi bằng một ma trận dịch chuyển � ∈ ℝ) và một ma trận quay � ∈ ℝ)4):
�9 = ��K + � (2-71)
Xét trong hệ tọa độ của máy ảnh, mối quan hệ giữa tọa độ điểm trong không gian 3 chiều và tọa độ ảnh 2 chiều của phép chiếu bằng mô hình lỗ nhỏ với công thức (2-69) với �� = �9 , mối liên hệ với tọa độ thực với tọa độ ảnh được thể hiện bằng công thức:
�� = ��K + � (2-72)
Như vậy, các tham số (R, T) được gọi là các tham số ngoại của máy ảnh biểu diễn vị trí và hướng của máy ảnh so với hệ tọa độ thực
Giả sử đơn vị đo độ dài trên mặt phẳng ảnh bằng với hệ tọa độ thực, khoảng cách từ tâm hình chiếu đến mặt phẳng ảnh bằng một đơn vị độ dài và gốc của hệ tọa độ ảnh có tọa độ �( = 0 và �! = 0 Tuy nhiên trong thực tế, trường hợp này không xảy ra vì đơn vị đo trên mặt phẳng ảnh là điểm ảnh, còn với hệ toạ độ thực là đơn vị chiều dài (mét, milimet hoặc inch,…), khoảng cách từ tâm chiếu đến mặt phẳng ảnh có thể thay đổi tùy theo từng máy ảnh và theo quy định hệ tọa độ của ảnh là nằm trên cùng bên trái Ngoài ra, mặt phẳng ảnh có thể bị nghiêng so với mặt mô hình mặt phẳng ảnh lý tưởng, do vậy để thể hiện sự không đồng nhất giữa mô hình lý tưởng và mô hình thực tế, người ta sử dụng một ma trận � ∈ ℝ)4) trong phương trình chiếu để mô tả các thông số nội tại của một hệ máy ảnh:
Ma trận K có dạng: �� = �(��K + �) (2-73) � �( � = § 0 0 � �L � �! 0 �( �!¨ 1 (2-74) �(
Trong đó f là chiều dài tiêu cự (được xác định là khoảng cách giữa tâm chiếu đến mặt phẳng ảnh) Các tham số �(, �! là tham số thể hiện tỷ lệ tọa độ thứ nhất và tọa độ thứ 2 do các hệ máy ảnh có kích thước điểm ảnh là hình chữ nhật Tham số �L để bù cho mặt phẳng ảnh bị nghiêng (�(, �!)/ là tọa độ ảnh của giao điểm của đường thẳng đứng trong tọa độ máy ảnh với mặt phẳng ảnh, điểm này gọi là tâm ảnh hoặc điểm chính Các tham số của ma trận K không phụ thuộc vào các vị trí đặt máy ảnh so với vật mà nó thể hiện các đặc tính vật lý liên quan đến thiết kế cơ học và quang học của máy ảnh Nếu không có sự điều chỉnh khoảng cách giữa các thành phần linh kiên trong máy ảnh, thì ma trận K không thay đổi, do vậy chúng ta chỉ cần xác định thông qua quá trình hiệu chuẩn ban đầu và được sử dụng trong suốt quá trình tính toán sau này mà không cần phải thực hiện lại Như vậy sau khi xác định được ma trận K thì ta cũng đã có được phương trình (2-73) thể hiện mối quan hệ của một điểm 3 chiều trong tọa độ thực với tọa độ ảnh 2 chiều
Với mỗi điểm ảnh có tọa độ � = (�(, �!, 1)/ theo hình 2-20 và công thức (2-53) � = {� = �< + �� ∶ � ∈ ℝ} ta luôn xác định được một đường thẳng duy nhất nối với tâm chiếu, để tính toán tọa độ 3D của một điểm ảnh là cần xác các tham số trong hệ phương trình này Như ta đã biết, với mỗi một điểm trong hệ tọa độ thực luôn nằm trên một đường thẳng nối dài từ tâm chiếu đi qua mặt phẳng ảnh, do đó để thể hiện tọa độ của một điểm thực đó từ công thức (2-32) ta có thể viết lại:
�K = (−�/�) + �(�/�) (2-75)
Với �8( = �/ Từ công thức (2-53) và công thức (2-75) ta rút ra kết luận đường thẳng đi qua một điểm q có tọa độ trong hệ tọa độ thực là �K = −�/� nếu q là tâm chiếu và véc tơ � trong hệ toạ độ thực là �K = �/�
Hình 2-24 Mặt phẳng ảnh được xác định bởi đường thẳng trên ảnh và tâm chiếu
Một đường thẳng trên ảnh được biểu diễn bằng 8 tham số trên tọa độ ảnh qua công thức sau:
� = � ∶ �/� = �(�( + �!�! + �) = 0
52
Trong đó � = (�(, �!, �))/ là một véc tơ với �( ≠ 0 hoặc �! ≠ 0, khi sử dụng hệ chiếu sáng để chiếu các vân lên bề mặt vật quét sẽ bao gồm các đường theo chiều dọc và chiều ngang, do đó ta có thể biểu diễn đường thẳng nằm ngang dưới dạng:
�M = {�: �/� = �! − � = 0} (2-77) Trong đó � là tọa độ thứ 2 của một điểm trên đường thẳng Trong trường hợp này ta có thể coi � = (0, 1, −� )/ Tương tự như vậy đối với đường thẳng nằm đứng:
�N = {�: �/� = �( − � = 0} (2-78)
Trong đó � là tọa độ thứ 1 của một điểm trên đường thẳng Trong trường hợp này ta có thể coi � = (1, 0, −� )/ Từ đó ta có thể xác định được 1 mặt phẳng duy nhất tạo bởi đường thẳng L và gốc chiếu Với mỗi điểm ảnh với tọa độ ảnh u trên đường thẳng L, đường thẳng sẽ luôn bao gồm một điểm thuộc mặt phẳng P và tâm chiếu Giả sử p là điểm trên mặt phẳng P với gốc tọa độ thực �K chiếu lên một điểm ảnh với tọa độ ảnh là u Vì hai véc tơ này thỏa mãn công thức (2-31) �� = ��K + � và véc tơ u thỏa mãn điều kiện trong đường thằng L nên ta có:
0 = ��/� = �/(��K + � ) = (�/�)/{�K − (−�/�)| (2-79) Như vậy, mặt phẳng P biểu diễn bằng theo công thức (2-54) với � =
x�: �/ {� − �G | = 0y có thể xác định với n là véc tơ với tọa độ thực �K = �/� và điểm q là tâm chiếu với tọa độ thực �K = −�/�
2 4 3 Mô hình khử méo ảnh cho hệ thu ảnh
Trong thực tế, không có thấu kính nào là tuyệt đối hoàn hảo Điều này là do hạn chế không thể tránh khỏi trong quá trình sản xuất các linh kiện quang học Ngoài ra, cũng rất khó để lắp đặt các thấu kính thẳng hàng một cách chính xác tuyệt đối Do đó, chúng ta mô tả hai méo ảnh chính đó là méo xuyên tâm [80][81][82] (gây ra do hình dáng của linh kiện quang) và méo tiếp tuyến (do quá trình lắp đặt hệ thống bên trong máy ảnh)
Méo xuyên tâm: Các thấu kính của máy ảnh thực tế thường gây ra các biến dạng ở rìa của ảnh Điều này thường dẫn đến hệ quả gây ra hiện tượng “barrel” hoặc “fish-eye” Hình 2-25 biểu diễn lý do tại sao méo xuyên tâm xảy ra Những tia sáng càng xa trung tâm thấu kính càng bị bẻ cong hơn so với những tia đi qua gần tâm
Đối với méo xuyên tâm, độ méo bằng 0 ở tâm của ảnh và tăng dần khi ra dần phía ngoài Trong thực tế, độ méo này này nhỏ và có thể được mô tả nhờ khai triển Taylor quanh r = 0 Thông thường, chúng ta sử dụng 2 hệ số đầu tiên k1, k2 Với một số loại máy ảnh có biến dạng lớn, ta có thể sử dụng đến hệ sô thứ 3 k3
Hình 2-25 Méo xuyên tâm
�9OPP = �(1 + �(� ! + �!� 5 + �)� Q)
�9OPP = �(1 + �(� ! + �!� 5 + �)� Q) (2-80) Trong đó, (�, �) là điểm trên ảnh, và (�9OPP , �9OPP ) là tọa độ mới sau khi đã bù trừ méo ảnh
Méo tiếp tuyến, được gây ra do lỗi quá trình sản xuất làm cho lens không định vị song song hoàn toàn so với mặt phẳng ảnh và được mô tả theo phương trình sau:
�9OPPR9/RS = � + (2�(� + �!(� ! + 2� !)
�9OPPR9/RS = � + (2�(� + �((� ! + 2� !) (2-81) Như vậy để giải quyết triệt để méo ảnh do hệ quang gây ra, có tổng cộng 5 hệ số để mô tả và cần được tính toán (�(, �!, �(, �!, �))
2 4 4 Hiệu chuẩn máy ảnh
Thực hiện quá trình hiệu chuẩn máy ảnh [83][84][85][86] thực chất là tìm các thông số của máy ảnh gồm 4 thông số nội (�4, �4, �T, �T), 3 thông số ma trận xoay, 3 thông số của véc tơ tịnh tiến (�4, �T, �U), và 5 hệ số méo ảnh (�(, �!, �(, �!, �))
Quá trình hiệu chuẩn thực chất là đi tìm các thông số này khi ta có các điểm
�(, �!, … , �$ đã biết vị trí trong hệ tọa độ vật, và ảnh �(, �!, … , �$ của chúng trên mặt phẳng ảnh Thông thường, để tạo các điểm này ta thường hay sử dụng bảng ô bàn cờ hoặc dạng ma trận các điểm 2D tương tự như một dạng thước mẫu trong đo chiều dài
Hình 2-26 Bàn cờ được sử dụng để hiệu chỉnh máy ảnh 9x12 ô đen trắng
Giả sử bỏ qua các hệ số méo ảnh, có 10 thông số cần tìm Như vậy cần xác định ít nhất 5 điểm trên bàn cờ (mỗi điểm có tọa độ x, y, do đó có thể thiết lập được 2 phương trình từ 1 điểm)
Giả sử có các điểm trong tọa độ thực là �" = [�" �" �" ]= có ảnh = [�" �"]=(� = 1, 2, … , �) Đặt �²" = [�" �" �" 1]=, �³" = [�́V �V́ �]= Với �" = �V¶ �V �4 Với � = · 0 0 0 �T 0 �4
�T¸ là ma trận thông số nội máy ảnh 1
�, � là các ma trận xoay, tịnh tiến của máy ảnh Theo quan hệ giữa các hệ tọa độ, có biểu thức sau:
�³" = �[� �]�²" (2-82) Đặt = �[� �]
� là ma trận 3 × 4, � có thể được viết dưới dạng các vector theo hàng như sau với